9.1. Основные понятия и определения
При синтезе механизмов с высшими парами используют следующие основные понятия.
Сопряженные поверхности — поверхности элементов высшей кинематической пары, геометрическая форма которых позволяет при взаимодействии получить заданный закон их относительного движения.
Сопряженные профили зубьев — кривые в сечении сопря женных поверхностей плоскостью движения звеньев высшей пары, геометрия которых позволяет получить заданное пере даточное отношение.
Основная теорема высшей пары — при линейном и точеч ном касании поверхностей звеньев высшей пары в точке кон такта должна быть общая нормаль, а векторы скоростей отно сительного движения должны совпадать с общей касательной плоскостью.
Зубчатое звено — звено, имеющее один или несколько вы ступов (зубьев) определенной формы, предназначенных для пе редачи движения посредством взаимодействия с зубьями пар ного звена.
Зубчатое зацепление — кинематическая пара с точечным или линейным контактом, образованная зубчатыми звеньями.
Линия зацепления — геометрическое место точек касания сопряженных профилей зубьев.
9.2. Основная теорема зацепления
Основная теорема зацепления устанавливает связь между геометрией сопряженных поверхностей и законом относитель ного движения элементов высшей кинематической пары. При зацеплении в плоскости основная теорема зацепления устанав ливает связь между геометрией сопряженных профилей и их относительным движением.
Для задач синтеза сопряженных поверхностей и сопряжен ных профилей закон относительного движения является задан ным. В соотношениях
U2 = U i+ U21
используя теорему синусов из треугольника, являющегося век торным решением соотношения (9.1) (см. рис. 9.1, б):
|
|
Pl\ |
_ |
1^21 |
|
|
|
sin |
2 sin |
|
|
Передаточное отношение Щ2 |
= |^i|/|^2| выражается со |
||||
отношением |
|
|
|
|
|
__ |
|CJI|_ |
sin^2 _ sin(E —6wi) _ sinE |
—cosE. (9.2) |
||
Ul2 |
\u>2\ |
s in ^ i |
sin 6Wi |
|
|
При |
скрещивающихся |
осях |
(рис. 9.1, в) |
относительное |
|
движение звеньев является винтовым, т.е. движение тела со стоит из его вращения вокруг некоторой оси и поступательного движения со скоростью, параллельной этой оси. В этом слу чае находят мгновенную винтовую ось. Если угловые скоро сти Ul и и 2 постоянны, то аксоидами звеньев в относительном движении являются однополостные гиперболоиды вращения с прямолинейной образующей, которые катятся друг по другу, касаясь, по мгновенной винтовой оси, со скольжением вдоль этой оси.
Линия кратчайшего расстояния между осями на рис. 9.1, в обозначена O1O2 , а ее длина — aw. На этой линии располо жена точка Р, через которую проходит мгновенная винтовая ось.
В сечении, перпендикулярном мгновенной винтовой оси винта, составляющие скорости точки Р равны, т.е.
^11^11cos6wi = rw2\u2 \cos6w2,
откуда следует, что передаточное отношение можно опреде
лить из соотношения |
|
|
“ 12 = |wi|/|w2|= TW2 cosSw2 /(rw\cos6W\). |
(9.3) |
|
Согласно теореме косинусов, модуль вектора относитель |
||
ной угловой скорости вращения по (9.1) |
|
|
и>21 = |
+ <*>2 + 2щи>2 cos Е. |
|
При заданном законе относительного движения звеньев, элементы которых образуют высшую кинематическую пару, в
общем случае формулируют основную теорему зацепления в следующем виде: сопряженные поверхности в любой точке контакта имеют общую нормаль к этим поверхностям, ко торая перпендикулярна вектору скорости точки контакта в заданном относительном движении поверхностей.
Доказательство этой теоремы заключается в том, что если сформулированное условие не выполняется, то имеется состав ляющая относительной скорости элементов высшей кинемати ческой пары, направленная вдоль общей нормали. В этом слу чае элементы высшей пары либо отрываются друг от друга, либо взаимно внедряются, что противоречит условию образо вания контакта в высшей паре. Так как подобное предположе ние является невозможным, то это является доказательством основной теоремы зацепления. Краткая запись основной тео ремы зацепления в аналитической форме основана на условии перпендикулярности векторов vr и п, записанном в форме ска лярного произведения векторов: vr X п = 0, где vr — вектор скорости относительного движения в касательной плоскости к элементам высшей кинематической пары; п — единичный вектор общей нормали в точке контакта.
Основная теорема плоского зацепления. Идея основ ной теоремы плоского зацепления была высказана английским ученым Р. Виллисом (см.: Willis R. Principles of mechanism. London, 1841) при разработке классификации механизмов на основе анализа отношения скоростей звеньев. В современной интерпретации эту теорему (называемую теоремой Виллиса) формулируют в следующей форме: общая нормаль в точке контакта сопряженных профилей в любой момент зацепления должна проходить через полюс зацепления Р, положение ко торого на межосевой линии O1O2 определяется заданным от носительным движением звеньев (рис. 9.2). Из соотношения (3.40) следует, что положение полюса Р однозначно определя ется радиусом rw\, если заданы межосевое расстояние aw и передаточное отношение Щ2 -
Для доказательства сформулированной теоремы в точке контакта К профилей Щ и П2 рассматривают векторы скоро стей точек А и В у принадлежащих соответственно звеньям 1 и 5, и соотношения между ними:
VB = VA + V B A -
Рис. 9.2
Направление векторов определяют из условий движения
точек: v^±AO и VQLB0 2 \ |
~ * или ^ВА^-п ~~п>Где < “ < |
ип —п — общая касательная и общая нормаль к сопряженным профилям П1 и П2 соответственно. Далее через ось 0\ прово дят линию 0\D, параллельную общей нормали (п; —п'Цп —п),
иотмечают точку D на пересечении с радиусом O2 KD . Полу ченный AO\DK подобен АаЬК, образованному векторами
^ВА-
Из подобия треугольников следует:
аК |
ЪК |
\VA\ 0\К |
и \та |
ТА |
О^К ~ Ш ' |
ИЛИ И = ~DK' ИЛИ |
|
~ m D K ■ (9 |
|
Так как DK/KO2 = О1 Р/РО2 (что следует из условия пересечения сторон угла DO2O1 двумя параллельными пря мыми), то после подстановки получают соотношение
^ |
_ {гв/щ) _ |
К 0 2 = РОг |
/д 5ч |
ш2 |
DK |
DK РОг' |
К ' } |
Соотношение (9.5) идентично соотношению (9.4), что является доказательством прохождения общей нормали п —п через полюс зацепления Р Иногда используют и иную фор му доказательства, рассматривая проекции абсолютных ско
ростей уд и vg точек А и В в момент их контактирования в положении К >которые должны быть равны друг другу по условию контактирования профилей Щ и П2 без размыкания контакта и без внедрения одного профиля в другой.
Из анализа основной теоремы зацепления следует, что при заданном законе изменения передаточной функции, т.е. при заданных центроидах, определяющих положение полюса Р на межосевой линии O1O2 , конструктор располагает свободой вы бора геометрии контактируемых профилей. Любой паре цент роид соответствует множество сопряженных профилей, обеспе чивающих заданное изменение отношения угловых скоростей звеньев.
Целесообразность выбора той или иной пары профилей с определенной геометрией конструктор увязывает с технологи ей изготовления (с методом изготовления, станочным оборудо ванием, режущим инструментом, методами контроля и т.п.), с работоспособностью передачи («несущая способность», высо кий КПД, малый износ профилей, надежность и долговечность и т.п.), с чувствительностью передачи к погрешностям, возни кающим при изготовлении, монтаже и эксплуатации.
Из основной теоремы зацепления следует, что сопряжен ные профили должны располагаться относительно центроид так, чтобы в любой точке контакта общая нормаль проходила через полюс зацепления Р Если это требование не выпол няется, то такие профили не могут быть сопряженными. На рис. 9.3, а показаны центроида Ц и профиль П, к которому про веден ряд нормалей ть-п. На участке АВ профиля П нормали пересекают центроиду Ц, а на участке ВС нормали не име ют общих точек с центроидой Ц. Следовательно, для участка АВ профиля П возможно найти сопряженный профиль, а для участка ВС сопряженный профиль спроектировать невозмож но. В этом случае высота головки зуба должна быть ограниче на (на рис. 9.3, а пунктирной линией условно показана линия вершин зубьев, проходящая через точку В).
Аналогичные рассуждения можно распространить на настный случай профиля П, очерченного по прямой линии (рис. 9.3,6): на участке АВ нормали пересекают центроиду III, а на участке ВС нормали не имеют общих точек с цен- 'Гроидой Hj. Однако если выбрать другую центроиду Щ (или
иначе расположить прямолинейный профиль по отношению к центроиде), то можно добиться, чтобы нормали к профилю на всем участке АС пересекали центроиду Щ, т.е. для всего про филя АС найти другой сопряженный профиль. Это условие, вытекающее из основной теоремы зацепления, является необ ходимым, но иногда оказывается недостаточным, так как воз можны и другие ограничения.
Ранее в гл. 3 было показано, что важной кинематической характеристикой любого механизма, не зависящей от времени и закона изменения обобщенной координаты, является переда точная функция vqQ скорости движения, представляющая со бой первую производную перемещения Sв какой-либо точки В по обобщенной координате <ру
vqB = dSe/difi1 = VB/u)1-
При передаче вращательного движения высшей парой ки нематической передаточной функции vqB можно придать опре деленный геометрический образ. Пусть в качестве обобщен ной координаты выбран угол поворота щ звена 1, а в ка честве функции — перемещение SB точки В ведомого звена 2 (см. рис. 9.2). Передаточная функция vqB = vB/u>i име ет единицу СИ [vqB] = м рад- 1 . Ее можно изобразить на схеме механизма в виде некоторого отрезка D K в масштабе fj,q = [мм/(м •рад-1 )].
Геометрический образ передаточной функции скорости движения формулируют в следующем виде: отрезок D K , рас положенный на прямой, соединяющей контактную точку К с