Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс механики сплошных сред

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

20.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

так как в последующем изложении оно будет применяться постоянно. Индексы в формулах, которые не являются немыми, называются свободными: они могут фигурировать в каждом одночлене только

один раз. Так, например, в формуле

		At = MuBJt		(16)
I является свободным индексом, а			/ — немым. Следует	всегда сле
дить за тем, чтобы	немой	индекс	обозначался отдельной буквой,
не совпадающей с	теми,	которые	использованы для	свободных

индексов. Левая часть уравнений (16) может обозначать i-ю состав

ляющую вектора А в ортонормированном базисе (elt							е 2, е а).
Если точно так же величины B t					обозначают составляющие неко
торого вектора В в этом же базисе,					то	формула (16)	означает,	что
A i —линейные формы составляющих В {,						а матрица	определяет
в этом базисе линейный			оператор А —>-В.
Допустим также, что имеют место следующие равенства:
			-	а д	,			(17)
выражающие,	что	Bh в	свою	очередь,являютсялинейными				фор
мами величин	Cj.	Подстановка		(17)	в	(16) приводит	к результату,
который может быть записан в компактной форме:
			At = M tJNJkCk.					(18)

В правой части суммирование ведется независимо по двум повторяющимся индексам / и k, которые принимают значения 1, 2, 3. Очевидно, что два немых индекса, встречающиеся в одном и том же одночлене, следует обязательно обозначать различными буквами,

которые, в свою очередь, должны отличаться от обозначения

сво

бодных индексов.

базиса в

Рассмотрим

в пространстве Е

два

П1.1.3. Замена

Е.

ортонормированных

базиса

е*

и е.

Очевидно,

вектор е*

первого

базиса может быть

выражен

через линейную комбинацию

векторов

ev ег, е„

второго базиса:

е? — Рцв/-

(19)

Умножим скалярно левую и правую части

(19)

на ек,

получим

е £■ек= РIIеJ■ек= Рifijk — Plk-

Таким

образом,

величина Pik, являющаяся

проекцией

вектора

е* на ек в базисе

{еъ е 2, еа),

является

одновременно

проекцией

вектора ек на

е}

базисе

(е *, el,

ej),

поэтому можно сразу

написать,

что

е = Рп е].

(20)

Формула

(20)

даст,

очевидно,

решение уравнений

(19).

Сравнение

(19) и (20) показывает, что

транспонированные

матрицы

PtJ и

PJk

являются

в то

же

время и взаимно обратными; иными

словами,

они являются

ортогональными. Этот же результат можно получить,

образовав

из

(19)

скалярное

произведение

е1-е]

или

образовав

с использованием выражений	(20) скалярное произведение		е( е/.
е\ ■е;- = PikPjtek■et =		PikPjfiki — PikP/k>
e i ' e j — P h i P l ] e k ' e i — P h l P l f i k l = P k { P h j »
что дает равенства
P i k P j k =	^lj>	P k i P k j ~ &ij>	( 21)

каждое из которых характеризует свойство ортогональности мат рицы Pi}.

Установив

этот результат,

обозначим через Х { и X] компоненты

вектора X

в базисах

(ег, е г, es)

и (el, el,

el).

Используя

формулы

(19) и

(20),

получим:

X =

X \ e \ ^ X \ P t]ej =

Xjej,

X = X fii

= X iPJie]

= Х ] е ] ,

что дает

связь

между Х { и XI:

х;=рих„ х,.= р„.х;.

(22)

Обозначим

теперь

через X-матрицу-столбец, элементы

кото

рой—Xj,

через

Р — ортогональную

матрицу

элементами

P(f,

через

1—единичную

матрицу;

через

Рт — транспонированную

мат

рицу

с элементами (Рт),у = Р/7.

Равенства

(21), выражающие

свой

ства ортогональности матрицы

Р,

примут вид

ррт = ртр = 1 (

(23)

а формулы

преобразования

(22)

запишутся

следующим

образом:

Х* = РХ,

X = Р ТХ*

(24)

такой

записи

условимся

обозначать произведение двух

мат

риц в виде двух рядом стоящих символов, не разделяя эти

сим

волы какими бы то ни было знаками умножения.

Преобразование

П1.1.4. Система координат

пространстве £ .

координат в <£. Если

только

не будет

оговорено противное,

то все

используемые системы координат будут

ортонормированными

декар

товыми системами. Такая система 51 определяется точкой

О в <§,

принятой

за

начало

координат,

и ортонормированным базисом е/.

