Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс механики сплошных сред

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

20.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4032 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

плоскостью Я		из	<§п всякое (я — 1)-мерное аффинное		многообразие
из £ п. Уравнение			гиперплоскости можно записать в виде
где			h(X) = О,
где			h(X) = PlX 1+ . . +PnX n- q .
			h(X) = PlX 1+ . . +PnX n- q .
Здесь	Xiy Х2,	. . . , Х п— компоненты		X в базисе пространства		Еп\
Р и Рг>	• • • »Р п — действительные числа,			определяющие	вектор р	про

странства Е*пу сопряженного пространству Еп, называемый наклоном аффинной функции; q —действительное число. Для упрощения тер минологии будем считать, что базис —ортонормированный и что в про странстве Еп введена обычная норма \Х\:

\Х\* = Х1 + Х 1 + . . . + Х 1

В этом случае	говорят,	что вектор р	нормален к гиперплоско
сти Н.	и Я “ ,	определяемые	неравенствами	1г(Х)^ О,
Множества Я +
h ( X ) ^ 0, представляют собой два полупространства из				£ п, опреде
ляемые гиперплоскостью Я.

Определение 2. Гиперплоскость Я называется опорной гипер плоскостью выпуклого множества С, если С расположено полностью в одном из полупространств, определяемых Я, причем Я имеет по

меньшей мере одну общую точку с замыканием С множества С,

Точки, принадлежащие Я п С			(которое является непустым замк
нутым подмножеством границы			С),	являются	точками контакта С
с опорной гиперплоскостью Я.
Не уменьшая	общности, можно предположить, что С всегда лежит
в полупространстве Я + (Л^ 0),			определяемом		опорной гиперплоско
стью Я (заметим,		что числа р1э р2, .		. рл, q определены с точностью
до постоянного множителя).			множество векторов р из £•, задаю
С в о й с т в о	3.	Пусть а (X")

щих наклоны опорных гиперплоскостей пространства С в точке Х° границы. Множество а (X0) — выпуклое.

Пусть, например, р и р' —два элемента из множества а (Л'0). По определению, им можно поставить в соответствие два числа q и q\ для которых в любой точке С выполнены неравенства

h { X ) = p - X - q ^ 0 , h' ( X ) = p ' - X - q ' ^ 0, и что h(X°) = hf (Х°) = 0.

Если К и р —два положительных числа, сумма которых равна 1, то выражение

Ji/i + pft' = (Xp + \ip')-X— \q —рр'

в любой точке С —неотрицательная линейная форма, равная нулю

вХ°. Эта форма определяет опорную гиперплоскость множества С

вХ°. Таким образом, вектор Хр + рр'принадлежит множеству а (Х°).

ПП.1.2. Выпуклые функции. Напомним теперь определение вы пуклой функции f (X) со скалярными значениями, определенной и

конечной в некоторой области пространства Е%называемой «dom (/)»*.

Условимся	придавать функции			f значение + оо	в любой точке X
из Е, где /	не определена и не			конечна. Это избавит от		необходи
мости всякий раз уточнять область определения.					значениями, опре
Определение		3.	Функция f (X) со скалярными
деленная на Е,		или	/ (X), определенная на <§, называется			выпуклой
в том и только в том случае, когда при любых X и X ' выполняется
неравенство
		f ( X x + f i X ' ) < x / ( X ) + p / ( X ' ) ,				(1)

где К и р.—два действительных положительных числа, для которых

+1.

В случае, когда неравенство (1) всегда остается строгим, функция

/ (X) строго	выпукла.			вогнутой,	если	—/ (X)—выпуклая
Функция	f (X)		называется
функция.			Пусть f (X)—выпуклая		функция. Если Х (1>, ... ,
С в о й с т в о		4.
Х {р] принадлежат dom(/) и Xlt				Х21 . . . , Хр—действительные неотри
цательные числа, не все одновременно равные нулю, тогда
{/ МГш+М-<г> + ...+ У Г (г> \ ^ Ь /(*«>)+... + У
\			• • • Ч" Хр	)	+	• • • ~\~Хр
С в о й с т в о		5.	Если / (X)—выпуклая		функция, то множество

dom (f)—выпуклое множество.					(или <§)—я-мерное пространство и
Предположим также,				что Е
что область	dom ([)		также	n-мерна. Обозначим через X lt X it . . . , Хп
компоненты вектора X в пространстве Еп и рассмотрим (п -+- 1)-мерное
пространство <$п+1			с координатами Х и Ха. . . . , Х п, Х„+1 (или X,
Определение		4.	Надграфиком функции			f	называют множество
Д (/) из £ п+1, определяемое неравенством
			X„+1> f ( X u		X t, . . . ,	Х п).
С в о й с т в о		6.	Если f (X),		определенная		на &п, выпукла, то
ее надграфик Д (/) —выпуклое множество из <§п+1 и обратно.
Рассмотрим опорную гиперплоскость надграфика Д (f) в простран
стве <£п+,	Возможны два			случая: гиперплоскость —вертикальная,
ее уравнение	имеет вид /?\|Х, + ..				+ р„Хп— <7= 0. Тогда ее след на <§

является опорной плоскостью в пространстве <£„для выпуклого мно


жества dom(/);		гиперплоскость —не		вертикальная,	и ее уравнение
запишется в форме
Х п+, — h (X ,, X ,,		• • •. Х„) = Х п+1	р хХ j — /?аХ а — . . .		РпХп"ЬЯ= 0-
Тогда	h (X) — аффинная функция,		минорирующая функцию/(X) на
всем	пространстве <$*„(/(X) ^ Л (X)),			для которой	не существует

аффинной функции Л (X) + 8 (е—любое положительное число), кото-

* В отечественных работах по выпуклому анализу через dom (/) обозначается аффективное множество.— Прим. ред.

рая обладала бы этим свойством. Так, в частности, обстоит дело, если h (Л) — аффин ная миноранта функции /(Л ), точная в Х°, т. е. такая, что f (X°)=*h(X°)t и можно напи сать равенство

h(X)-f(X°) = pi (Xi - X ° 1) + . . .

+ Рп(Хп-Х °п).

Определение

б.

Вектор р (Pi,

. . . ,

рп) из

пространства Е'п,

определяемый

аффинной

минорантой, равной точному значению в Х°,

называется субградиентом функции f (X ) в Х°.

Таким

образом,

субградиент в

Л-0 равен

и в).

наклону аффинной миноранты,

точной

в Х°.

В примере б) полупрямые D

Тогда согласно

свойству 3 сразу

же можно

и D ' не принадлежат данно

утверждать следующее.

му надграфнку, как это имеет

данной

точке

место для

примера в)

С в о й с т в о

каждой

множество субградиентов

выпуклой

функции f (X), определенной на

Еп, есть выпуклое множество из Е„. Это множество

называют суб

дифференциалом функции f (X)

в данной

точке.

Примеры выпуклых функций.

—функция выпуклая; А (Л) —

а) Аффинная

функция h(X)

на

полупространство из £ п+1,

определяемое неравенством Х п+1> h (X).

б)

Если положить

№

=Я XI +

. . . + X2, то получим выпуклую

в £ п функцию

(Х) = — {1—

| Х| <1 .

Множество dom(f)

представляет собой

открытый

шар

| Х | 2< 1.

Множество

A (f) —часть

кругового

цилиндра

осью ОХп+1, рас

положенная в £ n+i выше открытой

полусферы радиуса 1

с центром

в начале

координат,

принадлежащая

полупространству

Хп+1 < 0.

Как указано, при | Х | = 1

принимаем f(X) = -\-oo (рис.

I).

в)

Функция

f(X) = — {1—|Х |2}1/2,

| Х \ ^

1 —также

выпуклая;

она идентична предыдущей при | Х | <

1, но отличается от нее при

i Х | =

1; в

этом

случае она принимает нулевое значение, тогда как

в предыдушем примере полагали функцию равной +оо.

совпадает

г)

Функция

f(X) =

{l + |Х |2}1/2 — выпуклая;

dom (f)

со всем пространством £ п (рис.

2).

д)

Функция

f(X) = a | X | , где а —положительное действительное

число,— выпуклая;

dom ^) —все пространство £„•, А (/) — внутренняя

часть

кругового

конуса

с осью OXn+i, расположенная в <£„+1. Заме

тим,

что f (X) — положительно

однородная функция первой степени

однородности jy (XX) = Xf (X), если

X—положительное

число].

е)

Функция

/(Л ) = |Х |

при

| Х | < 1

и f(X) = 2,

если |Х | = 1,

для которой dom (/) — шар | X | ^

1 в пространстве <§п, также является

выпуклой.

Если

| Х | >

то следует

полагать

/(Х ) = + °о (рис. 3).

Предоставим

читателю самому возможность

проверить

высказан

ные выше утверждения. Впрочем, приводимые ниже свойства, о кото рых выше шла речь, позволяют легко провести все доказательства.

Рис.	2. Надграфик функ	Рис. 3. Надграфик функ
ции	/ (*) для случая, опи	ции / (*) для случая, опи
санного в примере г) (п= 1)		санного в примере е)
		(М = 1)

Ниже займемся исследованием «регулярности» выпуклой функции и, в частности, ее непрерывности. Будут рассмотрены также соотно шения, связывающие выпуклую функцию с ее аффинными миноран тами и, в более общем случае, соотношения между выпуклым мно жеством и его опорной гиперплоскостью. Начнем с простого случая, когда пространство Еп—одномерное.

ПН.2. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (/1 = 1 )

ПИ.2.1. Непрерывность и дифференцируемость. Действительную переменную обозначаем через х, координаты в пространстве <£л+1 = = <£2, в котором расположен надграфик, обозначим через (х, у). Предположим, что dom (/) содержит по меньшей мере две разные точки хг и х2 и, следовательно, в этом случае содержит весь интервал

х19	х2. Тогда	dom (/) —интервал из <§t		(ограниченный или	нет).
	Теорема 1.	Если f(x) —выпуклая,		то функция
		р (1. а) =		l)
		р (1. а) =	2—1
			2—1
где	х, и х2 —два различных значения			из области dom(/),	является

неубывающей функцией по каждой из переменных х, или х2. В любой точке а открытого интервала внутри dom (/) функция f имеет произ водные справа и слева и является, следовательно, непрерывной в а. Далее, если а < Ь, то

п («) < fd Ф) < f{b)b - a{d)-< П (Ь) < п ФУ

здесь f'g и f\,— соответственно производные слева и справа.

Первое неравенство означает, что дуга кривой f (х) в <£2 распо ложена ниже стягивающей ее хорды; второе — что р (х, а) не убывает

вокрестности а (рис. 4). Можно сразу же сформулировать следствие.

Влюбой внутренней точке области dom (/) субдифференциал —

непустое множество, которое сводится к единственному элементу

в том (и	только в том)				случае, когда фун
кция f (х) дифференцируема в							этой		точке.
Субградиент совпадает тогда с производной
от / (х) в этой точке.
Разрыв функции f (х) может, таким обра
зом, иметь	место		только		на	концах			а или
Р (а < Р) области dom (/),				если		таковые суще
ствуют. Предположим,					что		а —конечно.
Очевидно,	что	в	х = а множество					значений
/ (х) при х > а		не может иметь					больше од			Рис.	4.
ного элемента *.			Иными		словами,			когда х
стремится	к а	сверху,		то f (х)			или		беско	dom (/)],	или стре
нечно возрастает			[случай		I —а		не принадлежит

мится к конечному значению. В последнем случае возможны два


варианта: а	принадлежит dom (/) и функция / (х) — непрерывна справа
в х = а (случай			II);	и наконец, / (а) > lim (х)				(случай I I I —а может
быть как внутри			dom (/), так		и вне),	функция не является непрерыв
ной в точке	х = а.			ранее примерах		( n = l )		^ (х) —непрерывная		на
В рассмотренных
конце х=*—1 области dom (f)					(пример в)),		случай II.			оо,
Функция	/ (х) —разрывная				в примере		б);	здесь	/ ( —1) = +
Игл / (х) =■ 0;	и	в	примере е) / ( —1) = 2,				lim	/(х) =	1 (случай III).
Определение						Х-+- 1
		6. Выпуклая функция f называется замкнутой, если

еенадграфик Д (/) замкнут.

Всоответствии с высказанным выше случай III, очевидно, не может тогда иметь места и можно сформулировать следующее свойство.

С в о й с т в о		8. Замкнутая выпуклая		функция обладает следую
щими свойствами:				<8Х.
1. Либо область dom(/) —вся прямая
2.	Либо dom (f) имеет по меньшей мере один конец. Если, напри
мер,	а —левый	конец, то функция	/ (х) — непрерывна справа, иначе
f (х) бесконечно		возрастает, когда х	стремится к а сверху.
Так, например, в примерах а), в), г),				д) функция / (^ — замкну
тая,	а в примерах б), е) —незамкнутая.
Всякой выпуклой функции g(x) можно поставить в соответствие
замкнутую выпуклую функцию / (х)			с помощью операций замыкания
надграфика; Д (/) = Д (g), где Д (gj			означает указанную операцию.

Замыкание выпуклой функции эквивалентно ее регуляризации на границе области ее определения (если она нерегулярна).

ПП.2.2. Теоремы отделимости. Эти теоремы являются весьма важными для характеристики выпуклых замкнутых множеств и вы пуклых замкнутых функций и для рассматриваемых случаев почти

очевидны.	Пусть	задано открытое выпуклое множество С на плоско-
* Если	а т о ч к а	конденсации, то кривая / (х) в интервале (а, д:0) находится

выше сегмента, стягивающего (о, а) и (х0, / («о)): таким образом, точка конденсации не может располагаться выше. Следовательно, / (х) не может иметь здесь двух точек конденсации.

				сти <§2. Из теоремы 1 немедленно следует,
				что в любой точке М границы С существует
				по меньшей мере одна опорная прямая Н
				[очевидно, что любой отрезок дуги, вклю
				чающий точку М, можно рассматривать как
				принадлежащий		графику выпуклой функции
				действительной переменной (рис. 5)]. Опор
				ная	прямая Н содержит М и			не	имеет		об
				шей	точки с С. Если М лежит вне С, сег
				мент AM (Л находится внутри С) имеет об
				щую точку М '		с границей С: прямая,					про
Рис. 5.	Пусть М — точка			ходящая через		М и параллельная				опорной
границы области С, Р —				для	С прямой в М ', не имеет			общей точки
точка	внутри	С.	Ось у
параллельна		отрезку МР		с С. Можно, таким образом, утверждать							сле
				дующее.
и так же направлена.
Заштрихованная			площадь	Теорема 2. Если С —открытое множество
изображает множество точек				плоскости <Въ, то через любую				точку М, не
N плоскости, такое,			что на
прямой, параллельной оси у и				принадлежащую С,			можно провести по край
проходящей через N, сущест				ней	мере одну прямую, которая				не	пересе
вует точка С, ордината кото
рой не больше ординаты N.				чет	С.
Эта область является надгра-						Замкнутое выпуклое				множе
фиком	выпуклой		функции	Теорема 3.
f (х), а	дуга	УШВ-график		ство	плоскости	d?2	идентично	пересечению
	этой функции

всех полуплоскостей, которые содержат это множество.

Напомним, что полуплоскость есть замкнутое выпуклое множество. Пересечение всех полуплоскостей, содержащих С, является, стало быть, замкнутым выпуклым множеством Г, содержащим С.

Требуется доказать,	что нет	такой точки М внутри Г,	которая
не принадлежала бы С.	Но если	бы таковая существовала,	то через

нее (через точку М) можно было бы провести полупрямую, не пересе кающую С, и построить полуплоскость из семейства полуплоскостей, о которых говорится в формулировке теоремы, причем граница полу плоскости проходила бы через точку' М. Последнее невозможно, если М находится внутри Г.

Теорема 4. Замкнутая выпуклая функция f (х) идентична пото чечной верхней грани ее аффинных минорант, т. е. таких аффинных функций h(x), что h(x)^.f(x) при любом х. Обратно, поточечная верхняя грань некоторого семейства аффинных функций — замкнутая выпуклая функция.

Это означает, что при любом х верхний предел функции h(x) точно равен f (х).

Данная теорема может быть выведена из предыдущей, если рас
смотреть надграфик A (f) (замкнутый по предположению), учитывая
в то	же время,	что можно исключить «вертикальные прямые», не
меняя	сущности	формулировки теоремы. В самом деле, если М на

ходится внутри	дополнения к	А (/)	и если его проекция на ось х
лежит вне dom (f), то очевидно,		что	через точку М можно провести
невертикальную	прямую, которая не пересечет A (J) (рис. 6). Теорема
доказана.

Заметим,

впрочем, что при любом зна

чении х, лежащем

внутри dom (/), сущест

вует точная аффинная,миноранта. Точно так

>Не обстоит дело

для

любой

точки

облас

ти

dom (/),

за исключением

тех,

где вер

тикальными

являются

одни

лишь

опор

ные относительно

А (f)

прямые.

Пусть

Р —верхняя

граница

dom(/)

и (|5,

!ф)) —

Соответствующая точка Д (f). Через

такую

точку можно провести прямую, наклон

Которой будет достаточен для того, чтобы

Рис. 6. Если абсцисса точ

Прямая пересекала

график f

в точке (лг°,

ки М превышает р, то пря

У"), для которой

/ (Р) — / (х°)

всегда

будет

мая МР расположена ниже

Меньше любого

наперед

заданного

числа

Д (/);

[0 - *(Р )< - х (У И ),

у ( Р ) < Inf/(*)].

в,

и что в х°

всегда

будет

существовать

Если в точке (3, f (3))

касатель

По

меньшей

мере

одна точная аффинная

ная вертикальна, то в этой точке

нет точной аффинной миноранты,

Миноранта h (х)

положительным накло

однако аффинная миноранта h ( x )

ном. Тогда

/ (Р) —ft(P) <

е. Здесь

следует

в близкой точке х 0 такова, что

раЗность / (3)-Л (3) сколь угодно

Отметить,

что предположение о

замкну

мала

тости f (х)

является существенным. В при

является

верхней

веденном

ранее

примере е)

значение/(1) = 2 не

границей функций

h(x)

(последняя равна 1).

Обратное утверждение очевидно.

П11.2.3. Пары сопряженных функций. Преобразование Лежандра.

Пусть / (х) — замкнутая выпуклая функция. Рассмотрим аффинные функции h (х) = хх* — у*, ограничивающие снизу f (х). Поставим в соот ветствие такой функции точку с координатами х*, у* в некоторой Плоскости <£%. Очевидно, эти точки образуют выпуклое множество F*, и если (х*, у*) £ F*, то точки (х*, у'*) также образуют выпуклое множество при у'* > у*-F*. Иными словами, F* можно рассматривать как надграфик некоторой выпуклой функции f*(x*), определяемой соотношением

f (х) = sup [хх—f(x)],	(3)
X

которая является поточечной верхней гранью аффинных функций переменной х*

хх*—f (х)

при любом фиксированном х. Эта функция является, таким образом,

замкнутой выпуклой функцией сопряженной переменной х*, назы ваемой функцией, сопряженной выпуклой замкнутой функции f (х). С другой стороны, по определению, / (х) — поточечная верхняя грань аффинных функций h(x) = xx* —y, когда (х*, у*) £ F*, и, в частности, аффинных функций xx*—f*(x*), и можно, таким образом, написать

f (х) = sup [хх—f (х)].	(4)
ж*

Итак, f (х) сопряжена замкнутой выпуклой функции /* (х*). Можно утверждать следующее.

Теорема 5. Всякой выпуклой замкнутой функции f (х) можно поставить в соответствие по формуле (3) замкнутую выпуклую функ цию f*{x*), называемую сопряженной функцией f (х) или обобщенным

преобразованием Лежандра						функции f \x).			Функцией, сопряженной
f(x),	будет сама функция f (х).							то /•(**)		будет выпуклой»
Замечание.			Если f (х) —невыпуклая,
однако f**(x),			сопряженная			f* (х*), не равна f (х).
Приведем несколько					примеров.
а) f (х) = ах — Ъ.					за	исключением			случая,	когда	х* = а и
Здесь		/* (**) =		+ оо,
f* (а) = Ь.		Область		dom (/*)		сводится к одной точке. Очевидно, этот
случай	вырожденный.				если		\|д :\|^ 1 ,	и f(x) = оо, если			\| х \| > 1 .
б)	f(x)=*— {1—
Тогда
			f* (*•) =		sup		{хх* + {1 —х2\1/2).
					- 1< X< 1

При фиксированном х* величина под знаком sup достигает макси мума при

д*

_хг)г12

“ {1

и, следовательно,

[*(х*) = {1+х*2}^2.

Сопряженная функция совпадает с функцией из примера г).

Область

dom (/*)

здесь представлена всей

прямой

х*.

из чисел

в)

f (JC) = а | д: 1. Здесь

\* (х*) будет равна

наибольшему

sup [* (х* —a)],

sup [л: (л:* +

о)].

* >

х < О

При

\х*\ > д

f*(x*)= + оо;

при

| х * | < а

f*(x*) = 0.

Говорят,

что f* (х*) является

индикатрисой замкнутого

множе

ства

— а ^ х * ^

+ а,

на

котором

она определена

(на этом

множе

стве

ее значения

равны 0, вне множества функция

/•(* •)=

+ оо).

Замечание. Если

х*— субградиент f (х) в точке х,

то f(x*) равна

начальной ординате, взятой с обратным

знаком,

опорной

прямой,

наклон

которой

в точке

(х,

f (х)) графика / (х) равен х*,

можно

написать, что

XX*= f (x) + f*(x*).

(5)

Это дает возможность определять функцию /•(**) геометриче ским путем (можно применить, в частности, к примеру д), рассмот ренному ранее). При любых х и х* имеет место неравенство

f(x) + f*(x*)^xx*,

(6)

называемое неравенством Фенхеля. Если для некоторой пары (х, х*) имеет место равенство, то тогда х — субградиент функции f*(x*) в точке х*, а х*—субградиент / (х) в точке х (рис. 7).

П11.2.4. Дифференцируемые выпук лые функции. Если функция f (х) диф ференцируема в любой точке внутри dom (f), то производная f ' (х) являет ся неубывающей функцией х в этой области. В любой точке существует единственный субградиент х* = /'(х); сопряженная функция дается равенст вом (5) представляющем собой классиче ское преобразование Лежандра функции одной переменной. Обратно, если функ ция f (х), определенная и дифферен цируемая на некотором интервале, имеет в точке х неубывающую произ водную f (х), то функция f (x)~ вы пуклая на этом интервале, так как функция

Рис. 7. Значения функции /* (х*)„ сопряженной функции f (х) при двух частных значениях х*:

х* = х*' и х* = х*"

На Д' имеем у = х х * ' - f *	(х * ')\
Д" имеем у = х х * " - f *	(х *п)


		V (*о) + И/ (х) —f (Ях0 + ЦХ)
( Яи ц два	неотрицательных		числа,	в сумме		равные	1) зависит от
переменной	х, а ее	производная		р[Г (х) — /' (Ях0 + рх)]				неотрица
тельна при	х > х„	и неположительна			при х < х0,		т. е.	функция
Я/ (х0) р / ( х ) —/ (Ях0 + рх)			достигает		своего	минимума		(равного
нулю) при х —х0; иными словами,				она	либо положительная, либо
равна нулю	при любом х.

Отсюда следует классический результат.

Теорема 6. Дважды дифференцируемая на некотором интервале функция является выпуклой функцией на этом интервале в том и только в том случае, если ее вторая производная неотрицательная.

Эта теорема является критерием выпуклости для широко рас пространенных функций.

П11.3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Полученные выше результаты можно распространить и на более широкий случай выпуклых функций нескольких действительных переменных. Для этого нужно доказать два установленных выше основных результата, первый из которых касается понятия непре рывности выпуклой функции, второй —теоремы отделимости.

ПИ.3.1. Непрерывность.		Пусть f (X) —выпуклая функция, опре
деленная	на Еп (или <£„).	Предполагаем, что dom (7) — п-мерная
область,	т. е. она включает по меньшей мере (л+1) точек
(Лш, . . . .	Л1п+1>), не принадлежащих одной и той же гиперплоско

сти. Функция f (X), очевидно, ограничена сверху в выпуклой замк нутой оболочке 5*(л+1) точек; очевидно, в этой оболочке она ограничена и снизу. В самом деле, пусть последовательность сходится к точке У внутри 9s, и функция /(Х ^ ) при

нимает значения, меньшие любого наперед заданного числа. Так как

f [ М ш + М Ш+ • • • + ^ +И (п+1)+ ц Л ('”] < Kf (Аа)) + . . .

. . . + K +if(Ain+1)) + vf(X{p))>

где	Хп и р — положительные	числа,	для которых	+ • • •
+ Х„ +1 + ц = 1, то при р —<-оо f (X)			принимает значения,	мень
шие	любого фиксированного	отрицательного числа внутри		5*, и,

следовательно, это множество, вопреки предположению, не принад лежит dom ([).

Итак, f (X) равномерно ограничена на любом выпуклом замкну том множестве Б, содержащемся внутри dom (/).

При данном 2 можно найти такое достаточно малое положи тельное число е, что замкнутое выпуклое множество точек X -f- eZ,

где Л £ Б	,и	\| Z \| ^ 1, все	еще будет	находиться	внутри	dom(/).
Функция	f (X)	равномерно ограничена на множестве Бе; граничные
значения функции обозначим т и М.				точки X и	X ' из	Б; точка
Имея	этот	результат,	рассмотрим	точки X и	X ' из	Б; точка

принадлежит множеству Бе. Таким образом, имеем

		Л" = (1 - X ) X + KY, где Ъ = г^ ' ~ ^				г
Так как / — выпуклая функция,			то
или		f ( X ’) ^ ( l - X ) f ( X ) + %f(V),
или		f ( X ' ) - f ( X ) ^ X [ n r ) - f ( X ) ] .
		f ( X ' ) - f ( X ) ^ X [ n r ) - f ( X ) ] .
Учитывая,		что Л и У принадлежат			2 е, имеем	[f (F) — / (Л)] <
< Л 4 —т и,	следовательно,
		1 ( Х ' ) — 1(Х)		М — т
		\ Х ' — Х \	^	е	*
Так как	X	к X' можно поменять		местами, то
	\| / ( Л ' ) - ^ ( Л ) \| < Л \| Л ' - Л \| ,				К = ^ .	(7)
Итак, f (X)		удовлетворяет в 2	условию Липшица.

Полученные результаты могут быть сформулированы в виде теоремы, аналогичной теореме 1.

Теорема 7. Любая выпуклая функция равномерно ограничена, равномерно непрерывна и равномерно удовлетворяет условию Лип шица в любом замкнутом выпуклом множестве, содержащемся внутри dom(/).

Таким образом, как уже отмечалось ранее, регулярность может

нарушаться только	в граничных точках выпуклого множества
dom (/).
Определение (6)	замкнутой выпуклой функции приходится три-

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4032 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20228.16 Mб59Краткий курс общей физики..pdf
#
15.11.20224.15 Mб32Крепление испытание и освоение нефтяных и газовых скважин..pdf
#
15.11.202210.22 Mб11Крепление испытание и освоение скважин при разработке нефтяных место..pdf
#
15.11.202211.27 Mб61Кристаллизация и литейные свойства сплавов..pdf
#
15.11.20221.05 Mб16Кристаллография..pdf
#
15.11.202220.58 Mб20Курс механики сплошных сред..pdf
#
15.11.202220.15 Mб3Курс экономики для бакалавров..pdf
#
15.11.202215.71 Mб37Курсовое проектирование по теории механизмов и механике систем машин..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб33Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб15Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf