§11. Элементы теории корреляции

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Определение 1. Функциональной зависимостью между случайными величинами X и Y называется зависимость, при которой изменение величины X влечет изменение значений Y, т.е. Y является функцией случайного аргумента X.

Определение 2. Статистической зависимостью между случайными величинами называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой

Определение 3. Корреляционной зависимостью между случайными величинами называется статистическая зависимость между ними, при которой изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой.

Определение 4. Функцией регрессии называется зависимость среднего значения одной из коррелированных случайных величин от другой, т.е. функция:

(регрессия Y на X ) или (регрессияX на Y ) .

Замечание 1. На практике наибольший интерес представляет анализ следующих вопросов:

• существует ли корреляционная зависимость между двумя случайными величинами;

• если корреляционная зависимость существует, то какой вид имеет функция регрессии (будет ли она линейной, параболической или какой-нибудь другой).

Коэффициент корреляции

Определение 5. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется число, вычисляемое по формуле:

,

где μ_xy = M((X – M_x)·(Y – M_y)) – корреляционный момент; M_x , M_y – математические ожидания x и y ; – средние квадратические отклонения величинX и Y соответственно.

Свойства коэффициента корреляции

1. ≤ 1 ;

2. Коэффициент корреляции служит для оценки «тесноты» линейной связи между X и Y:

• чем ближе абсолютная величина числа к единице, тем корреляционная связь между случайными величинамиX и Y сильнее;

• чем ближе абсолютная величина к нулю, тем корреляционная связь между случайными величинамиX и X слабее.

3. Если случайные величины связаны линейной зависимостью

Y = aX +b,

то абсолютная величина коэффициента корреляции равна 1.

Схема вычисления выборочного коэффициента корреляции

1) Провести n испытаний над случайными величинами X и Y , после чего получить выборки объемов n из генеральных совокупностей X и Y :

x₁ , x₂ , x₃ , …, x_n и y₁ , y₂ , y₃ , …, y_n ;

2) Найти: ,;

3) Найти: ,;

4) Найти выборочный корреляционный момент:

;

5) Найти выборочный коэффициент корреляции:

.

Замечание 2. Если число n велико, то выборки представляют интервальными статистическими рядами, причем число интервалов для X и Y может быть различным (например, k₁ и k₂) . По этим интервальным статистическим рядам подсчитывают частоты m_x , m_y и m_xy . Результаты вычислений заносят в корреляционную таблицу:

y x	x1	x2	…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…		n

Далее вычисляем:

1) ,,

2) ,,

3) , 4).

Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции

1) По двум выборкам объемов n из нормальных генеральных совокупностей X и Y найти выборочный коэффициент корреляции

( ≠ 0 );

2) Проверить для генеральных совокупностей X и Y нулевую гипотезу H₀ : = 0:

• Если H₀ принимается, то нет корреляционной зависимости между случайными величинами X и Y ;

• Если H₀ отвергается, то существует корреляционная зависимость между случайными величинами X и Y .

Правило проверки гипотезы H₀ : = 0:

Чтобы при уровне значимости α проверить для генеральных совокупностей X и Y нулевую гипотезу H₀ : = 0 , необходимо :

1) Вычислить наблюдаемое значение критерия

;

2) По табл. П 2.6 критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 2) по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n – 2 найти число ;

3) Сравнить числа и: если<, то нет основания отвергать гипотезуH₀ , если >, то гипотезаH₀ отвергается.