Курс механики сплошных сред

В случае обратимых процессов из основного утверждения нахо­ дим равенство

циалу внутренней энергии.

ПIII.2.2. Обобщение на сложные замкнутые системы. По опре­ делению, сложная система 2 — это объединение конечного числа зам­

работа, произведенная внешними и внутренними силами (обмен ра­ ботой), и теплообмен равны нулю. Иными словами, если (£Г^)/у обозначает работу, произведенную системой 2 {над системой 2у в про­

цессе Г , то (с £ » 17 + (<£>)у/ = 0.

Таким образом, работу внешних сил над системой 2 можно рас­ сматривать как сумму всех работ внешних сил над каждой отдель­

формулировка первого начала термодинамики оказывается справед­ ливой и для сложных замкнутых систем, удовлетворяющих упомя­ нутому выше ограничительному условию. Итак, можно сформули­ ровать.

Первое начало термодинамики (продолжение). Если считать внут­ реннюю энергию Е сложной замкнутой системы равной сумме внут­ ренних энергий составляющих ее простых замкнутых систем, то равенство (5) остается справедливым для любого процесса ¥ , кото­ рый может протекать в системе.

и в (1.4.1,в), приходим к выводу: взаимный обмен работой и теп­ лообмен всегда в целом равны нулю.

Иными словами,

$ ) i & ) j i + 0 8 ^ ) / / + = 0.

ПШ.З. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ (ПРОСТАЯ ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА)

иными словами, &0 —граничная точка множества N ($0).

Таким образом, формулировка относится к адиабатным процес­ сам. Из нее следует, что если дано начальное состояние $ в, то в любой окрестности точки £ 0 имеется по меньшей мере одно состоя­

и обратимый, который переводил бы систему из <§0 в <§t. Из такой на первый взгляд, качественной формулировки можно сделать сле­ дующий вывод.

Теорема 1 (Каратеодори). Существуют две функции состояния

также удовлетворяет соотношению (7). Обратим особое внимание на следствия данной теоремы, уточняющие формулировку второго закона. Состояния, которых можно достичь путем обратимого ади­ абатного процесса, начиная от <§0 из <TDt расположены все в п-мер- ном подмногообразии, проходящем через <§0. Будем считать, что эти подмногообразия r\ = const являются регулярными связными гиперповерхностями ^ с непрерывно вращающейся касательной плоскостью. Любой адиабатный и обратимый процесс соответствует отрезку L на

Доказательство. Так как форма ср не равна тождественно нулю, то можно предположить, что в окрестности U (<§0) состояния $ 0 [в котором можно, не ограничивая общности, допустить, что все х равны нулю (р = 0, 1, п)] ра­

венство ф = 0 может быть записано в форме

мическим, которое будем считать связной регулярной гиперповерх­ ностью с непрерывно вращающейся касательной плоскостью.

Такие гиперповерхности £Г можно представить уравнением вида т = const, где

ратуры позволяют дать характеристику некоторых частных систем, таких, например, как термометры и термостаты. Первые служат для измерения значения т (не внося заметных изменений в состояние изучаемой системы); вторые дают возможность поддерживать систему при постоянной температуре (несмотря на происходящие в системе процессы).

ПИ 1.4.2. Обобщение второго начала на термически простые си­ стемы. Определение 6. Сложная замкнутая система 2 называется термически простой, если все составляющие ее простые подсистемы 2,- имеют одну и ту же температуру.

При изучении различных состояний простой термической системы

в качестве одной из переменных, описывающих состояние системы 2, выбрать именно т. С помощью т можно также описывать состояние каждой из подсистем 2,.

Второе начало (продолжение). Второй закон (начало) термоди­ намики является справедливым для термически простых систем.

Теперь можно доказать следующее важное утверждение. Теорема 2 (Карно). Существует универсальная шкала темпера­

тур Г, называемая абсолютной температурой, и для всякой простой

сумме энтропий каждой из этих систем.

Поясним сначала утверждения данной теоремы. Заметим прежде

где а и Ъ—некоторые постоянные. Из определения 5 вытекает, что абсолютная температура Т никогда не может быть равной нулю. Таким образом, ее всегда можно считать положительной. Числовой

Множитель можно зафиксировать, если принять при нормальных Условиях разность температур тающего льда и кипящей воды рав­ ной 100. Тогда энтропия 5 определяется с точностью до аддитивной Постоянной *. При таких уточнениях абсолютная температура и эн­ тропия (или по меньшей мере разности энтропий) имеют универсаль­

рактер. Отныне всякий процесс, который является и обратимым и адиабатным, будем называть изоэнтропийным.

Приведем теперь основные этапы доказательства теоремы Карно. Рассмотрим

Поставим теперь следующую задачу: используя результаты термо­ статики, уточнить вид функций f (Г) и g (Т) и вывести отсюда не­ которые следствия.

Прежде всего заметим, что элементарная работа внешних сил в

тимом процессе кинетическая энергия равна нулю) и из выражения для мощности внутренних сил р div £/= g j, когда тензор напря­

жений — шаровой. Следовательно, величина — pdx в точности равна элементарной работе внешних поверхностных сил в объеме т (напри­ мер, при очень медленном элементарном движении поршня).

Учитывая формулу (10), соотношение (6) можно переписать в такой форме:

Заменяя, е по формуле (12) и дифференцируя (11), видим, что выражение

±r(T + g ')d T -± rd p

является дифференциалом функции s(T,p). Это возможно только в том случае, когда отношение х/Т зависит только от /?, т. е. т=777(р). Тогда

£тТ = pF (р) = ЦТ)т •

Так как р и Г —независимые переменные (в противном случае система зависела бы не от двух, а от одной переменной), то эти величины равны некоторой постоянной г, называемой газовой по­ стоянной (идеальных газов). Это сразу дает соотношение

Далее, дифференциал обратимого притока теплоты Tds = (g' + r) d T - x d p = gf dT + pdx.

Очевидно, можно сказать, что величина g’ = Cv равна удельной теплоемкости при постоянном объеме, a g' + г = Ср—удельной теп­ лоемкости при постоянном давлении. Эти величины являются функ­ циями переменной Т и связаны соотношением

их можно Получить опытным путем. Если ввести функцию а(Т), определяемую с точностью до аддитивной постоянной по формуле

называемое показателем адиабаты, также постоянная величина. Следовательно, можно (после соответствующего выбора постоянных интегрирования) написать, что

или, так как s определяется только с точностью до аддитивной по­ стоянной,

s = С* log (TV"1).

Итак, для идеального газа с постоянными удельными теплоем­ костями изоэнтропийные поверхности определяются одним из сле­ дующих уравнений:

данные и принципы термостатики позволяют получить фундамен­ тальные формулы, характеризующие данную термостатическую сис­ тему.

ПП1.5. ПОТЕНЦИАЛЫ

Определение 8. Потенциал или термодинамический потенциал системы, зависящей от (п+ 1) переменной %0У Xi> • ••,%„,— это ска­

мые ассоциированными потенциалу Z. Для этого положим (р —целое