Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс механики сплошных сред

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

20.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

для гипотез. Таким образом, при изучении каждой конкретной среды следует опираться на эксперимент, что позволяет в зависи мости от результата разумно выбрать наиболее простые теоретиче ские схемы.

ГЛАВА VIII

ЗАКОНЫ ПОВЕДЕНИЯ (ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ)

СОДЕРЖАНИЕ г л а в ы

В этом разделе стоит задача применить полученные в предыду щей главе выводы к изучению механики сплошных сред.

Наиболее простой пример'—это жидкости, рассмотренные в VIII. 1. С позиций термостатики жидкость —это среда, состояние которой может быть описано всего лишь двумя параметрами; выражения потенциалов в этом случае известны с большой точностью, что по зволяет описывать совокупность термостатических свойств обычных жидкостей и газов. Интересен частный случай, когда среда—идеальный газ. В классической механике жидкостей дополнительные соотно шения, необходимые для записи поведения среды, выводятся из

принципов термодинамики необратимых	процессов, т. е. на основа
нии квадратичной диссипации.		избежать пута
Изучению упругих сред посвящен V III.2. Чтобы
ницы с понятием упругости, введенным	в главе VI,	в VI 11.2 ис

пользуется прилагательное «гиперупругий». Следует, однако, под черкнуть, что все среды, обычно называемые упругими, фактически являются гиперупругими. Основная характерная особенность этих

сред состоит в том,	что внутренняя диссипация в них тождественно
равна нулю. Законы	поведения	излагаются в самом общем виде, как
и их математические выражения		в случае несжимаемых изотропных
сред. В случае изотермических		или адиабатных процессов законы

поведения совпадают с частными формами законов, приводимых в главе VI. Весьма важные для приложений случаи линейной упру гости и линейной термоупругости рассмотрены особо(VII 1.3 и VII 1.4). На этом примере показывается, каким образом опытные данные могут быть использованы для построения термодинамических потен


циалов среды.			изучается возможность экстраполяции выводов
3	V III.5—VI 11.7
на случай вязкоупругих			сред и показывается на примерах,		каким
образом производится обобщение метода локального состояния.
Изучаются		наиболее простые вязкоупругие среды, например			среды
Кельвина —Фойхта и Максвелла, но одновременно указывается					путь
построения других моделей вязкоупругих сред.					ранее
Последний		параграф	вскрывает	связь устанавливаемых
принципов с формулировкой законов				поведения упругих идеально

пластичных сред, здесь для простоты рассматриваются лишь малые возмущения.

VIII.1. КЛАССИЧЕСКИЕ СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ

V III.1 .1 . Термодинамические данные. По определению, термо динамическое состояние жидкости задается двумя термодинамичес кими переменными, в качестве которых можно, например, взять температуру Т и плотность р. Плотность иногда удобно заменить обратной ей величиной— удельным объемом т ^ р -1. Тогда свободная энергия \Н7\ т) представляет собой термодинамический потенциал, на основании которого могут быть определены все термодинамичес кие свойства среды. Выписав в классической для термодинамики форме дифференциал

d\p = — sdT —p dx,

получим, с одной стороны, выражение для удельной энтропии

S =	- ^ ( 7 \	T),	(1)
а с другой —закон состояния
p = f(T ,r),	f(7\T ) =	- ^ ( 7 \ T ) .	(2)

Переменная р, сопряженная переменной т, называется термоди намическим давлением жидкости или просто давлением. Из термо динамики известно, что давление всегда положительно.

Очевидно, что точно так же можно было бы выбрать в качестве термодинамических переменных величины s и т. В роли потенциала, который предстоит использовать, выступает теперь удельная внут

ренняя

энергия

e(s, т). Так

как de = Tds —pdx,

то

p = g(s,r),

g(s, т) =

— ^ (s , т).

(3)

Весьма

простой

и часто встречающийся

случай:

среда —идеальный

газ,

удельная теплоемкость

которого при

постоянном

объеме неиз

менна

(ПП 1.4.3). Законы

состояния

(2)

(3)

этом

случае запи

шутся

в виде

рг =

гТ, рх*= ехр

(4)

где Cv—удельная теплоемкость при постоянном объеме;

t — газовая

постоянная для

идеальных

газов; у —показатель

адиабаты,

равный

1,4

для

воздуха.

потенциала

e(s, т) (см. П1И.7)

следует,

Из

свойств

выпуклости

что

^ —отрицательная

величина.

Заметив,

что

величина

^ (s, р)

положительна и имеет

размерность

квадрата

скорости,

можно на

писать,

что

(5)

По определению, с—скорость звука в жидкости. Подчеркнем, что

		2 = (— p + W t) 1 + 2цр,
		tf = — Л grad Т.				(10)
Напомним,		что р является	функцией платности	р и		температу
ры	7\ а I, [I и k —известные		функции от 7\ Так как		все эти функ
ции	зависят	от физической	природы жидкости,	то	их	значения

могут быть определены лишь из опыта иди на основании более тонкой физической теории (кинетической теории газов, статистической механики).

Эти выводы близки к результатам, полученным в VI.2.2. Однако следует заметить, что физический смысл понятия давления в случае сжимаемой жидкости отличается от аналогичного понятия для несжимаемой жидкости. В последнем случае речь идет о неопределенной величине, входящей в закон поведения, тогда как для сжимаемой жидкости это известная функция термодинамических перемен ных. Обратим внимание также на то, что шаровая часть 2 равна

_ р + ЗХ+2Иу]=----/, + /fz7,

и совпадает сдавлением		(со знаком «— ») только тогда, когда величина
		К =А ,+ -\|ц .
равна нулю	(К — коэффициент объемной		вязкости). Если это выполняется (/С= 0),
то говорят,	что жидкость	удовлетворяет	гипотезе	Стокса. Разумеется, для	нахо
дящейся в равновесии жидкости шаровая часть				2 всегда равна давлению	с про
тивоположным знаком.

Остается теперь выписать неравенства, из которых следует, что определенные выше термодинамические процессы являются допус тимыми. Известно, что коэффициент k неотрицателен. В этом случае достаточно выписать условие того, что уравнение (8) является не отрицательной квадратичной формой. Это нетрудно сделать, если ввести в (8) шаровую часть и девиатор от D.y. Если положить

Ay = dbij + dtj (dkk = 0),

то

AyA* = (d6/y + dtJ) (d8ik+ dik) = d2bik+ d (dkj + dJh) + DiJDiJ = 3d2 + dijdij

и, следовательно,

		S>! = 3 (ЗА, +		2\|X) d2+ 2\idijdij.		(11)
Из последнего уравнения			видно, что необходимым и достаточным
условием неотрицательности				является	неотрицательность	вели
чин З/С = ЗЛ,+ 2\|ы и (х.
Таким	образом,	равенства	(9)	и (10) ведут к допустимому		про
цессу при	условии,	что коэффициенты диссипации /С, \|х, k удовлет
воряют неравенствам:
	/С = А + \| ц ^ 0, \|* > 0,				0.	(12)

Итак, мы установили следующий результат:

жидкость в теории Навье —Стокса полностью определяется зада нием ее удельной свободной энергии ф(7\ р) и коэффициентов дис

сипации /С,	k —неотрицательных	функций от Т >Давление при
этом определяется законом состояния		(2), тензор напряжений и теп
ловой поток — уравнениями (10).

VII 1.1.3. Частный случай идеальных жидкостей. Жидкость на зывают идеальной, если процесс адиабатный (<7= 0, VII.4.3), а внут ренняя диссипация тождественно равна нулю.

Таким образом, идеальную жидкость можно рассматривать как предельный случай вязкой сжимаемой жидкости, когда коэффици енты диссипации /С, ц, k тождественно равны нулю. Тензор напря жений—шаровой тензор, который полностью определяется давлени

ем р.	Так как диссипация тождественно равна		нулю,	теплопровод
ность	отсутствует	(^ = 0), и если, кроме того,	как обычно предпо
лагается, объемная		скорость притока теплоты г также		равна нулю, то
из уравнения (V II,15) следует, что

С учетом выдвинутых гипотез этот результат следует также из закона сохранения энергии. Таким образом, удельная энтропия дви жущейся частицы остается постоянной.

Если в какой-либо конфигурации все частицы системы имеют одинаковую удельную энтропию, то энтропия системы остается по стоянной в течение процесса; принято говорить *, что такое течение является изоэнтропийным. В этом случае из уравнения (3) следует,

что р —известная функция плотности	р и	удельного объема т. Го
ворят также, что среда баротропна.	Этот	случай	описан в VI.2.2.
Об ударных волнах в течении совершенных жидкости и			газа.

Рассуждения, которые приводят к уравнению (13), представляющему собой предельный случай основного термодинамического неравенства, справедливы только

в тех точках,		в которых	характеристики		движущейся		среды постоянны. Если
поверхность разрыва 2 находится				внутри	движущейся		идеальной	жидкости, то
для изучения следствий, вытекающих из второго начала							термодинамики, следует
опираться	на	начальную	формулировку		этого принципа, т. е. на			неравенство
(VI1,2), которое запишется			(с учетом выдвинутых гипотез) так:
Пусть	поверхность разрыва			находится		внутри 2.	В силу (11.24) и урав
нения неразрывности можно написать также,						что
								(14)

Объемный интеграл тождественно равен нулю, так как в каждой точке не

прерывности выполняется равенство (13). Приток массы т = pv через 2 непре рывен. Из элементарного рассуждения, подобноготому, которое привело к основной

* Некоторые авторы говорят в этом случае о «гомоэнтропийном» процессе, оставляя термин «изоэнтропийный» для обозначения процессов о постоянной энтро пией на данной траектории.

лемме (II.2), следует, что ввиду произвольности &У неравенство (14) будет выполнено только тогда, когда в любой точке поверхности 2

т (s) ^ 0.			(15)
Если 2 —контактная поверхность, то т = 0 ,	и неравенство (15) не	наклады
вает никаких ограничений на значения s по обе	стороны поверхности	2,	что и
следовало ожидать, так как поверхность 2 частицы не пересекают, и		удельная
энтропия каждой из них остается неизменной при движении вблизи 2.		по	усло
Если 2 —ударная волна, то т —положительная величина, так как

вию нормаль N к границе 2 направлена таким образом, что нормальная состав ляющая относительной скорости V положительная величина, когда частицы пере секают 2 в направлении N . Удельная энтропия терпит разрыв на фронте удар ной волны и так как это—положительная величина, то «в тылу» фронта ударной волны ее значение больше значений энтропии на передней границе фронта. Здесь нет ничего нового; наличие ударной волны говорит о необратимости в течении жидкости. Вне поверхности разрыва движения жидкости обратимы. Так как про цесс является адиабатным, энтропия частицы, оставаясь постоянной в областях непрерывности, увеличивается при пересечении частицей ударной волны.

VI11.2. ГИПЕРУПРУГИЕ СРЕДЫ

V III.2.1. Общий случай. Среда называется гиперупругой, если выполняются следующие условия.

1.Существует такая исходная конфигурация, что в любой момент времени t компоненты Lap тензора деформаций Грина—Лагранжа образуют вместе с температурой Т замкнутую систему термодинами ческих переменных.

2.Термодинамические свойства определяются заданием удельной свободной энергии:

y(T,Lafi) = V(T,L).

(16)

3.Внутренняя диссипация Ф, всегда тождественно равна нулю. Кроме того, в большинстве случаев допускается следующее.

4.Напряжения в исходной конфигурации равны нулю, а темпе ратура везде одинакова и равна Т0. Часто говорят, что такая исход ная конфигурация является естественным состоянием среды (свобод ным от напряжений).

Согласно условию (16)
dtp		АТ . -
dТ	SdT+		t0
можно написать, что
, ___ дф	_	^ф	d/.aP __ П о d^a0
С—_^L(T Т а\	_	^ф	d/.aP __ П о d^a0	(17)
дТ V • LaV ’ а>~ д и 6Ч Г ~ Р а » ~ ^ ' '				(17)
где		дф
р	„ _	дф
* ар —----
		д/.ар *

С учетом симметрии компонентов тензора Lap всегда можно пред положить, не ограничивая общности, что величины ЯаР также сим метричны.

Для этого достаточно напомнить, что вычисление частных производных

дф

ту— осуществляется в предположении, что ф зависит от десяти независимых пе-

с/ьссЭ

ременных Т и Lap, причем в записи функции ф коэффициенты Lap можно менять местами:

Ф (7 \ ^ii> ^ 12» ^21» •• •) = “Ф (^*» L i b L 2i , L f 2l •*.)•

Это предположение вполне оправдано, ибо в противном случае этим свойст вом обладала бы функция ф, задаваемая равенством

*(7\ Ln,

L*u ...) = ■!>(г, La, Llt± L* , L* ± -L™, ,..) ,

которая бы принимала те же значения, что и ф, так как Laр—симметричные величины.

Для изучения следствий из гипотезы 3 рассчитаем внутреннюю диссипацию <2>f и запишем ее в форме (VII, 18).

Покажем с этой целью, что имеет место соотношение

					^ = FT DF,					(18)
в котором		F — матрица-градиент:
					F
В самом деле, согласно (V,26)
	dLaP= _I_dCaP= _l__d				Г«а1__L				\ .
	At	2	At	2 At	[3aa dap J		2 \даа дар,		' даа дар, ) *
и с учетом		того,	что
					dU _k_ dUji fa j
					дар	дху дар 9
можно записать (меняя немые индексы в правой									части суммы)	ра
венство			=		(dUu	, d} h )	дЪ_
			=		(dUu	, d} h )	дЪ_
		dt		2 даа	\ dxj	dxk )	дар
совпадающее с равенством (18).
Теперь можно записать (17) в виде
			® = /W W V > /* = tr{FPFTD},
где символом tr{ }				обозначен след матрицы, а Р —матрица Рар-
Таким образом,				имеем
ф х =	O y D j j — рш =			OjjD jj — p F ja P ap F ifiD/j =				(a ,7 — pF,a PopP/p) D i/-
Это	выражение			имеет	форму (VII, 18),			если	считать, что	Di}
играют роль переменных Ya, а						величины в		скобках — Ха- Так		как
внутренняя		диссипация Ф, должна быть равна нулю для любых Dij%
то необходимо имеет место равенство
				CT'7 = Pf ‘“ 5 z i f ''P'						(19>
которое в матричном виде запишется							в такой форме:
					2 = PF § £ F T ,					(20)
если обозначать			через \| \|		матрицу с компонентами

Если исходная конфигурация — естественное состояние материала,

то, разумеется,

частные

производные

равны нулю

при

Т**=Т0

и Lap = 0.

может

иметь место только

тер

Из

всех возможных диссипаций

мическая. В общем случае допустим, что термическая

диссипация

происходит по закону теплопроводности Фурье*

q = — k(T) grad Т.

(21)

В заключение сформулируем следующее положение.

удель

Гиперупругая

среда будет полностью определена заданием

ной свободной

энергии

ф (7\ L)

коэффициента

теплопроводности

k (Т) — неотрицательной

функции

температуры. Тензор

напряжений

определяется уравнением (20), а поток

теплоты —(2 1).

изотермичес

Если предполагается, что движения среды только

кие, закон (21) не имеет места

и к

тому же температура

ос

тается

постоянной.

Очевидно,

что

гиперупругая

изотермическая

среда

представляет собой

частный

случай

упругой

среды

(согласно

результатам,

приведенным

в VI.3.1).

В самом деле,

F = RW,

и,

следовательно,

Эф

может быть

выра

производная —

жена как через С или W, так и через L.

Заметим,

частности,

что

если

выра

зить свободную

энергию

в виде

Ф = Ф (7\

С),

то уравнение (20)

принимает

форму

Z =

2 p F ^ F T .

(22)

Заметим, что все упругие тела

обладают

свойствами

гиперупру

гости. Поэтому

при

изучении

упругости

можно ограничиться

рас

смотрением законов поведения типа (20).

Замечания. 1°. За отправную точку

можно было бы взять свободную

энергию

ф (Т, Fia), выраженную

через

компоненты

матрицы-градиента. Очевидно,

это был

бы более общий

случай.

Однако из принципа независимости от

системы отсчета следует, что величи

на ф инвариантна

относительно

выбора

системы

отсчета. Тогда,

какова

бы ни

была ортогональная матрица

Q, необходимо имеет место равенство**

Очевидно, что в этом случае

ф (7 \ F) =

ip (Г, QF).

Ф = (7\

Р) = ф (7\

W),

если принять Q = RT

при

F =

RW.

Но

гак

как

является

функцией

L, то

возвращаемся к исходной

гипотезе.

2°

Формула

(20)

могла

бы быть

выведена

на основании

результатов,

приве

денных

в V.5.3,

и,

частности,

формулы

(V.85),

которая дает

возможность

[ис

* Подчеркнем, как было сказано выше (VII.4.2),

что здесь

мы имеем дело с

частным

соотношением.

Наиболее общее

определение для

случая

изотропной

среды будет дано в задаче 10.

** Чтобы не

увеличивать

количества

обозначений, сохраним

для функции

символ

ф, но выразим ее

через

новые независимые

переменные,

пользуя (VII, 13) и обозначая через р0 плотность в исходной	конфигурации.] за
писать равенство
<*>!=£ ( S a p - P o P a p ) ^ .	(23)

которое сразу дает выражение для тензора Пиола— Кирхгофа:

D	дф	I	с	0ф	*
Sap —Ро”ар» sap —ро			^ = P°5L
С учетом формулы (V.81), которая связывает		2	и	S, приходим вновь к			урав
нению (20).
3°. Если сделать дополнительное предположение о том, что исходная							конфи
гурация является естественным	ненапряженным состоянием, то тогда (при Г = Г0
и F = 1, т. е. L = 0) необходимо будем иметь		2 = 0,		и величина ф		будет	стаци
онарной при Lap= 0. С другой	стороны, из термостатики				известно,	что,	будучи

функцией от	La p, величина ф должна иметь относительный минимум при Lap = 0.
4°. Если	предположить, как обычно, что полученная удельная теплота г равна

нулю, то уравнение энергии	запишется здесь в такой			форме:
		pT -\|-+ divg = 0.
С учетом значений	s	к q,	определяемых	соотношениями (17) и
(21), получаем			dLagX
д2Ф dТ		д2ф	dLagX
dT2Tt		дТ dLaр dt )+£КН-

В частности, в случае равновесия гиперупругой среды скорости равны нулю, как и частные производные по времени, ибо среда покоится; то же можно сказать и о субстанциональных производ ных. Следовательно, распределение температур Т (х) удовлетворяет уравнению в частных производных:

		д			= 0.
		dxi

V IИ .2 .2 . Несжимаемые среды. К				гипотезам,			выдвинутым в пре
дыдущем	параграфе, следует		добавить		предположение			о существо
вании внутренней связи		Dkk= 0.				выписывать		уже	не для
Равенство Ф^ = 0 в этом случае следует
произвольных значений D{J> а лишь для тех значений, которые
удовлетворяют данному ограничению. Отсюда вытекает,								что,	как и
в VI. 1.4,	тензор напряжений		определяется			только с точностью до
шарового	тензора:
		Z = P F $ F T- , , 1.
В формулировке закона		поведения		давление р может быть					произ
вольным.		среды. Если			скалярная		функция ф(Т, L)
VII 1.2.3. Изотропные

не зависит от	выбора системы координат в исходной конфигурации,
то гиперупругое тело называют изотропным. Легко видеть,		что
в этом случае	ф является изотропной функцией L, которая	удов-

летворяет, какова бы ни была ортогональная матрица А, тождеству Ф(7\ ALAT) = t|,(Т, L).

Величина гр представляет собой, таким образом, функцию темпера туры Т и элементарных инвариантов L, или температуры Т и эле ментарных инвариантов С, так как 2L = C — 1. Выше отмечено, что тензоры B = FF~r и C = FTF имеют одни и те же инварианты, что позволяет записать удельную свободную энергию в таком виде:

Ф = Ф (Т, Ви Ва, Вт) = ф (Т, С„ Си, С,„).

(24)

Можно получить следующие формулы (задача 1):

дСг	дС,	— Cfiafi	дСщ	— ^111 (С~1)оср»
dCa.fi = ^ар»	9Ca.fi	— Cfiafi	С<apt дСаР	— ^111 (С~1)оср»

обозначая через С" 1 матрицу, обратную С, и через (С*”1) ^ ее ком поненты.

Таким образом,

dty_«	аф (С ,1 -С )+ С ш ^ . С - > .
ас ~ дСх 1	дСп
Кроме того,
FFT = В,	FCFT = Ва, FC_1FT = 1,

и, следовательно, с учетом тождества инвариантов В и С можем переписать (22) в виде

Используя теорему VI.3.2, можно показать, что 2 —изотропная функция В, но здесь установлена более точная формулировка, так как 2 выражена явно через свободную энергию ф.

Уравнение (25) можно также записать в виде

z “ 2p{ ( s ' ' ^ + s '" я £ г ) 1

(26)

так как в силу тождества Кэли —Гамильтона (П1,68):

В\\\В~1 = В2—ВХВ + 5 П1.

В задачах 2 и 4 читатель встретится с другими формулиров ками законов поведения напряжений в случае гиперупругой изо тропной среды. В задаче 10 будет дана общая формулировка закона теплопроводности для такой среды.

Для частного случая,		когда	среда— гиперупругое		изотропное	несжимаемое
тело, £ П1 = 1.	Свободная	энергия	зависит только от		Tt В\у Ви> а	напряжения
определены с	точностью до	числовой		величины давления. Уравнение (26) в этом
случае может быть упрощено:
	£ —	(, \| + 2	р	( Ц г в - - $ - в - 1) ;		(27)

к тому же плотность р = р0 постоянна, так как среда несжимаема.

170

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20228.16 Mб53Краткий курс общей физики..pdf
#
15.11.20224.15 Mб31Крепление испытание и освоение нефтяных и газовых скважин..pdf
#
15.11.202210.22 Mб11Крепление испытание и освоение скважин при разработке нефтяных место..pdf
#
15.11.202211.27 Mб59Кристаллизация и литейные свойства сплавов..pdf
#
15.11.20221.05 Mб16Кристаллография..pdf
#
15.11.202220.58 Mб20Курс механики сплошных сред..pdf
#
15.11.202220.15 Mб3Курс экономики для бакалавров..pdf
#
15.11.202215.71 Mб37Курсовое проектирование по теории механизмов и механике систем машин..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб15Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf