Калашников, Н.П. Руководство к решению задач по физике Основы квантовой физики. Строение вещества. Атомная и ядерная физика

прямоугольного барьера с постоянной высотой U <E формула принимает вид

где d – ширина барьера. Это выражение полезно преобразовать к такому виду, чтобы энергия и ширина барьера входили в безразмерных отношениях:

Напомним, что λC — комптоновская длина волны частицы.

2.5.2. Методические рекомендации по решению задач

Пример 2.5.1. В потенциальной яме бесконечной глубины движется электрон. В зависимости от его кинетической энергии волновая функция может принимать различные значения, схематически представленные на рис. 3.

Рис. 3

Какие из этих состояний сохранятся, если ширина потенциальной ямы уменьшится вдвое (т.е. если правая стенка ямы переместится в положение, показанное пунктирной линией)?

81

Как изменится при этом минимальное значение кинетической энергии электрона?

Решение. В потенциальной яме бесконечной глубины волновая функция на «стенках» ямы должна быть равна нулю. Поэтому смогут остаться только состояния, обозначенные четными номерами: 2, 4, 6 и т. д.

Расстояние между узлами волновой функции основного состояния равно половине длины волны де Бройля. При уменьшении ширины ямы вдвое основным состоянием станет функция, показанная под номером 2. Ее длина волны де Бройля в два раза меньше, чем у прежней волновой функции 1. Стало быть, импульс электрона в этом состоянии больше в два раза, а кинетическая энергия – в четыре.

Пример 2.5.2. Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l в состоянии с квантовым числом n .

Найти вероятность Wn с которой частица может быть

обнаружена в области0 ≤ x ≤1/ 3. Найти числовой результат для n =1, 2, 3.

Решение. Волновая функция системы имеет вид

Искомая вероятность Wn определяется в соответствии со смыслом волновой функции: величина ψ(x)2 dx есть вероятность обнаружить частицу на отрезке длины dx вблизи точки x Чтобы получить Wn надо сложить эти вероятности для всех точек x заданной области, то есть вычислить соответствующий интеграл:

82

Из-за симметрии системы ясно, что такие же результаты получатся и для последней трети потенциальной ямы. Так как полная вероятность равна единице, то вероятность обнаружить частицу в средней трети ямы (в области l / 3 ≤ x ≤ 2l / 3) можно

рассчитать по формуле 1− 2Wn . Видно, что в основном состоянии

с вероятностью, превышающей 60 % частица будет обнаружена в средней трети ямы. В первом возбужденном состоянии, наоборот, частица пребывает в средней части ямы с вероятностью меньше 20 %. Наконец, во втором возбужденном состоянии частица может находиться в каждой из указанных частей с равной вероятностью

33,3 %.

Пример 2.5.3. Дан одномерный квантовый осциллятор с потенциальной энергией. U (x) = mω2 x2 / 2 , находящийся в

состоянии дана выражением (2.5.16). Нас интересует вероятность обнаружить частицу в области x ≤ −xmax и x ≥ xmax , т.е. мы

83

−xmax

должны вычислить и сложить интегралы − ∫ ψ0 (x)2 dx и

−∞

∞∫ ψ0 (x)2 dx . Из симметрии потенциала и волновой функции

xmax

ясно, что эти вероятности равны, так что достаточно подсчитать и удвоить лишь одну из них. Имеем тогда

Приведенный выше интеграл не берется в элементарных функциях, и мы привели лишь результат его численного расчета. Итак, с вероятностью 15 % осциллятор в основном состоянии может отклоняться на расстояния, превышающие его классическую амплитуду колебаний.

Пример 2.5.4. Рассмотрим электрон, находящийся в трехмерном

кубическом ящике размером L =10−10 м. Чему равны энергии (в эВ) четырех низших уровней? Сколько состояний отвечает каждому энергетическому уровню? Напишите волновые функции для каждого состояния.

84

E4 =410 эВ, ψ = ψ1,1, 3 ; ψ1, 3,1 .и ψ3,1,1 .

Пример 2.5.5. Атомы аргона заключены в непроницаемый кубический баллон с размером ребра a = 20 см. 1) Какова разность энергий E двух первых уровней? 2) Какова кинетическая энергия Ek теплового движения атомов при

температуре T =300 К? 3) При какой температуре энергия теплового возбуждения равна разности энергий первых уровней? Атомная масса аргона M =39,9 г/моль.

Решение: сначала вычислим массу атома аргона:

m= M / NA = 39,9 10−3 / 6,022 1023 = 6,63 10−26 кг.

1)Энергия частиц в кубическом объеме дается формулой (2.5.13), где надо положить l1 = l2 = l2 = a . Энергия основного

одного из квантовых чисел увеличивается на единицу (например n1 = 2 , n2 = n3 =1) В результате:

2) Средняя тепловая энергия атома аргона вычисляется по формуле

Ek = 32 kБT = 32 ×1,38 10−23 ×300 = 6, 21 10−21 Дж. (2.5.26) 3) Температура, при которой Ek = E равна, как видно,

85

Иными словами, дискретностью уровней в газе можно спокойно пренебречь, в том числе, и по сравнению с другими квантовыми эффектами.

Пример 2.5.6. При каком отношении высоты U

потенциального барьера бесконечной ширины и энергии E электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения ρ

равен 1/2?

Решение. Для коэффициента отражения получена формула

ρ= k1 −k2 2 ,

k1 + k2

где волновые векторы равны

k1 = 1 2mE , k2 = 1 2m(E −U ) .

Пример 2.5.7. На низкий потенциальный барьер падает моноэнергетический поток электронов. Концентрация n0

электронов в падающем потоке равна 109 мм-3, а их энергия

86

E =100 эВ. Определить давление, которое испытывает барьер, если его высота U =9,7 эВ.

Решение. Пусть скорость электронов v = 2E / m , а поперечное сечение пучка S . Тогда за время dt на барьер попадут dN = n0vS dt электронов. Из них ρdN отразятся, причем каждый

передаст барьеру импульс 2mv . Поэтому полный импульс, переданный отраженными электронами, равен dp1 = 2mv ρdN = 2n0mv2Sρdt = 4n0ρES dt . Сила, действующая на

барьер со стороны отраженных электронов, равна импульсу, передаваемому в единицу времени:

F1 = dpdt1 = 4n0ρES ,

откуда получаем для давления (P1 = F1 / S ):

P1 = 4n0ρE .

Кроме того, на барьер действуют и прошедшие электроны. Их

этих импульсов передается барьеру. Поэтому полный импульс, переданный барьеру прошедшими электронами, равен

Аналогично предыдущему случаю отсюда выводится

Заметим, кстати, что для классических частиц отражения нет, и давление на барьер получается из P2 при ρ = 0 :

87

Это и есть окончательная формула, куда мы теперь подставим

Отметим связь полученного давления с классическим:

Видно, что давление, рассчитанное на основе квантовой механики, всегда превышает давление, вычисленное по классической теории. Они совпадут лишь при больших энергиях, а в предельном случае E =U квантовое давление ровно в два раза больше классического.

88

Пример 2.5.8. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов 10 кВ. Во сколько раз

отличаются коэффициенты прозрачности De для электрона и

Используя значения комптоновских длин волн для электрона и протона, приведенные в предыдущем разделе, находим из формулы

(2.5.21):

Этот результат демонстрирует сильную зависимость коэффициента прозрачности от массы частицы.

Пример 2.5.9. Электрон с энергиейE = 4,9 эВ налетает на прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 5 эВ. При какой ширине d барьера вероятность прохождения электрона через него будет равна 0,2?

Решение. Вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффициентом прозрачности D для которого у нас есть формула (2.5.21). Беря логарифм от обеих ее частей, находим выражение для ширины барьера:

89

Подставляем численные значения:

Пример 2.5.10. Согласно одной из простых моделей, атомное ядро из N нейтронов и Z протонов рассматривается как совокупность нуклонов в бесконечно глубоком (квадратном) потенциальном ящике.

а) Получите выражение для энергетических уровней (т.е. для числа уровней, приходящих на единичный энергетический интервал) в таком потенциальном ящике.

б) Чему равна максимальная кинетическая энергия отдельного нуклона, если ядро атома находится на самом нижнем энергетическом уровне?

в) Покажите, что при постоянной плотности ядра найденная выше максимальная энергия не зависит от числа нуклонов.

Решение:

а) Частица массой т внутри потенциального ящика описывается уравнением Шредингера:

бесконечность, то на стенках волновая функция ψ(x, y, z)= 0 .

Собственные значения полной энергии Е протона (или нейтрона) определяются выражением

где nx , ny , nz – положительные целые числа, а – размер потенциального ящика. Таким образом, получаем

90