Курс механики сплошных сред

в) Функции запаздывания. Так же просто определяются для та­ кой среды функции запаздывания или функции вязкоупругой пол­ зучести.

Положим:

Ассоциированные' функции М (t), J (t) и C(t) являются функциями запаздывания при сжатии, при сдвиге и при чистом растя­ жении. Например, соотношение (101) примет такой вид:

Предполагая, что J* (D) можно разложить на простые элементы

неотрицательны. Параметры Qp—времена запаздывания (или вре­

Очевидно, аналогичные рассуждения могут быть проведены и для других функций запаздывания M(t) и С (t). В последующем придется пользоваться функцией запаздывания N (t), ассоцииро­ ванной N* (D) —оператору, соответствующему упругой константе v £ -‘, входящей в формулировки законов поведения. С учетом фор­ мулы (VI,33) имеем простую зависимость

#*=■ (-^-),== у (С* - М ‘) - J*- С*.

Х.3.3. Чистое растяжение цилиндрического стержня. Рассмотрим снова эту очень простую задачу, изученную в X. 1.4. Среду на этот

раз считаем вязкоупругой, а величину F — зависящей (возможно) от времени. Очевидно, что формулы

o{t) = a \\E ( l) dk.

Если измерить o(t), можно получить интеграл от модуля £ (/); результаты приведены на рис. 15.

Если положить а =‘0 , то будем иметь

в((0) = г0 ^° Е(Х) dX.

График функции Е (t) представляет собой кривую, обращенную выпуклостью вниз, поэтому напряжение о (/0), соответствующее данной деформации е0, достиг­ нутой при постоянной скорости деформации за время t0, будет тем меньшим, чем большим будет интервал времени t0 (или чем меньше будет скорость деформации). Точно так же можно показать, что соответствующая заданному напряжению о0 деформация за время t0 при условии постоянства скорости увеличения нагрузки

^а = о0 -у-^ будет тем большей, чем больше отрезок времени t0.

б) Постоянная нагрузка, приложенная в течение конечного от-

резка времени. Итак, по предположению, нагрузка o(t) равна нулю везде, кроме интервала 0 < i < /0, в течение которого а(/) = а0. Тогда е = а0С(/) при 0 < t < t01 а при t < t 0

е=а°S L . w d x = a ° (о

Интеграл в правой части вычисляется без труда:

Таким образом, имеем следующий результат:

0 (О = ео I m { ^ ^ i e x p ( t o / } + ^ = ^ e x p { - l } } . (117)

Вторая из фигурирующих здесь экспонент со временем убывает и описывает переходной процесс; первая экспонента —синусоидальная функция времени. Через некоторое достаточно долгое время с мо­ мента начала возбуждения значение ст(*) становится практически

равным периодической функции сг(*), если пренебречь переходным процессом. Учитывая выражение (110), можно написать, что

Е* (to) называется комплексным модулем при простом растяжении.

Положим

Е* (to) = E i (со) + iE2(со) = А (со) ехр {*<5 (со)},

отделив действительную и мнимую части, модуль и аргумент вели­ чины £*(to). Теперь имеем в явном виде зависимость

фаз, что видно из сравнения найденного решения с формулой (116).

жду 0 и п/2 (при со—>0 и со—►оо угол б бесконечно мал, т. е. для коротких и длинных волн). График tg б представлен на рис. 17.

Заключение. Для реализации периодических колебаний (116) в вязкоупругой среде (тЛ^=0) при пренебрежении переходными процессами требуется приложить периодическое возбуждение (119). При этом деформации отстают по фазе от усилий (сдвиг фаз зависит от частоты возбуждения) и наблюдается усиление амплитуды (также

Рассуждения проведены на примере трехпараметрической модели, однако формулы (118) и (119) и качественные выводы остаются

Х.3.4. Другие задачи теории вязкоупругости. Можно вновь рас­ смотреть задачи, связанные с кручением и изгибом цилиндрического стержня или о раздувании сферического резервуара и решить их приведенным выше методом. Заменяя в решении упругие константы соответствующими операторами, получаем решение (в операторных обозначениях) вязкоупругой задачи. Справедливость полученного решения подтверждается тем, что уравнения равновесия, законы поведения и граничные условия выполняются. Для получения реше­ ния в явном виде достаточно применить правила операционного исчисления, установленные в Х.3.1. Этот метод решения называют

принципом соответствия.

Нет нужды выписывать все формулы полных решений перечис­ ленных задач. Ограничимся тем, что сделаем несколько замечаний относительно глобальных результатов.

помочь в поисках наиболее простой формы выражения закона пове­ дения среды, при которой число неизвестных параметров минимально (например, модель с тремя параметрами или еще более частный случай—тело Максвелла или тело Кельвина—Фойхта). Более Общие формулы, как, например (108), с большим числом параметров также могут быть полезными.

На рис. 18 приведены для наглядности некоторые эксперимен­ тальные значения модулей релаксации при расширении и при сдвиге для полиизобутилена *.

Х.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении предлагаем читателю изучить рио. 19, в котором сведены для случая разных сред (упругой, упруго-идеально-пласти-

по определенному закону [относительное удлинение к тождественно

* См. работу Хуана, Ли и Роджерса tStanford University Technical Report», 1963, n° 140.

использовать соглашение о суммировании по повторяющемуся

есть линейное отображение пространства Е на множество дейст­

пространства Е, называемого сопряженным пространству Е\ формы

вектор А из пространства £, реализует изоморфизм пространства Е на пространство Е и позволяет, таким образом, отождествить сопря­

женное пространство Ё с самим пространством Е. Ниже будем это делать систематически. Практические упрощения, которые из этого следуют, в конечном счете оправдывают появляющиеся при этом теоретические сложности. Так, вектор Л из £ можно рассматри­ вать либо непосредственно как один из элементов £, либо как операцию, определяющую линейную форму:

2(Х) = А-Х.

Замечание. Тот факт, что здесь используются только ортонормированные базисы, позволяет оперировать только с нижними индексами и применять правило суммирования по немым индексам в нижнем положении. Пусть, например, базис

и соглашение о немом индексе будет применимо только к тем одночленам, у кото­ рых повторяющийся буквенный индекс встречается один раз вверху и один раз

внизу.

Равенство (1) перепишется следующим образом:

правая часть в силу соглашения о суммировании по повторяющимся (немым) индексам представляет собой сумму:

gliX m + g i2XiY*+g21X*Yi+...

*(*) = *'■*(*/)•

контрвариантными, и составляющие Л/, называемые ковариантными, которые следует различать. Формулы (6) запишутся тогда в виде

Можно к тому же убедиться, что Л,- действительно являются составляющими

Можно теперь оценить упрощения, вытекающие из рассмотрения только ортонормированных базисов: g/y, gU — единичные матрицы, базисы е,- и ei тож­ дественны, как и составляющие Л* и Л/ одного и того же вектора Л. Положение

индексов теперь не имеет значения. Конечно, при таком ограничении мы теряем возможность выявить алгебраическую природу некоторых величин, но в боль­ шинстве задач механики это не столь важно по сравнению с преимуществом, даваемом упрощением записи и обозначений.

П1.1.2. Использование соглашения о немом индексе. Следует сделать несколько замечаний об употреблении немого индекса,