Точке М из

тогда

соответствует вектор ОМ из <§, составляющие

которого Х( в базисе

е ( и являются

как раз координатами

точки М

в нашей

системе.

Рассмотрим теперь другую ортонормированную декартову систему

координат R* с началом в С и с базизом el.

Пусть х,- и xj — коор

динаты точки М в системах 54 и 51*.

Соответствие

между

парами

точек пространства <8 и векторами

пространства

Е дается

формулами:

(С, М) — х\е\ = PijX’ej,

(О, М) — x fit = PjiXfi],

(С,

О) —* с] el,

(О, С)

что приводит к следующим соотношениям:

% i~ Ci Pj[Xj , Xj = C{ P ijXj,

или в матричном обозначении:
х = с + Р т х, х = с* + Рх.	(26)
Очевидно, имеют место равенства
с + РТс* = 0, с*-(-Рс = 0.
П1.2. ТЕНЗОРЫ
П1.2.1. Определение и элементарные свойства тензора	второго

ранга, а) Определение. Тензор второго ранга Т является линейным оператором, который всякому вектору Y из Е ставит в соответ ствие вектор V из Е. Обозначим это линейное отображение Y —►V следующим образом:

V = r { Y ) .

(27)

Пространство Е является трехмерным векторным пространством, и линейный характер S' позволяет утверждать следующее. Тензор второго ранга определяется однозначно, если известны значения, которые принимает S ’ (Y) на трех линейно независимых векторах (т. е. на векторах базиса).

Если, в частности, et обозначает векторы ортонормированного базиса, то тензор полностью определен тремя векторами

(28)

— девятью числами TiJy называемыми компонентами тензора в базисе

е, (или матрицей Т, составленной из элементов ТtJ). В самом деле, для произвольного вектора Y имеем

S ' (Y) = S ' (Y f r ) = YjS- (ej) =

так что уравнение (27) запишется в следующей форме:

Vi = T ijY j.	(29)
Итак, в ортонормированном базисе тензор Т	может быть пред

ставлен либо матрицей Т, либо своими компонентами Тц.

С этой точки зрения понятие тензора второго ранга отождествляется с поня

тием матрицы. Пусть Е—векторное пространство п измерений, а,- (t=	1, 2,	. .	п) —
базис Е. Пусть также L — векторное пространство пг измерений, bj ( /=	1, 2, . . . ,		m) —
базис L. Пусть, с другой стороны, %— линейное отображение Е на	L.	Положим
m

			*( « /) - 22	LnbJ-
			/ =l
Существует		взаимно однозначное соответствие между			отображениями	g	и матри
цами	L e m	строками и	п столбцами; Lji— матрица		отображения £	в	базисах
					п
И/ и	bj пространств Е и		L соответственно. Пусть К =		2 Yiai— один	из	элемен*

i =1

тов из Е. Положим jg (K )= 2	Т0ГДа будем иметь следующие равенства;
/ = 1
т	п т

2	vibJ= 2	2 LnbJ>
i=i	<-i	/=1
иными словами,

К / ' = 2 ¥ / . / - 1. 2, 1=1

Рассмотренный выше случай является таким, когда F тождественно Е4— некоторому трехмерному пространству. Последняя формула совпадает тогда (с точностью до обозначений) с формулой (29). Таким образом, (28) и (29) явля ются обычными формулами линейной алгебры. Именно поэтому их систематически используют в данном курсе (например, в II.3.3), тогда как некоторые авторы прибегают к транспонированной матрице и записывают формулу (11,35), дающую линейное отображение и — ►а в виде а {- = ау1иу.

б) Векторное пространство тензоров второго ранга. Задание двух векторов А и В определяет тензор через линейное отображение

V - + A ( B V).

(30)

Этот тензор равен произведению тензоров А и В, которое обо значается А ® В \ произведение, очевидно, является линейным отно сительно обоих сомножителей, его компоненты в е( равны Л/£у.

Тензорные произведения двух векторов образуют подмножество векторного пространства тензоров второго ранга (пространство девяти измерений), которое содержит, в частности, девять элементов

(I, / = 1, 2, 3),

линейно независимых в пространстве тензоров второго ранга [все компоненты равны нулю, за исключением компонента (i, /), равного 1]. Пространство линейных комбинаций тензорных произве дений двух векторов является, таким образом, тождественным про странству тензоров второго ранга. В частности, любой тензор вто рого ранга может быть записан в виде

T = T tjet ®ej .

(31)

Тензор,определяемый тождественным отображением,называется единичным и обозначается /, он равен сумме: е±-\-е%® е г + + е8® е 3. В любом ортонормированном базисе единичному тензору соответствует единичная матрица, а его компоненты равны симво лам Кронекера б/у.

в) Билинейная форма, ассоциированная тензору второго ранга.

Равенство

Т (X, У) = Х-<Г(У)	(32)
определяет билинейную форму Т (X , У) на векторах X и	Y из

пространства Е путем сопоставления этим двум векторам некоторого действительного числа (в силу линейности <JT, с одной стороны,

и линейности скалярного произведения — с другой). Очевидно, что

Т (В/, Bj) = TtJ,

		Т (X , Y ) =	T t j X t Y , = X T T Y ,	(33)
если	обозначить	через X матрицу-столбец с компонентами			Х(,
а через XT транспонированную матрицу-строку.
Обратно, задание билинейной формы Т (X , Y) определяет тензор
второго ранга. Действительно,			зафиксируем значение Y0 вектора		К;
Т (X,	К,,) —линейная форма от X, равна скалярному произведению X
на вектор В0, не зависящий от X и зависящий, следовательно,
только от К0, очевидно, что			эта зависимость —линейная.	Таким
способом определяется тензор			Т, соответствующий форме Т (X , К);
линейный оператор оГ(У), определяющий данный тензор,				удовлет
воряет равенству		(32).


П1.2.2. Тензоры	высших рангов. Понятие тензора второго ранга
представляет собой	обобщение понятия вектора, так как любой
вектор А можно рассматривать как линейный оператор,		ставящий
в соответствие любому вектору X некоторый скаляр по формуле (6).
Таким образом, вектор можно считать тензором первого		ранга.

Тензор третьего ранга S определяется как линейный оператор, который любому вектору Z из Е ставит в соответствие тензор второго ранга W.

Таким образом, тензор третьего ранга определяется линейным отображением Z —►W или W = 'S{Z).

Три вектора А, В и С определяют тензор третьего ранга, отож дествляемый с линейным отображением:

К — Д 0 Я ( С Г ) .

Этот тензор обозначается через .4 0 J B 0 С. Как и раньше, можно показать, что набор тензоров е, (X) В] 0 Bk образует базис векторного пространства размерности З3 тензоров третьего ранга, и, следова тельно, тензор S можно записать в виде линейной комбинации:

S = S Uhe<S)ej ® e k.

Линейное отображение Z —►W, использованное для исходного определения тензора третьего ранга, запишется в такой форме:

^ ,7 = а д ,

Как и выше, любому тензору третьего ранга S можно поставить в соответствие трилинейную форму, зависящую от трех векторов X, У, Z из пространства Е\ значения этой формы —числа S(X, К, Z )’

S(X, К, Z) = SiJkX iYJZk.

Обратно, всякая трилинейная форма, значения которой —числа, определяет тензор третьего ранга, так как любому вектору Z эта форма ставит в соответствие билинейную форму от Х^и У, опреде ляющую тензор второго ранга W’, линейно зависящий от Z.

Очевидно, что следуя дальше этой методике, можно определить тензоры п-го ранга, где ti — целое положительное число.

Условимся, кроме того, считать, что скаляр есть тензор нулвч вого ранга.

Замечание. Можно также следовать более общему методу. Рассмотрим г векч торных евклидовых пространств конечной размерности £ (1), £ (2), ...» £ (г); X<<> А^ — векторы из £ (/). Тогда г — линейная форма


	(Ха\	А ^ ,	. . . , Х(г)) — ►(Д( 1		) (Д(2>-Л,(2>)		(A(r>-X<r>),
заданная на £ (1> х £ (2) X . . .				X £ (г) (линейное отображение			£ (1) X . . .		X £ (г) на
множество действительных чисел) и определенная заданием							векторов Ла) . . . Л(л\
называется тензорным			произведением Л(1) ®		AM ®	. . . ® Л(г). Это элемент вектор!
ного	пространства линейных			форм на пространстве £ (1)® £ (2)®				. . . ® £ (г\ кото,
рое	называют	тензорным		произведением	данных	пространств		и	обозначают

£<1>®£<2>® ... ®£t'>.

Заметим,	что для любого	г — линейного	отображения		Z пространства		£ (1) х
X £ (2) X . . .	X £ (г) на векторное пространство			F существует		и притом	только
одно линейное отображение М тензорного			произведения		£W ®	£<2>® . . . ® £<о
на £, для которого
	Z (ХЫ, Л42*, . . . ,	*<'>) = М (ХМ ®		ХМ ® . . . ® Л™).

Пусть дано векторное эвклидово пространство £ , тогда пространство £ ® £ ® ...

. . . ® Е = Е®П называют п-й тензорной степенью пространства Е\ элементы этого пространства называются тензорами.

П1.2.3. Замена базиса. Введенные объекты —тензоры, являются инвариантными величинами, т. е. они не зависят от выбранного базиса. Однако иногда нужно найти компоненты тензора в орто нормированием базисе е', зная его компоненты в другом ортонор мированием базисе е,. Иными словами, следует распространить на тензоры результаты, найденные для векторов (П1.1.3).

Начнем с тензора второго ранга, который запишем для двух базисов:

Т = Тце\ ® е* = Т,7е,-(g) еу.

Из формул (19) и (20) и линейности тензорного произведения вытекает, что

= PikPJlek® e l, el® e J= P kiPlJe'k® e \,

следовательно, имеем равенства

П , = РыРцТи, Тк1= PikPn r lh

(34)

которые можно также переписать в таком виде:

		Т'Ь— e ikTklPjt,	Тij = Рк1Тк1Рф
или	в матричной	записи:
		Т» = PTPTi	Т = РТТ*Р.			(35)
Эту	же формулу	(34) можно найти,		используя билинейную		форму
Т (X, К), соответствующую тензору				Т, и соотношение (33):
Т ’ы= Т (ек, et) = T (Pkie{, Рifij) = Р^Р уТ					в}) = Р^Рц I

2Ъ6

Нетрудно	убедиться в том, что в любом базисе единичный тен
зор представлен единичной матрицей.
Формулы	(34)	легко обобщаются	на	случай	любого тензора
л-го ранга, например:
	s -	0 е] 0 е'к = S/yjke, 0		е, 0	ек,
	$Цк =	PipPjqP brSpqn $ ijk =			(36)
	$Цк =	PipPjqP brSpqn $ ijk =	Р p i^ qjPrk^'pq г-

Формулы (22), выведенные для вектора, представляют собой

частный случай полученных формул при п= 1.			и S*jkj	свя
Обратно, если множества, состоящие из З3 чисел
заны соотношениями (36), то их можно рассматривать			как компо
ненты одного и того же тензора S в базисах	и	е*, причем переход
от базиса к базису определяется соотношениями		(19)	и (20).	Для
доказательства достаточно убедиться в том,	что	SiJkei^ e j ^ e k =*

= S*ijke*®e]®el. Последнее равенство очевидно, если учесть фор мулы (21), отражающие ортогональность матрицы Р.

F1I.2.4. Тензорные операции. Основная идея, которая исполь зуется в этом разделе, такова: всякая линейная операция над тен зорными произведениями векторов может быть сразу же распро странена и на порождаемые в результате тензорного умножения

тензоры.	Это	утверждение следует			непосредственно	из замечания
в конце	П1.2.1.
а)	Тензорное умножение. Понятие тензорного произведения было
дано в замечании к П1.2.2.				ранга Л ® Я ® С ,		определяемый
Рассмотрим		тензор	третьего
тремя векторами А , Я,			С, и тензор		второго ранга D ® £ , опреде
ляемый векторами D и Е. Естественное определение тензорного
произведения этих двух			тензоров	таково:

( Л ® Я ® С ) ® ( Я ® Я ) = Л ® Я ® C ® D ® £ .

В силу линейности операции ® ее можно распространить и на случай линейных комбинаций тензорных произведений, т. е. на слу чай тензоров. Рассмотрим, например, два тензора:

® = SijkBi® 6 j® вк, T=Tpjep@ e q,

их тензорное произведение P = S ® 7 ‘ определим равенством

(S,-jke i ® 0 J ® ек) 0	(Tpqep0	eq) = ЭикТр^	® е, ® е к® е р& eq.
Компоненты Pijkpq тензора		пятого ранга	Р	равны:
	Р ijkpq — S ijk T pq>			(37)
т. е. они получаются	простым	перемножением		компонентов тензо
ров S и Т.

Заметим, что правило (37) умножения компонентов справедливо в любой ортонормированной системе отсчета. Справедливость этого утверждения прове ряется применением формул (36) перехода от одного базиса к другому. Такая проверка представляет собой второй путь определения понятия тензорного про изведения двух тензоров.

Третий путь определения понятия тензорного произведения основан на рас

смотрении

полилинейных

форм

S (.X,

Z), Т (Ut V), соответствующих тензорам

S’ и Т.

Полилинейная

форма

S (X,

Z)T (£/,

определяет

тензор

пятого

ранга, который является произведением тензора 5 на тензор

Т,

вновь

прихо

дим к формуле (37), если для представления тензоров S и Т

выбран

ортонорми-

рованный

базис.

б)

Свертка

тензоров.

Пусть

задан

тензор

четвертого

ранга

Л ® # ® С ® £ > .

Очевидно,

ему

можно

поставить

соответствие

тензор

второго ранга по формуле

A ( B C ) D = (B - C )A® D ,

который каждому вектору

У сопоставляет некоторый вектор,

колли-

неарный вектору

А,

по формуле

К — А{В

С) (D-K),

компоненты данного

тензора:

В силу линейности тензорных и скалярных произведений эту

операцию можно распространить и на тензоры.

Так,

тензору

четвертого

ранга

T = T i/klei® e J® e k® e l

(38)

можно поставить в соответствие путем свертки

по

второму

тре

тьему

индексам тензор второго

ранга:

Tikki^i ® &1-

(39)

Для выполнения операции свертки достаточно заменить тензорное

произведение двух векторов

£ у ® е л,

подвергаемое

свертке, их

ска

лярным произведением 6/А, что сводится

вычеркиванию

векторов

и ek в тензорном произведении

(38) и

преобразованию

индексов

/ и k в повторяющиеся, т. е. немые.

Можно непосредственно проверить что выражение

(39)— тензор;

для

этого

следует

воспользоваться

результатами,

приведенными

в П1.2.3,

касающимися

замены

базиса. Так

как Т— тензор, то,

по предположению,

его

компоненты

в базисах

ei и е\ удовлетворяют соотношению

Т ijkl = Р {рР/qP krP lsT pqrst

и, следовательно, в силу ортогональности матрицы Р о учетом формул (21) имеет место равенство

^ ikkl = РipPkqPkrPlsT *?qrs= PipPls&qrTpqrs — PtpPlsTprrs*

откуда следует, что (39) действительно является тензором второго ранга.

Итак, тензору ранга п можно поставить в соответствие со сверт кой по двум индексам тензор ранга /г—2. Скаляр, полученный сверткой по двум индексам тензора второго ранга 7\ называется следом этого тензора и обозначается tr{ r[; если —компоненты тензора Т в ортонормированном базисе, то

t r m = 7 V

(40)

в) Умножение со сверткой. Возьмем для определенности два тензора S = Si/kei® e / ® e k и Т = Трцер(® ег Тензор, который по лучается в результате тензорного умножения S на Т и последующей

свертки по последнему индексу тензора S и первому индексу тен зора Т, есть тензор (третьего ранга), называемый результатом умножения со сверткой тензора S на тензор Т и обозначаемый

$• T = S ljkTkqe i® e / ® e q.

Определенный выше единичный тензор (второго ранга) является как раз единицей в операции умножения со сверткой. В самом деле,

■Sf/A? = $1/г

Если осуществить вторичную свертку по 2-му и 3-му индексам полученного тензора, получаем вектор S 'T = S ijkTkJel.

Заметим, что линейные отображения &Г (У) и $ (Z), введенные в П1.2.1 и П1.2.2 для определения тензора второго ранга Т и тен

зора третьего	ранга S, имеют значения тензоров первого (V) и вто
рого (W) рангов, которые определяются умножением со		сверткой
на векторы Y	и Z:
	V — T Y , W = S Z .
Точно так	же скалярное произведение двух векторов А и В есть
результат умножения со сверткой векторов А и В.		0	б/ 0 ек
г) Перестановка индексов. На основе тензора .S =
можно построить другой тензор, переставляя второй		и	третий
индексы, т. е.

S' = Sl/het ® eh ® e, = Sik/e, ® e ,® ek.

Тензорам S и S' соответствуют трилинейные формы:

S (X , Y, Z) и S' (.X, Y, Z) = S(X, Z, Y).

Заметим, что к любому тензору второго ранга операцию пере становки можно применить только один раз.

В заключение сформулируем следующее утверждение, которое обобщает замечание пункта в).

Теорема. Линейный оператор, сопоставляющий тензору ранга р тензор ранга q, является тензором ранга (р + q)-

Примем для конкретности р = 2, q = 3. Прежде всего видим, что тензор пятого ранга

L = LiiMmCi ® в/ ® ен ® e t 0 ет

реализует линейное отображение Т —*• S, о котором идет речь и ко торое может быть записано в виде двойного умножения со сверткой тензора L на тензор, полученный перестановкой индексов из тен зора Т:

5 =	0 0 ek= Ltfklmet ® e / ® e k® e l® e„ iT pqeq ® ер=
	~ Lt/k[mT lmet ® б /® вк.

Обратно, линейное отображение определяется 3* тензорами третьего ранга, соответствующими базису ep® e q, которое можно

записать в такой форме:

Lijkpqe i® e j® e h.

Легко видеть, что это линейное отображение можно отождествить с рассмотренным выше тензором пятого ранга.

Приложение. Формула (1,52)

определяет линейное отображение пары (V , ft) на множество дейст вительных чисел; V — вектор, a ft—антисимметричный тензор вто рого ранга. Сужение данного отображения на множество пар (к, 0),

где ft = 0, есть линейная скалярная функция вектора V. Таким образом, Т[ необходимо являются компонентами вектора. Сужение

отображения на множество пар (0, ft), (К = 0 ) есть линейная функ

ция от ft со скалярными значениями. Существует, следовательно, тензор L с компонентами Li}, такой, что для этих пар можно написать

5*= LjjQy.

Если	же	L iJ = ( L ij ) s + (Lij)a—разложение				на	симметричную и
несимметричную составляющие,			то получим простое соотношение
		& =	( L ij ) a f t /у.
Так	как величины ft/y —произвольные,				убеждаемся, что в (1,52)
M tj = 2 (Lij)a.		Отсюда следует,	что	M{J	действительно			являются
компонентами антисимметричного тензора второго ранга.
Замечание. Подчеркнем, что, осуществляя тензорное умножение								со	сверткой
и используя сокращенные обозначения, следует					уточнить		избранные		правила
свертки, причем		может случиться, что для		получения		правильного		результата

нужно сначала произвести перестановку. Именно так обстояло дело в предыдущем примере. Формула

		&ijk—	JklrrJ'lm»
смысл которой	в индексной	записи совершенно ясен,		может быть представлена
с помощью принятого правила свертки, т. е. полагая,				что 5 — дважды свернутое
произведение тензора L на транспонированный тензор				Т (полученный перестанов
кой индексов из	Т\ не следует	забывать	эту перестановку).

Тензорное обозначение не только удобно, но и наглядно с физической точки зрения. Тензоры являются математическими объектами, над которыми можно

проводить сформулированные выше операции. Но			не следует также забывать, что
тензоры являются операторами, и поэтому необходимо точно знать их						действия
на векторы или тензоры.
	П1.3. ТЕНЗОР ОРИЕНТАЦИИ (БАЗИСА)
П1.3.1. Символы zijk. Определение. Если индексы /, /,						k могут
независимо принимать		значения 1, 2, 3, то через			zijk будем обозна
чать	альтернирующую	функцию индексов	i, /,	k\	это означает, что
е128=	1* При перестановке двух индексов		Вук	принимает		противо
положное значение, т. е. е/ул= + 1, если			(/,/,	k) — четная		переста

ло

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20228.16 Mб59Краткий курс общей физики..pdf
#
15.11.20224.15 Mб32Крепление испытание и освоение нефтяных и газовых скважин..pdf
#
15.11.202210.22 Mб11Крепление испытание и освоение скважин при разработке нефтяных место..pdf
#
15.11.202211.27 Mб61Кристаллизация и литейные свойства сплавов..pdf
#
15.11.20221.05 Mб16Кристаллография..pdf
#
15.11.202220.58 Mб20Курс механики сплошных сред..pdf
#
15.11.202220.15 Mб3Курс экономики для бакалавров..pdf
#
15.11.202215.71 Mб37Курсовое проектирование по теории механизмов и механике систем машин..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб33Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб15Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf