Курс механики сплошных сред
..pdfгде Р —любая ортогональная матрица. Такая функция F (Т) назы вается изотропной.
Выражение (69) — пример отображения типа (70). Докажем теорему, которая обобщает формулу (69). Теорема. Отображение (70) может быть записано в виде
К=Фо(7’„ Г„, T u d i+ b iT t, 7\„ |
7'|11)7Ч-Ф2(7’„ Ти, Т Ш) Г , (73) |
где ф0, Ф1 , ф2 —инварианты тензора |
Т. |
Прежде всего докажем, что Y имеет те же главные направления, что и Т, это вытекает из соотношения (73). Допустим, что (71) — запись функции в главном базисе тензора Т. Любое преобразование базиса, когда два вектора базиса остаются неизменными, а третий заменяется на противоположный (симметрия относительно одной из главных плоскостей), оставляет матрицу Т без изменения, так как эта матрица диагональна; кроме того, согласно (72) при таком преобразовании остается неизменным тензор Y. Матрица Y должна, таким образом, быть диагональной (так как любой ее компонент с несовпадающими индексами при таком преобразовании меняет знак).
Пусть tit t j, ta и yit у 2, ya собственные значения тензоров Т и У соответственно в главном базисе е { (как для Т, так и для У). Тогда
рассматриваемое отображение |
отражает тот факт, что каждый yt — |
||
функция инвариантов tlt ta, |
ta. Замена |
базиса, при которой et со |
|
храняется, а е а и е а меняются местами, |
не меняет yt и tt |
и меняет |
|
местами ta и ta. Таким образом, у1 —функция переменной |
и пере |
||
менных ta + ta, ta-ta. Так как |
|
|
|
=tata = T n — t1(Ti — t1),
то можно написать, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
У = g(ti, Т ь |
Тп). |
|
(74) |
||
Но из инвариантности F относительно любого ортогонального |
|||||||
преобразования |
и, |
в частности, относительно такого, при |
котором |
||||
два вектора базиса |
е{ только |
меняются |
местами, |
следует, |
что при |
||
i = l, 2, 3 имеет место также |
равенство |
[функция |
g —та же, что и |
||||
в соотношении |
(74)]: |
|
|
|
|
|
|
|
V i - S tt /> ^i. |
Ти), |
i = l , 2, 3. |
|
(75) |
||
Ограничим теперь область изменения переменной Т только теми тензорами, у которых собственные значения различаются, и рас смотрим многочлен второй степени по х (коэффициенты —функция от tv ta, ta):
2 (*)=£(*i. Т i, |
rp \ (x |
/2) (x |
<a) |
+ g(ti, Tu |
Tn) (x—ta) (x (1) |
|
ll) |
|
|
(x -t1)(x -ta) |
|
|
+ 2(^a> |
^I» |
^II) |
||
|
( Ь - Ш Ь - и |
‘ |
|||
Этот многочлен может быть, очевидно, представлен в таком виде:
Я (*) = Фо (7"i, |
T lu |
Т щ ) + срх ( Т I, |
Т п , Т щ ) х - \ - ц ) 2 (Т ], Т 1Ъ T i n ) х 2> (76) |
|||||||||||||||
так |
как |
его |
коэффициенты —симметричные |
функции |
от |
tv t2i ts\ |
||||||||||||
в силу |
(75) q(ti)==yr |
Равенство |
(7 3 ), |
которое |
требуется |
доказать, |
||||||||||||
становится |
теперь |
очевидным, |
так как обе части являются тензо |
|||||||||||||||
рами, для |
которых б/ —главные |
оси, |
а их компоненты |
в этих |
осях |
|||||||||||||
равны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай, |
когда по меньшей |
мере два из |
собственных |
значений |
равны, |
не яв |
||||||||||||
ляется исключительным. |
Если |
Т— тензор вращения, |
то |
Y также будет тензором |
||||||||||||||
вращения, и с учетом соотношения (75) |
можно |
положить <р2 = 0- Если тензор Т — |
||||||||||||||||
