4.3. Приведение масс

У

Р

Рис. 4.3

Напомним, что кинетическую энергию звена г в обшем ви­ де можно записать так:

ции звена г относительно оси, проходящей через центр масс 5,*. В случае поступательного движения щ = 0. В случае враща­ тельного движения вокруг оси А уравнение (4.17) принимает вид

рис. 4.3, а) складывается из кинетических энергий всех его че­ тырех подвижных звеньев: Г = Т\ + T<i + Т3 + Т4 . Звено 1 участвует во вращательном движении, 2 — в плоском, 3 — в поступательном, 4 — во вращательном. Поэтому

Уравнение (4.20) представим в общем виде, справедливом для любого механизма:

1=1

где п — число подвижных звеньев механизма. В скобках стоят аналоги скоростей vq$i и ид{, которые характеризуют переда­ точные свойства механизма и не зависят от его закона движе­ ния. Поэтому приведенный момент инерции механизма J^p от его закона движения также не зависит и является характери­ стикой самого механизма.

Приведенный момент инерции механизма j£ p можно рас­ сматривать как сумму приведенных моментов инерции отдель­ ных его звеньев. Поэтому уравнения (4.19) и (4.20) запишем в виде

4 р = J"p + 7"Р + *^зР + ^4Р»

переменные, так как в выражения (4.23) и (4.24) входят ли­ бо отношения возможных скоростей, либо аналоги скоростей, которые зависят от положения механизма. Поэтому приведен­ ный момент инерции «/£р всего механизма (см. (4.19) и (4.20)) также будет переменным, зависящим от обобщенной коорди­ наты (р\. Многим механизмам свойствен периодический ха­ рактер этой зависимости. Однако есть механизмы (например, зубчатые, шарнирный параллелограмм и др.), приведенный момент инерции которых постоянен.

Из сказанного следует, что модель, которой заменяется ме­ ханизм (см. рис. 4.3, б), является условным телом, поскольку ее момент инерции (в общем случае) — переменный, тогда как реальные физические тела имеют постоянные моменты инер­ ции.

В заключение отметим: так как ни планы возможных ско­ ростей, ни аналоги скоростей от закона движения механизма не зависят, то приведение масс, как и приведение сил, можно делать и не зная закона его движения. Следовательно, решая динамическую задачу, возможно (и нужно) сначала построить динамическую модель механизма, выполнив приведение сил и масс, а затем уже находить закон ее движения.

4.4. У равнение движ ения механизма

Выполнив приведение сил и масс, любой механизм с одной степенью свободы (рычажный, зубчатый, кулачковый и др.), сколь бы сложным он ни был, можно заменить его динами­ ческой моделью (рис. 4.4). Эта модель в общем случае имеет переменный приведенный момент инерции 4" , и к ней приложен суммарный приведенный момент М£Р Закон движения модели такой же, как и закон движения начального звена ме­ ханизма (см. (4.1)).

Основой для составления урав­ нения движения механизма с одной степенью свободы служит теорема об изменении кинетической энергии:

Работу совершают все активные силы и моменты и силы трения во всех кинематических парах механиз­ ма (см. § 1.3).

Уравнение движения в энергетической форме. За­ пишем формулу для кинетической энергии модели, учитывая

Так как вся нагрузка, приложенная к модели, выражается сум­ марным приведенным моментом М^р, то сумма работ равна

^1нач

Здесь переменная интегрирования (рмзаменена координатой (pi начального звена, так как = ip\.

Подставив выражения (4.15), (4.27) и (4.28) в (4.26), полу­ чим уравнение движения в энергетической форме:

7"Р 2 тпр , ,2 *7

ного звена механизма. В общем случае верхний предел ip\ ин­ тегрирования в уравнении (4.29) считается переменным.

Если вся нагрузка, приложенная к механизму, зависит только от его положения, то и суммарный приведенный мо­ мент М£р есть функция только координаты (pi. В этом случае уравнение (4.29) решается непосредственно относительно ис­ комой величины и1 :

Укажем, что интеграл под корнем имеет знак, который необ­ ходимо учитывать.

Уравнение движения в дифференциальной форме.

Продифференцируем (4.29) по координате

Определим производную, стоящую в левой части уравнения, помня, что в общем случае переменной величиной является не

только угловая скорость u>j, но и j£ p (см. § 4.3). Поэтому

Это и есть уравнение движения в дифференциальной форме, поскольку искомая переменная величина — угловая скорость и\ начального звена механизма — стоит под знаком производ­ ной. При пользовании уравнением (4.31) следует помнить, что суммарный приведенный момент М£р, а также производная d«/£p/d ^ i суть величины алгебраические и подставляются со своими знаками.

В том случае, когда исследуется механизм, имеющий = const (например, зубчатый механизм с круглыми цент­ роидами), уравнение его движения упрощается и приобретает

Уравнение движения в дифференциальной форме (4.31) может быть получено также и из уравнения Лагранжа второго рода [3, 5].

Для определения углового ускорения Е \ начального звена используем уравнение (4.31) и решаем его относительно Е \ =

Величины M£p и d J^p/d ip\ подставляются в уравнение (4.33) со своими знаками. Если угловое ускорение Е \ получится со знаком, противоположным знаку угловой скорости u>i, значит, начальное звено механизма движется замедленно.

Производную dJ^/dtpi подсчитывают численным диф­ ференцированием или графическим дифференцированием (см. § 3.2). Другой значительно более точный (но и более

трудоемкий) способ определения производной dJ^?/d(pi мож­ но найти в специальной литературе *

Угловое ускорение Е \ определяют также и способом, опи­ санным в § 3.2 (способом поднормали). Там же изложены спо­ собы построения функций £i(t) и

Далее будут рассмотрены неустановившийся и установив­ шийся процессы движения машинного агрегата (см. § 1.4).

4.5. Закон изменения скорости механизма, нагруженного силами,

зависящими только от положения

Неустановившийся (или переходный) процесс движения машинного агрегата имеет место в случае, когда агрегат пус­ кают в ход и он, набирая скорость, выходит на установившийся режим, а также когда для остановки агрегата его двигатель выключают и он продолжает двигаться за счет накопленного запаса кинетической энергии; при этом агрегат постепенно те­ ряет скорость из-за действия сил трения или каких-либо дру­ гих сил сопротивления, в том числе и специальных тормозных сил. В этих случаях необходимо знать, как быстро происхо­ дят переход из неподвижного состояния в рабочее и обратный переход до полной остановки. Применительно к транспорт­ ным машинам изучение обратного перехода особенно важно для надежного расчета длины тормозного пути. Исследование неустановившегося движения позволяет определить время сра­ батывания механизма, что абсолютно необходимо для проек­ тирования многих приборов, таких, как фотозатворы, средства автоматической защиты и др.

Разгоны (разбеги) и торможения могут происходить с большим ускорением. Это вызывает значительное динамиче­ ское нагружение механизма, что, в свою очередь, может при­ вести к перенапряжениям и даже поломкам.

* См.: Минут С.Б. Об определении производной приведенного момен­ та инерции массы звеньев механизма / / Науч. тр. МВТУ им. Н.Э. Бау­ мана, 1970; Зиновьев В.А., Бессонов А.П. Основы динамики машинных агрегатов. М., 1964.

Во время разбега и выбега угловая скорость многих агре­ гатов проходит через критическую (резонансную) зону. Во избежание динамической перегрузки механизма и возможной аварии проход этой зоны должен быть достаточно быстрым, что обеспечивается при проектировании путем расчета обеих фаз неустановившегося движения. Решение многих других ди­ намических задач также связано с исследованием такого дви­ жения.

Таким образом, изучение неустановившихся процессов весьма существенно для грамотного динамического проекти­ рования механизма машины или прибора.

Для определения закона неустановившегося движения ме­ ханизма должны быть известны следующие исходные данные: кинематическая схема механизма; характеристики геометрии масс всех подвижных звеньев; механические характеристики сил и моментов; начальные условия движения. Последнее важ­ но для исследования именно неустановившегося движения.

Рассмотрим механизм, нагруженный силами и момента­ ми, которые являются функциями только положения его зве­ ньев. Пусть приведенный момент инерции механизма имеет переменную величину j£ p = var. Требуется определить зави­ симость угловой скорости начального звена (обобщенной ско­ рости) от его угла поворота, т.е. Подобная задача является весьма распространенной. В качестве примеров мож­ но привести механизмы дизель-компрессоров, буровых стан­ ков и подъемных кранов, погрузочных машин, гидронасосов с приводом от двигателей внутреннего сгорания, различных устройств с пневмоприводом, приборов с пружинными двига­ телями и др.

Определение искомой угловой скорости и\ графическим способом (рис. 4.5) осуществляется в следующем порядке.

ф

1.Выполняется приведение масс и строится диаграм­

ма* приведенного момента инерции механизма 1), кото­ рая показана на рис. 4.5 повернутой на 90°. Начальное поло­ жение отмечено как нулевое. Для отсчета углов (pi принято

¥>1нач = ¥>0 = 0.

2. По механическим характеристикам строятся диаграм­ мы приведенного движущего момента и приведенного момента сопротивления, а затем диаграмма суммарного приведенного момента

Если в механизме есть пружины, то приведенные момен­ ты их упругих сил должны войти в суммарный приведенный

* Поворот диаграммы */£p(<pi) на 90° нужен для определения угло­ вой скорости Ы1 методом энергомасс, который будет изложен в конце

параграфа.

момент. В том случае, когда силы тяжести и силы трения значительны, их приведенные моменты также должны войти слагаемыми в величину

В результате выполнения п. 1 и 2 заданный механизм при­ водится к динамической модели.

3.Графическим интегрированием (см. § 3.2) строится диаграмма суммы работы А%((рi). Ординаты этой диаграммы отсчитываются от оси у>\.

4.По уравнению (4.34) с учетом начальных условий под­ считывается для каждого положения механизма угловая ско­

wo = wiHa4 содержится в исходных данных и изображена орди­ натой Oh = /лшио. Величина «/£нач = O&o/MJ есть приведенный момент инерции механизма в нулевой позиции.

В таком же порядке нужно вести расчет и численным спо­ собом с применением ЭВМ.

Наглядное представление о том, как изменяется скорость, можно получить графическим методом, разработанным И.И. Артоболевским. Для этого необходимо построить кривую энергомасс T(J^>) (диаграмму Виттенбауэра).

Сместим вниз ось щ на диаграмме AE (V?I ) на величину

текущее значение кинетической энергии Г в различных поло­ жениях механизма. Затем исключим из зависимостей T{ip\) и параметр <р\ (на рис. 4.5 это показано для положе­ ния 1) и, проделав это необходимое число раз, получим диа­ грамму энергомасс T(J^P).

Теперь определим угловую скорость из уравнения (4.27) с

изображающие их отрезки: Т\ = 2/ri/MA> ^ 1 = VJi/PJ- Тогда получим

Сравним между собой углы ф. Согласно уравнению (4.36), угловая скорость в положении 1 больше угловой скорости CJQ в начальном положении, так как ф\ > ^oi рассуждая та­ ким же образом, получим (и\) 2 < (^1)1 , так как Ф2 < Ф\ и т.д. Следовательно, переходя по кривой энергомасс от пози­ ции к позиции, можно наглядно проследить, как изменяется угловая скорость начального звена механизма при изменении его положения.

Метод построения графика остается в силе и для механизмов, у которых «/£р = const. При этом графики функ­ ций 4 P(v?i) и Т(«/£Р) будут представлять прямые линии. Из­ ложенный метод пригоден для изучения обеих фаз неустановившегося движения, т.е. и для разбега (разгона), и для выбе­ га. Это же относится и к методам, изложенным в двух после­ дующих параграфах.

4.6. Закон изменения скорости механизма, нагруженного силами,

зависящими только от скорости

Рассматриваемый случай отличается от предыдущего, вопервых, тем, что силы и моменты не зависят от положения зве­ ньев, а являются функциями только их скорости, и, во-вторых, тем, что приведенный момент инерции механизма есть вели­ чина постоянная: j£ P = const. Типичными примерами для таких условий являются турбогенераторы и гидрогенераторы, многие грузоподъемные машины и станки, прокатные станы, центробежные насосы и воздуходувки с электроприводом, сле­ дящие системы с электромоторным приводом и ряд других устройств. Требуется определить, как изменяется угловая ско­ рость начального звена (обобщенная скорость) с течением вре­ мени, т.е.

В уравнении (4.38) Г = /В\ эту величину называют постоянной времени машинного агрегата. Графически она изо­ бражена на рис. 4.7 отрезком ab. Ее физический смысл состо­ ит в следующем. Если в процессе разгона суммарный момент

0,95; при t = 4Т оно возрастет до 0,98, а при t = 5Т — до 0,995, т.е. при t = (4 - 5)Т процесс разгона практически.закончит­ ся. Зная значение Т, можно определить продолжительность разгона машины. Отсюда следует очевидный результат: чем больше инертность агрегата (чем больше */^р), тем больше Т, равное */£р/5 , тем более продолжительным будет разгон.

Из сказанного следует, что если задать время разгона, то можно определить то значение /£ р, при котором процесс разго­ на действительно займет заданное время. Так, если потребо­ вать, чтобы разгон продолжался в течение t = £*, считая, что

используя изложенную методику, можно не только найти за­ кон изменения скорости механизма (см. (4.38)), но и решить обратную задачу — по заданным условиям движения (напри­ мер, по времени срабатывания t*) определить, каковы должны быть параметры механизма (моменты инерции звеньев, а за­ тем и их размеры), т.е. выполнить проектирование механизма для заданного динамического режима.

В рассматриваемом примере угло­ вая скорость u>i получилась монотонно возрастающей. Это является результа­ том того, что моменты, приложенные к валам машин, периодически не изменя­ ются (поскольку они не зависят от угло­ вых координат валов), а приведенный момент инерции машинной установки постоянен.

Во многих случаях линейная аппроксимация зависимости М^Р(и>1 ) невозможна. Так, например, в случае разгона меха­ низма токарного станка асинхронным двигателем зависимость М^Р{и\) имеет вид, представленный на рис. 4.8. В этом слу­ чае уравнение (4.37) можно решить графически или применить численное интегрирование (см. § 3.2).

4.7. Закон изменения скорости механизма, нагруженного силами, зависящими как от положения, так и от скорости

Рассмотрим более общий случай исследования неустано­ вившегося движения, когда силы и моменты, приложенные к механизму, являются функциями как положения, так и скоро­ сти, а приведенный момент инерции механизма есть величина переменная: J^P = var. Примерами могут служить многие рабочие машины с электроприводом (металлорежущие стан­ ки, прессы, поршневые компрессоры и насосы и др.), различ­ ные приборы с электромагнитным приводом (реле, контакто­ ры, средства автоматической защиты и др.), а также такие динамические процессы, как запуск двигателей внутреннего сгорания от электростартера, пуск моторкомпрессорных уста­ новок, станков и т.п.

Пусть требуется определить зависимость скорости на­ чального звена от его угла поворота, т.е. ui((fii).

Поставленную задачу можно решить, используя уравне­

Один из методов решения этого уравнения предложен М.А. Скуридиным. Особенность метода заключается в том, что работа сил, не зависящих от скорости, рассматривается отдельно от работы сил, зависящих от скорости. Значит, и приведение этих двух видов сил делается раздельно. Пока­ жем метод решения поставленной задачи на конкретном при­ мере пуска в ход кулисного механизма поперечно-строгального станка (рис. 4.9, а).

Исходные данные перечислены в § 4.5. Так как станок запускается в режиме холостого хода, т.е. когда нет процес­ са резания, то вся энергия электродвигателя расходуется на увеличение кинетической энергии машины и на преодоление потерь в результате трения. Наиболее сильно трение проявля­ ет себя между ползуном 5 и неподвижной направляющей. Си­ лу трения FT в этой поступательной паре можно принять по­ стоянной (рис. 4.9, б). Трение в других кинематических парах учитывать не будем, поскольку оно относительно мало. Точно так же опустим влияние сил тяжести. Механическая характе­ ристика асинхронного электродвигателя Мдъ(ирот) изображе­ на на рис. 4.9, в. Пусть начальные условия движения таковы: при t = ^нач Имеем (pi — ¥>1нач> ^1 — ^1нач = О-

Выберем в качестве начального звена большее колесо 1 зубчатой передачи. Наметим ряд положений механизма: 0, 1, 2 , . . отсчет углов ц>\ будем вести от начального (нулевого) положения <ро = ^нач (см. рис. 4.9, а).

Приведем массы звеньев механизма и построим диаграм-

только координаты (р\ начального звена и от скорости не за­ висит. Наконец определим приведенный момент М "р электро­ двигателя (рис. 4.12, а), который представляет собой функцию угловой скорости *

Запишем уравнение движения в виде

где Ар — работа приведенного момента М^р; Аш — работа приведенного момента М "р

Рассмотрим два близких положения: нулевое, для кото­ рого заданы (y?i)o и (wi)o, и первое; они отделены небольшим интервалом Л<^]. Для нулевого положения по начальным усло­ виям легко определить величины </£р, То = 4 o ( wl)o/2> -Ц^о (см. рис. 4.10, 4.12, а). Для первого положения можно опреде­

Напишем уравнение дви­ жения (4.39) в интервале от О до 1, т.е. от (</?i)o до

_

приобретают новые значения, какие — пока неизвестно, сле­ довательно, и вид графика также неизвестен.

Но приближенно можно при­ нять, что в пределах неболь­ шого интервала 0 — 1 момент М£р при увеличении угла (р\

изменяется линейно и в конце интервала получит некоторое

Ошибка будет тем меньше, чем меньше интервал A(f\.

Подставим в уравнение (4.40) величину Awoi из форму-

Обозначим сумму, содержащуюся в скобках, буквой В:

Тогда уравнение приобретает окончательный расчетный вид:

Напомним, что в (4.43) и (4.44) нужно учитывать знак величин М %, А<р01 и BQI. В разбираемом примере A^oi < 0, М^р > 0; кроме того, То = 0, так как (u>i)o = 0.

Как было указано выше, задавшись интервалом Дф1 , можно определить «/^ и все слагаемые величины B QI- Д л я данного интервала эта величина является вполне определен­ ной и не зависящей от угловой скорости и\. Следователь­ но, в уравнении (4.44) неизвестными будут только величины

но решить графическим путем, наложив на характеристику j np

М2Р = f(u>1 ) график функции —^— w? - Д01 = *01 (wl)- Коор-

динаты (wi)i и М Ц точки пересечения 1 являются искомыми решениями.

Если характеристика Л/"р = /(w j) представлена в виде формулы, то уравнение (4.44) можно решить аналитическим или численным путем.

Определив (u>i))i в конце интервала 0 — 1, перейдем к интервалу 1 — 2. Расчетное уравнение для него имеет вид