Курс механики сплошных сред

новка из (1, 2, 3), и равно —1, если перестановка нечетная; во всех других случаях ziJH равно нулю.

Введем обозначения:

в которых правые части являются определителями матриц, все эле­ менты которых являются символами Кронекера. Приведем разложения определителей по элементам:

в которых, конечно, по повторяющимся индексам в левых частях следует производить суммирование.

Докажем тождество

Они продолжают оставаться равными, если осуществить перестановку любых двух из индексов t, /, k или из р, q, г. Таким образом, обе части равенства равны, когда i, /, k и р, q, г являются произ­ вольными перестановками из 1, 2, 3. В противном случае они, оче­ видно, оба равны нулю, что и требовалось доказать.

EiJkRp/k — 26,-р, ei/k&ijk — 6 . I

Видно, что обозначение г1/к удобно для сокращенной записи некоторых формул. Вот один из примеров. Если А —матрица, состав­ ленная из элементов А1)у то легко проверить соотношения:

Rl/kAlpA/qAkr = Bpqr det(A),

тензор /, который в любом ортонормированном базисе определяется следующим образом:

Легко видеть, что b,/pq и 6,7ftp(jr — соответственно компоненты тензоров четвертого и шестого рангов в любом ортонормированном базисе, называемые иногда тензорами антисимметризации прост-

ю*

ранства Е , которые после выбора базиса можно записать в виде: bijpqei ® e J® e p® e q,

ЬцьрчгЪ® eJ ® e lt® e p ® e q® ег.

Действительно, эти тензоры строятся из единичного тензора с помощью операций типа: тензорное умножение на единичный тен­ зор, перестановка, линейная комбинация при постоянных коэффи­ циентах (равных +1 или —1).

Название тензор антисимметризации объясняется на следующем примере. Компоненты

(45)

с точностью до множителя 1/2, равны компонентам тензора, полу­ ченного умножением с двойной сверткой первого тензора антисим­ метризации и, тензора, полученного перестановкой индексов тензора второго ранга Т. Но этот тензор как раз и совпадает с антисиммет­ ричной составляющей тензора Т (П1.4.2), что можно проверить, определив по формуле (43) его компоненты.

Представляет интерес выяснить, как ведет себя тензор

при замене ортонормированного базиса. В базисе е\ его компоненты

ориентацию. Таким образом, величина г^к представляет компоненты тензора во всех ортонормированных базисах, имеющих одинаковую ориентацию —это тензор ориентации этих базисов. Но в базисе обратной ориентации компоненты этого же тензора будут противо­ положными.

Этот же результат можно выразить по-другому через понятие псевдотензора или аксиального тензора, понимая под ним математический объект, который во всех ортонормированных базисах одной определенной ориентации представлен одинаково, а во всех базисах, ориентация которых не совпадает с зафиксиро­ ванной, имеет противоположные компоненты. Таким образом, для любого орто­ нормированного базиса функция г рдг определяет компоненты некоторого псевдо­

тензора. Оперируя с тензорами или псевдотензорами, как в П1.2.4, получим либо тензоры либо псевдотензоры.

Если зафиксировать ориентацию пространства, иными словами, если условиться иметь в виду только такую замену базисов, при которой ориентация остается неизменной, то тогда можно не делать различия между тензорами и псевдотензорами. Именно так и будет в большинстве случаев.

В другом ортонормированном базисе е\ эти же тензоры будут представлены другими матрицами А*, В* или компонентами тент зора A*ij, B*Cj . . . Если Р —ортогональная матрица перехода от одного базиса к другому, то заданные тензоры связаны соотношениями, полученными в П1.2.3. В частности,

Любое соотношение между тензорами А, В ... в любом ортонор­ мированном базисе выражается соотношением между квадратными

следует заменить А на А*, а В на В*.

Обратно, матрицы А и А* соответствуют одному и тому же

В . . . , остается инвариантным относительно замены базиса (51), а ортогональная матрица Р —произвольна, то говорят, что данное соотношение является внутренним или объективным; в этом слу­ чае оно может быть интерпретировано непосредственно как соот­ ношение между тензорами Л, В . . . , представленными в базисе е{ матрицами А, В . . .

Из этих общих замечаний (которые будут уточнены в примерах) видно, что изучение тензоров второго ранга в тех элементарных рамках, которыми здесь ограничиваемся, сводится к рассмотрению квадратных матриц и их объективных свойств.

П1.4.2. Простейшие определения. Некоторые определения, отно­ сящиеся к матрицам, элементарные свойства которых полагают

матрицей, полученной транспонированием матрицы А, относящейся

к тензору Л в рассматриваемом базисе (Ajj = A/l).

Тензор называется симметричным, если он равен своему транс­ понированному тензору (т. е. не меняется при перестановке ин­ дексов).

Симметричные тензоры образуют шестимерное векторное под­ пространство в векторном пространстве девяти измерений тензоров второго ранга.

Тензор называется антисимметричным, если он равен транс­ понированному с обратным знаком.

Четная, или симметричная, составляющая и нечетная, или ан­ тисимметричная, составляющая тензора Л определяются соответст­ венно формулами

Если А — заданный невырожденный тензор, то первого из ра­ венств (56) достаточно для однозначного определения тензора В.

из трех линейных уравнений, в которых неизвестными являются компоненты вектора-столбца матрицы В. Определитель det (А) в каждой системе не равен нулю, так как тензор А — невырожден­ ный. Определенная таким образом матрица удовлетворяет тогда второму из соотношений (56), так как после умножения первого равенства справа на А, имеем

Объект, обратный произведению А В, обозначается через В-1А-1. Такие определения дают возможность построить последователь­ ные степени тензора А; они могут быть представлены как степени матриц А" (п — положительное или отрицательное, А° = 1). Если А—симметричный тензор, то степени от А также симметричные

тензоры.

П1.4.3. Инварианты тензора второго ранга. Определение. Вся­ кая скалярная функция тензора второго ранга называется инва­ риантом этого тензора. Иными словами, инвариант определяется отображением векторного пространства тензоров второго ранга на множество действительных чисел.

Пусть дана матрица Т, представляющая тензор Т в ортонорми­ рованием базисе б/. Инвариант f является скалярной функцией Т,

щая тождеству (57), называется изотропной. Можно сказать также, что, будучи представленной в некотором базисе как функция ком­

рицательное число) является инвариантом тензора Т.

След тензора второго ранга также является следом матрицы, представляющей тензор в ортонормированном базисе.

Отметим, в частности, три инварианта:

7 ,= tr{ T } = :r„, )

Т\\ — tr {Т2} =» Т ijTJh

Tm = tr {Т8} = Г tjT jhTkl. ,

Выше [см. определение (55)] отмечено также, что определитель detT является инвариантом тензора Т. При любом фиксированном значении X det(T — АЛ) также является инвариантом тензора Т. Таким образом, у многочлена

называемого характеристическим полиномом тензора Т, все коэф­ фициенты — инварианты тензора Т (их называют элементарными инвариантами). Запишем этот полином в виде

Инварианты (61) могут быть выражены как функции инвари­ антов (58). Для этой цели воспользуемся для Тш разложением определителя 6{jkpqr, который находится по известным правилам вычисления определителей третьего ранга:

^ijkpqr =* p^jq^kr + bJpbhqb lr - f bkpblqbjr b irbJqbkp §Jrbkqbip— §krbiqbjp .

И теперь нужные соотношения получаются автоматически:

Тг - Г„ Т и = \ - 7 „ ) , Гш = | (Т \~ 3Т.Г,, + 2ГШ). (62)

П1.4.4. Собственные векторы и значения симметричного тен­ зора второго ранга, а) Общее определение. Ненулевой вектор а на­ зывают правым собственным вектором тензора Т, если вектор Т а

коллинеарен а. Ненулевой вектор b называют левым собственным вектором тензора Т, если вектор Ь Т коллинеарен Ь.

Всякий вектор, пропорциональный собственному вектору, также является собственным, а направление собственного вектора—глав­ ным направлением тензора Т (правым или левым).

По определению, векторы а и b должны удовлетворять урав­ нениям

(7 —ц/) а = 0, Ь (Т— v/) = 0.

Каждое из уравнений, записанных в базисе eh дает линейную однородную систему, которая должна выполняться при подстановке

компонентов векторов а и Ь. Так как векторы а и Ь отличны от нуля, то ц н v будут корнями характеристического полинома Р (Я).

действительны. Кроме того, существует по меньшей мере один орто-

нормированный базис е{, состоящий из трех взаимно ортогональных собственных единичных векторов, для которого

Иными словами, матрица Т, представляющая тензор Т в этом базисе—диагональная, а ее диагональные элементы как раз явля­ ются собственными значениями тензора.

Напомним в общих чертах доказательство этого классического утверждения. Рассмотрим общий случай векторного евклидова пространства п измерений; дока­

рый обозначим t±t и пусть в \— одно из значений x t при котором этот максимум достигается.

Пусть Е? " 1 векторное евклидово пространство с размерностью л — 1, орто­

гональное е\ Н —вектор из Е ?"1, ортогональный е±. Положим Х = е± -\ -к Н и вы­ числим значение выражения (64) на этом векторе. Получаем

мированный репер et.-.en в Еп, в котором— тензор Т запишется в таком виде:

h*i ® *i+*2*а ® е2+ ---+tnen® еп.

Заметим теперь, что в системе осей £?/ тензор представлен диагональной мат­ рицей и, следовательно, величины — собственные значения тензора Т, в связи

с чем можно отождествить t{ и //. Теорема, таким образом, полностью доказана. Заметим, что, если

В самом деле, уравнения, из которых определяются компоненты

Если два (и только два) из собственных значений равны, на­ пример, t1^=t2^ t 3y то собственному значению р = / 8 соответствуют

собственные векторы, коллинеарные е8. Собственному (дважды пов­ торяющемуся) значению t1= t2 соответствует любой вектор, ортого­

нальный ё8, так как из формулы (65) следует, что а8 = 0. В этом случае данный тензор— это тензор вращения с осью е3. Любая пара единичных векторов, ортогональных ё3, составляет вместе с векто­

ностью определяется собственными значениями tlt t2, /8, следова­

ров ег, е2, е8, любой инвариант также симметричная функция этих переменных. Элементарные инварианты, в частности, очень просто выражаются через собственные значения:

Так как эти инварианты полностью определяют (с точностью до порядка) собственные значения tlt /2, t3, то любой инвариант — функция Ти Тп, Т ш. Таким образом, доказано, что изотропная функция матрицы Т, удовлетворяющая тождеству (57), необходимо имеет вид