Задачи с решениями

Задача 7.1. В результате эксперимента получены следующие значения случайной величины X:

3; 6; 8; 11; 6; 10; 7; 9; 7; 3; 4; 8;

7; 9; 4; 9; 11; 7; 8; 4; 10; 5; 6; 7; 2.

Требуется: а) составить статистический ряд;

б) построить статистическое распределение;

в) изобразить полигон распределения.

Решение. а) Объем выборки n = 25.

Построим статистический ряд данной выборки: в первой строке таблицы укажем все различные значения, принимаемые случайной величиной X; во второй строке укажем, сколько раз она приняла эти значения.

Таблица 7.2

xi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
mi	1	2	3	1	3	5	3	3	2	2

б) Найдем статистическое распределение случайной величины X, для чего в табл. 7.2 заменим вторую строку строкой, содержащей относительные частоты .

Таблица 7.3

xi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

Контроль:

= 1.

в) На плоскости Oxy построим точки:

Соединим их (рис. 7.3). Полученная ломаная – полигон данного распределения.

Рис. 7.3

Ответ: а) табл. 7.2, б) табл. 7.3, в) рис. 7.3.

Задача 7.2. В результате эксперимента получены следующие значения случайной величины X:

16; 17; 9; 13; 21; 11; 7; 7; 19; 5; 17; 5; 20;

18; 11; 4; 6; 22; 21; 15; 15; 23; 19; 25; 1.

Требуется: а) построить интервальный статистический ряд, разбив промежуток [0; 25] на 5 промежутков равной длины;

б) построить гистограмму относительных частот.

Решение. а) Объем выборки n = 25. По экспериментальным данным составим таблицу (табл. 7.4). В её первой строке укажем промежутки разбиения:

[0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20) [20; 25].

Во второй строке укажем соответствующие числа m_i  сколько раз случайная величина X приняла значение из этого промежутка.

Таблица 7.4

[ai; ai+1)	[0; 5)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25]
mi	2	6	3	8	6

Контроль: 2 + 6 + 3 + 8 + 6 = 25.

По табл. 7.4 составим интервальный статистический ряд, где во второй строке указаны относительные частоты (табл. 7.5).

Таблица 7.5

[ai; ai+1)		[0; 5)		[5; 10)		[10; 15)		[15; 20)		[20; 25]

б) На оси Ox отложим промежутки:

[0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20) [20; 25]

интервального статистического ряда, а на оси Oy – относительные частоты. Построив по этим данным прямоугольники с основаниями [a_i; a_i+1) и высотами , получим ступенчатую фигуру – гистограмму (рис. 7.4).

Рис. 7.4

Ответ: а) табл. 7.4; б) рис. 7.5.

Задача 7.3. Дан статистический ряд

хi	15		16		17	18
	0,4	0,1		0,3		0,2

Найти статистическую функцию распределения и построить её график.

Решение. Воспользовавшись формулой

),

где n – объем выборки; m_x – число выборочных значений, меньших x, вычисляем:

0 при

0,4 при 15< ≤16,

) = 0,5 при 16<≤17, (1)

0,8 при 17<≤18,

1 при ≥18.

Построим график функции ).

Рис. 7.5

Ответ: а) формула (1); б) рис. 7.5.

Задачи

7.1. В результате испытаний получены следующие статистические значения случайной величины X:

0,9; 0,1; 2,9; 1,1; 5,1; 0,1; 6,9; 1,1; 3,9; 0,9;

5,1; 8,9; 2,9; 0,1; 1,1; 6,1; 3,1; 0,1; 1,1; 2,9;

2,9; 0,1; 3,9; 0,9; 0,1; 3,1; 0,1; 1,1; 3,1; 0,1.

Требуется: а) составить статистический ряд;

б) найти статистическую функцию распределения );

в) изобразить полигон относительных частот.

7.2. В результате испытаний получены следующие статистические значения случайной величины X:

1,36; 1,37; 1,35; 1,31; 1,34; 1,36; 1,38; 1,35; 1,39; 1,40;

1,33; 1,34; 1,36; 1,35; 1,37; 1,41; 1,36; 1,34; 1,39; 1,36;

1,35; 1,37; 1,38; 1,40; 1,37; 1,36; 1,35; 1,34; 1,37; 1,38.

Требуется: а) составить статистический ряд;

б) найти статистическую функцию распределения );

в) изобразить полигон относительных частот.

7.3. В результате испытаний получены следующие статистические значения случайной величины X:

3,45; 3,47; 3,47; 3,43; 3, 46; 3,44; 3,40; 3,45; 3,41; 3,42;

3,47; 3,49; 3,41; 3,48; 3,43; 3,40; 3,43; 3,47; 3,45; 3,44;

3,41; 3,40; 3,48; 3,46; 3,51; 3,39; 3,50; 3,50; 3,47; 3,38;

3,44; 3,40; 3,40; 3,44; 3,47; 3,53; 3,46; 3,46; 3,52; 3,47;

3,41; 3,44; 3,47; 3,45; 3,44; 3,45; 3,47; 3,42; 3,44; 3,50;

3,45; 3,50; 3,42; 3,48; 3,40; 3,45; 3,48; 3,48; 3,46; 3,47;

3,44; 3,44; 3,47; 3,43; 3,44; 3,47; 3,44; 3,45; 3,44; 3,46;

3,46; 3,44; 3,44; 3,44; 3,44; 3,46; 3,44; 3,42; 3,50; 3,46;

3,48; 3,43; 3,40; 3,46; 3,46; 3,47; 3,45; 3,48; 3,42; 3,46;

3,48; 3,38; 3,45; 3,43; 3,52; 3,43; 3,50; 3,51; 3,41; 3,52.

Построить: а) интервальный статистический ряд;

б) статистический ряд, рассматривая в качестве значений середины интервалов;

в) статистическую функцию распределения );

г) гистограмму относительных частот.

7.4. При измерении диаметров ста подшипниковых шариков, выбранных из большой партии шариков для определения стандартности, получены следующие результаты:

8,31; 8,42; 8,37; 8,40; 8,40; 8,30; 8,30; 8,42; 8,32; 8,29;

8,33; 8,36; 8,34; 8,37; 8,32; 8,36; 8,38,8,38; 8,33; 8,36;

8,40; 8,36; 8,32; 8,36; 8,36; 8,30; 8,30; 8,33; 8,35; 8,37;

8,37; 8,30; 8,41; 8,34; 8,33; 8,37; 8,34; 8,38; 8,29; 8, 34;

8,31; 8,36; 8,37; 8,30; 8,41; 8,34; 8,34; 8,37; 8,354 8,40;

8,34; 8,36; 8,37; 8,37; 8,41; 8,35; 8,38; 8,33; 8,36; 8,36;

8,36; 8,37; 8,36; 8,40; 8,37; 8,34; 8,37; 8,32; 8,35; 8,36;

8,37; 8,41; 8,36; 8,36; 8,36; 8,40; 8,34; 8,40; 8,34; 8,33;

8,35; 8,37; 8,34; 8,36; 8,37; 8,37; 8,35; 8,36; 8,34; 8,42;

8,36; 8,33; 8,34; 8,35; 8,36;8,32; 8,38; 8,32; 8,36; 8,37;

Построить: а) интервальный статистический ряд;

б) статистический ряд, рассматривая в качестве значений середины интервалов;

в) статистическую функцию распределения );

г) гистограмму относительных частот.

Ответы

7.1. а)

хi	8,9	6,9	3,9	2,9	0,9	0,1	1,1	3,1	5,1	6,1
i	1	1	2	4	3	8	5	3	2	1

0 при 8,9,

1/30 при 8,9 < ≤6,9,

1/15 при 6,9 <≤3,9,

2/15 при 3,9 <≤2,9,

4/15 при 2,9 < ≤0,9,

б) ) = 11/30при 0,9 <≤ 0,1,

19/30 при 0,1 <≤ 1,1,

4/5 при 1,1 < ≤ 3,1,

9/10 при 3,1 <≤ 5,1,

29/30 при 5,1 <≤ 6,1,

1 при > 6,1.

в)

7.2. а)

хi	1,31	1,33	1,34	1,35	1,36	1,37	1,38	1,39	1,40	1,41
i	1	1	4	5	6	5	3	2	2	1

0 при 1,31,

1/30 при 1,31 < ≤ 1,33,

1/15 при 1,33 <≤ 1,34,

1/5 при 1,34 <≤ 1,35,

11/30 при 1,35 < ≤ 1,36,

б) ) = 17/30при 1,36<≤ 1,37,

11/15 при 1,37 <≤ 1,38,

5/6 при 1,38 < ≤ 1,39,

9/10 при 1,39 <≤ 1,40,

29/30 при 1,40 <≤ 1,41,

1 при > 1,41.

7.3. а)

[хi; хi+1)	i
[3,38; 3,40)	3	0,03
[3,40; 3,42)	12	0,12
[3,42; 3,44)	12	0,12
[3,44; 3,46)	27	0,27
[3,46; 3,48)	25	0,25
[3,48; 3,50)	9	0,09
[3,50; 3,52)	8	0,08
[3,52; 3,54]	4	0,04

Указания:

1. Из заданной выборки найти:

x_наиб = 3,53, x_наим = 3,38, x_наиб  x_наим = 0,15.

2. Число интервалов определить по формуле:

k = 1+3,322 · lg n = 1 + 3,322· lg 100 = 1+6,644 = 7,644 ≈ 8.

3. Взять в качестве шага, то есть длины интервалов, число:

0,15 : 8 = 0,019 ≈ 0,02.

4. Из данной выборки найти _i – число значений, попавших в промежуток [х_i; х_i+1).

i	3,39	3,41	3,43	3,45	3,47	3,49	3,51	3,53
i	3	12	12	27	25	9	8	4
	0,03	0,12	0,12	0,27	0,25	0,09	0,08	0,04

б)

0 при 3,39,

0,03 при 3,39 < ≤ 3,41,

0,15 при 3,41 <≤ 3,43,

0,27 при 3,43 <≤ 3,45,

0,54 при 3,45 < ≤ 3,47,

в) ) = 0,79при 3,47<≤ 3,49,

0,88 при 3,49 <≤ 3,51,

0,96 при 3,51 < ≤ 3,53,

1 при > 3,53.

г)

7.4. а)

[хi; хi+1)	i
[8,29; 8,31)	8	0,08
[8,31; 8,33)	8	0,08
[8,33; 8,35)	20	0,20
[8,35; 8,37)	28	0,28
[8,37; 8,39)	22	0,22
[8,39; 8,41)	7	0,07
[8,41; 8,43]	7	0,07

i	8,30	8,32	8,34	8,36	8,38	8,40	8,42
i	8	8	20	28	22	7	7
	0,08	0,08	0,20	0,28	0,22	0,07	0,07

б)

0 при 8,30,

0,08 при 8,30 < ≤ 8,32,

0,16 при 8,32 <≤ 8,34,

в) ) = 0,36при 8,34 <≤ 8,36,

0,64 при 8,36 < ≤ 8,38,

0,86 при 8,38<≤ 8,40,

0,93 при 8,40 <≤ 8,42,

1 при > 8,42.

г)