шаровой, |
то |
Y— также шаровой, и |
можем |
принять |
<рх = ср2 = 0. |
В |
самом деле, |
|||||||||||
в обоих |
случаях нужно |
удовлетворить только |
двум |
или одному |
из соотноше |
|||||||||||||
ний |
(75), |
|
и |
для этой цели можно использовать |
многочлен q (х) |
соответственно |
||||||||||||
первой или |
нулевой степени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Предположим, |
что в отображении |
(71) |
F — линейная функция Г |
|||||||||||||||
или, |
что |
|
то |
же, |
Y /у— линейные функции |
Трг Тем же |
способом, |
|||||||||||
что |
и |
выше, |
можно |
доказать, |
что |
главные |
направления тензоров |
|||||||||||
Y и Т совпадают. Последние этапы доказательства могут быть зна |
||||||||||||||||||
чительно |
упрощены, |
так |
как |
в |
этом |
случае |
в соотношении (75) |
|||||||||||
g — линейная |
функция только |
от |
и Т |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Y i = kTl + 2liti |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(А, и р —числовые |
константы). |
|
|
|
||||||||
В этом |
случае |
имеем, |
следовательно, |
очень |
простой |
результат: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
К = Х 7 ,/+ 2 р 7 |
|
|
|
|
|
(77) |
||||
Иными словами, в любом ортонормированном базисе |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^,7 = ^ |
б |
, 7 + 2рГ(/. |
|
|
|
|
(78) |
||||
Замечание. Оператор, который реализует линейное отображение T —+Y, является тензором четвертого ранга; из соотношений (77) и (78) немедленно следует, что тензор четвертого ранга с компо нентами
Kijpq — ^ i j 8pq + И (б |>б/<7 + b/pbtq) |
(79) |
является именно этим тензором. Он зависит от двух действитель ных параметров X и р и может быть получен перестановкой индек сов и линейной комбинацией тензорного произведения единичного тензора на этот же тензор:
б.'А < А ® еу ® ея ® е<г
Заметим, что данный тензор имеет одни и те же компоненты в любом ортонормированном базисе и удовлетворяет соотношениям симметрии:
^Upq = ^ Jipq = ^ i j q p = Kpqij*
П1.5.1. Определения. В векторном евклидовом ортонормиро ванием пространстве с осями Ох( и направляющими единичными
векторами базиса е |
операторы |
grad, div, rot элементарно опреде |
|||
ляются своими компонентами. |
|
ставит в соответствие функции |
|||
Оператор |
grad, |
по определению, |
|||
точки (или |
скалярному |
полю) |
<р (х1т |
х2, х3), имеющей производную |
|
в любой точке области |
функцию точки с векторными значениями |
||||
(векторное поле), по формуле |
|
|
|||
gradtp = <p,e,.
Оператор div, по определению, ставит в соответствие векторному полю А (хг, хъ, хл), дифференцируемому в S), скалярную функцию точки по формуле
div .4 = Л(>,.
Оператор rot, по определению, ставит в соответствие этому же векторному полю векторное поле
го\А = гикАкг fa.
Оператор Лапласа Д (лапласин) скалярного или векторного поля определяется формулами
Дф = div (grad ср), ДЛ = (Д/4,)е,.
Полезно знать следующие тождества, которые легко проверяются и могут быть выписаны для любых функций, имеющих указанные
производные: |
|
div (rot А) = 0, |
|
rot (grad ф) = 0, |
|
grad (фф) = ф grad ф + ф grad ф, |
|
div(фЛ) = фdiv Д + gгadф•Л, |
(80) |
rot (фА) = ф гot А + grad фД А , |
|
div (Af\B) = B -toiA —.4-rot В, rot (rot A) = grad (div A) —ДA.
Известно, что gradф может быть введен независимо от выбора системы координат с помощью понятия производной по направлению: если ф—непрерывно дифференцируемая в окрестности данной точки
области @> функция, |
и —единичный |
вектор, то производная ф по |
|
направлению и равна ф,уЫ = и•gradф. |
|
на непрерывно |
|
Выше (IV.2.1) это определение распространено |
|||
дифференцируемое векторное поле А; |
в этом случае grad А — поле |
||
тензоров второго ранга, компоненты которых Аи), |
такое, что произ |
||
водная от векторной |
функции А по |
направлению |
и —это вектор |
с компонентами AUjUj. |
|
|
|
зоз
Напомним теперь, что дивергенция векторного поля А является также следом градиента этого поля:
|
divi4 = tr{gradi4}. |
Аксиальный |
вектор, соответствующий grad А (П1.3.36), с компо |
нентами |
у совпадает, очевидно, с вектором V» rot Л. |
В общем случае градиент непрерывно дифференцируемого тензор
ного поля |
Т(хи |
xt, xs) ранга п является тензором ранга n + 1. Если, |
|
например, |
п = 3, |
то компоненты grad Т = Т ,yfti таким |
образом, |
|
|
grad T = T iJk%tei® e / ® e k® e l |
(81) |
и, следовательно, производная тензора Т по направлению и имеет компоненты Тijk4lut. Дивергенция поля Т вычисляется сверткой по двум последним индексам: в данном примере div7'—тензор второго ранга с компонентами Т lJkt к. Заметим еще, что если / —единичный тензор (второго ранга), а <р — скалярное поле, то
div (<p/) = grad<p.
Введенные определения позволяют записать некоторые из урав нений, представленные ранее своими компонентами, в форме, не за висящей от выбора системы координат. Так, общее уравнение дви жения сплошной среды (111,8) может быть записано, как уже отме чалось, в виде
p y = / + d i v 2 .
Уравнение (111,5) может быть переписано в таком виде:
-|-(ptf) + div {PU ® U - Z ) = f .
П1.5.2. Диадные обозначения. Запись выведенных операций можно упростить, если ввести символический вектор у, называемый зачастую «набла»-оператором, компоненты которого операторы — част ные производные по переменным xit xt, ха, обозначаемые через dv д„ д„. При таком обозначении
grad<p = Yq>, diVi4 = V--4, rot.4 = VA-<4.
Компоненты Уф, УАА равны соответственно д,<р и zljkdj Ak, про изведение у Л — скаляр djA;. В диадном представлении лапласиан <р запишется в виде
Дф = v • Уф = у2ф.
Оператор набла можно использовать для определения градиента векторного или тензорного поля
V Т = grad Т,
или в развернутом |
виде [Т — тот же тензор, что и в формуле (81)]: |
||||||
|
|
|
|
V7'=3jT(yftei(2)6y(2)eft(2)ef. |
(82) |
||
Дивергенция |
тензора Т может быть записана в следующей форме: |
||||||
|
|
div Т = V • Т = д кТ |
Gj — Tijk, |
(83) |
|||
и если 4 —некоторый вектор, |
то |
|
|
||||
|
|
|
|
Д4 = V-V4. |
|
|
|
Замечание. |
Как |
правило, для |
производных используются индексные обозна |
||||
чения, |
поэтому |
было |
естественным |
определить |
градиент по формуле |
(81). Произ |
|
водная |
тензора |
Т |
по |
направлению |
и — тензор |
с компонентами Тijkt |
iUit который |
с использованием |
инвариантных обозначений |
запишется в виде grad Т-и. Впро |
|||||
чем, это определение |
согласуется |
с общим определением, взятым за |
основу при |
||||
введении понятия тензора: тензор четвертого ранга с компонентами Sijki яв ляется оператором, который ставит в соответствие вектору А тензор третьего ранга: Sybi^i [(см. П 1.2.1, П 1.2.2 и формулу (29)].
Некоторые авторы берут за определение градиента тензор, полученный пере становкой индексов у выбранного тензора, т. е.
diTijkei® «, ® е ,® е к
[ср. с (82)], что представляется естественным при использовании обозначения д/ для производных. Производная тензора Т по направлению и будет при таком определении градиента равна и-уТ.
Итак, как указывалось выше, важно точно знать, какому оператору соот ветствуют вводимые или определяемые тензоры.
С использованием введенных обозначений формулы (80) перепи шутся следующим образом:
V • V А А = 0 , |
|
VAV<P = 0, |
|
V (срф) = ФУф+ ф7ф, |
|
Т-(ф4) = ф?-4 + ?ф-4, |
(84) |
VЛ(ф4) = фVЛ4 + 7фА4,
\-(А Л В ) = (Ч Л А )-В -А -Ч Л В ,
V A ( V A 4 ) = V ( V - 4 ) - V 24 .
И наконец, |
удобно |
ввести оператор (.4-grad) |
или |
(4-V). |
Если |
|
А —заданный вектор, |
то вводимый оператор—тензор, |
который |
ста |
|||
вит в соответствие векторному полю X с компонентами |
Х[ вектор |
|||||
с компонентами |
AJX L j — A jdjX{, т. е. |
|
|
|
|
|
(4 • grad) X = (4 • V) X = Aj djXfii = AjX„ |
|
|
|
|||
В таких обозначениях уравнения движения |
(111,5) |
запишутся |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
p ( - f - + (tf-V ) * / ) = / + V - 2 .
Tot{AAB) = VA(AAB) = ( B v ) A - ( A - V ) B + A 4 - B - B 4 - A , |
(85) |
grad(A-B) = UA-B) = (A-4)B + ( B v ) A + AA(V-B) + BA(VAA).
Докажем, например, формулу (86). Компоненты выражения А л(ч лВ) |
(86) |
||||||
|
|||||||
|
Ri/k A JekpqBq, р = i&ip^/q |
^iq^/p) A JB q, р = |
Aj (В j ' I — В,- |
|
|||
так что правая часть (86) —вектор с компонентами |
|
|
|
||||
A J B i. j + |
B J A i. l Jr A) (В / . t— B i . j ) + B j |
(AJ. I— Ai , j) = |
Aj Bj. i + B j A j t i = (A jB j)tl, |
||||
равный, |
таким образом, вектору в левой части равенства. Если A = sB = U , |
то |
|||||
|
2 (U• V) £ /= grad (f/2)+ 2 r o t UA U. |
|
(87) |
||||
Эго тождество использовано для записи ускорения (11,6). |
|
|
|||||
П1.5.3. Преобразования интегралов. Формулы преобразования |
|||||||
тройных интегралов в двойные, |
которые |
будут |
использованы, до |
||||
вольно просто выводятся из следующей теоремы. |
|
|
|||||
|
|
Теорема. |
Если |
SJ —область, |
связ- |
||
|
^ ная |
или несвязная с кусочно-гладкой |
|||||
|
у Я |
границей д@), |
на которой в любой ре- |
||||
|
г |
гулярной точке можно определить |
еди- |
||||
Iничный вектор внешней нормали п, Ф(х,, хг, хг) — непрерывная функция в
~Т~ замкнутой области |
+ |
имеющая |
7первые производные в лЬ, то имеет ме сто следующее равенство:
|
d,,= $ ьй>Фл, do |
$02 |
|
Sa'P./dt'- |
(88) |
$ 2 Ф- |
Кусочно-гладкая |
поверхность |
пред |
||
конечного |
ставляет собой |
замыкание объединения |
|||
числа поверхностей, |
на каждой |
из |
которых касатель |
||
ная плоскость |
изменяется непрерывно. Граница может иметь «ребра» |
и «вершины», |
но в любых других точках, называемых регулярными, |
можно однозначно задать |
единичный вектор |
внешней нормали п. |
||||||
Эту теорему примем |
без доказательства; |
ее, |
впрочем, легко до |
|||||
казать для частного случая, когда |
^ — цилиндр, |
образующие кото |
||||||
рого параллельны оси |
хг (рис. |
1). |
Доказанное для случая цилиндра |
|||||
равенство нетрудно |
распространить |
и на рассматриваемые в |
прило |
|||||
жениях области. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем формулу (88) для компонентов тензора |
|
|||||||
|
$аа> тик"1 |
= |
$2тUk, i dv. |
|
(89) |
|||
Эта формула имеет многочисленные приложения. |
|
индек |
||||||
Принимая k = l |
и |
суммируя по немым (повторяющимся) |
||||||
сам, получаем теорему |
о дивергенции *: |
|
|
|
||||
•Теорема Гаусса— Остроградского.— Прим, перев,
a>==ye,yft(pd;c/AdJ:ft,
то из равенства (96) получаем формулу (88), так как из соотношений (97) и (43) следует, что
dco= |
у в/Jkq tl (к* Л dxj/\dxk= - ~ |
в/jkEi/kepqr4>,i dxp A d ^ д d*r= |
|
|
=-g- |
dx^Ad^Ad^r. |
|
Точно так |
же, если 2 —-поверхность с |
краем 52 и со = Л /d*/, то циркуляция |
|
вектора А вдоль границы д2 при соответствующей ориентации запишется со гласно формуле (96) в виде
jdXjA dXi' |
(98) |
С другой стороны, из антисимметрии cU;A(ky и определения (45) вытекает, что
Ai,jdxj A dXi = jtpijHrpqAp,q4Xj Л dx{= - ~ erO (erpqAp, q) d*, Л &Xj.
Таким образом, правая часть равенства (98) представляет поток ротора век тора А (с компонентами егцр Ар%ц) через поверхность 2, а если ориентация нор мального к 2 вектора п соответствует ориентации на границе 52.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ПОНЯТИЕ О ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВАХ И ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЯХ
Излагаемые ниже сведения имеют целью собрать воедино некото рые простые результаты, касающиеся выпуклых множеств и функ
ций, используемых в настоящем курсе и, в частности, |
в главе VII. |
|||
Как видно, выпуклые функции играют немалую роль в механике |
||||
сплошных сред, |
так |
как термодинамический потенциал и диссина- |
||
тивная |
функция |
(или заменяющий ее в общем случае |
псевдопотен |
|
циал) |
обладают |
свойствами «выпуклости». |
и свойства и |
|
Вначале напомним |
некоторые общие определения |
|||
затем рассмотрим функции одной действительной переменной, после чего перейдем к выпуклым функциям в конечномерном векторном про странстве с тем, чтобы выявить весьма важные свойства непрерыв ности, сепарабельности (отделимости) и сопряженности.
Приводимые сведения не претендуют на полноту и строгость, |
|
их основная |
задача —объяснить и показать основные свойства рас |
сматриваемых |
объектов. |
ПП.1. ПРОСТЕЙШИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА
П11.1. 1. Выпуклые множества. Напомним прежде всего опреде ление выпуклого множества векторного пространства.
Определение 1. |
Множество С векторного пространства Е назы |
||||||
вается |
выпуклым, |
если все |
элементы XX + \iX \ |
где X и X '—эле |
|||
менты |
£, |
принадлежащие |
С, X и р,— положительные числа, для |
||||
которых А, + |
р = 1, также принадлежат множеству С. |
||||||
Такое определение можно интерпретировать как определение вы |
|||||||
пуклого |
множества |
в аффинном пространстве <§, |
которому соответ |
||||
ствует |
векторное пространство Е. Выбрав начало |
координат О в <£, |
|||||
точке |
X |
в <§ ставим в соответствие вектор X в £, который, таким |
|||||
образом, |
будет определен двумя точками (О, X). Выпуклое множе |
||||||
ство С в <£ |
содержит все точки сегмента Х Х \ концы которых нахо |
||||||
дятся |
в С или, |
в более общем случае, все центры тяжести р точек |
|||||
Х (1), . . ., |
Х (р \ |
содержащихся в С, массы которых либо положительны, |
|||||
либо равны нулю. Иными словами, С представляет собой наименьший
многогранник, содержащий |
данные р точек и называемый выпуклой |
||||||
оболочкой данного множества точек. |
|
|
|||||
Св о й с т в о |
1. |
Пересечение выпуклых множеств является выпук |
|||||
лым множеством. |
Проекция выпуклого множества на аффинное мно |
||||||
С в о й с т в о |
2. |
||||||
гообразие из <§ является |
выпуклым множеством. |
|
|||||
Ограничимся |
случаем, |
когда Е и <£ —конечномерные простран |
|||||
ства, например |
п-мерные, |
которые обозначим Еп и <8п. |
|||||
Предположим |
также, |
если |
не будет |
оговорено |
противное, что |
||
С —n-мерное, т. е. что оно |
не содержится |
в любом аффинном много |
|||||
образии из <£„, |
размерность |
которого меньше п. |
Назовем гипер |
||||