Калашников, Н.П. Руководство к решению задач по физике Основы квантовой физики. Строение вещества. Атомная и ядерная физика

Солнце представляет абсолютно черный шар радиусом R , излучающий подобно черному телу при температуре T0 = 6000 К. Угол, под которым Солнце видно со спутника, составляетα = 32′. Какова равновесная температура спутника?

Решение. Ежесекундно спутник поглощает энергию, равную

В то же время спутник в единицу времени излучает энергию 4πr2σT 4 . Отсюда получаем равновесную температуру спутника

T4 =T04R2 / 4D2 =α2T04 / 4 или T =288К.

2.1.3. Задачи для самостоятельной работы

Закон Стефана–Больцмана Задача 2.1.1. Вследствие повышения температуры максимум

спектральной энергетической светимости абсолютно черного тела уменьшился с 2 до 1 мкм. Во сколько раз изменилась интегральная энергетическая светимость? (в 16 раз)

Задача 2.1.2. Определить температуру T при которой

энергетическая светимость R абсолютно черного тела равна

10 кВт/м2. (648 К)

Задача 2.1.3. Поток энергии Ф излучаемый из смотрового окошка плавильной печи, равен 34 Вт. Определить температуру T печи, если площадь отверстия S = 6 см2. (1000 К)

Задача 2.1.4. Определить энергию W излучаемую за время t =1 мин из смотрового окошка площадью S =8 см2 плавильной печи, если ее температура T =1,72 кК. (5,64 кДж)

Задача 2.1.5. Температура T верхних слоев звезды Сириус равна 10 кК. Определить поток энергии Ф излучаемый с

поверхности площадью S =1км2 этой звезды. (567 ТВт)

Задача 2.1.6. Найти относительное увеличение энергетической светимости абсолютно черного тела при повышении его

температуры на 1 %. (4 %)

21

Задача 2.1.7. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую температуру абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость возросла в два раза? (в 1,19 раза)

Задача 2.1.8. Определить установившуюся температуру T зачерненной металлической пластинки, расположенной перпендикулярно солнечным лучам вне земной атмосферы на среднем расстоянии от Земли до Солнца. Значение солнечной постоянной C =1,4кДж/(м2·с). (396 К)

Задача 2.1.9. Плавильная печь потребляет мощность P=1кВт. Температура T ее внутренней поверхности при открытом отверстии площадью S = 25 см2 равна 1, 2 кК Считая, что

отверстие печи излучает как абсолютно черное тело, определить, какая часть мощности рассеивается стенками. (70,6 %)

Задача 2.1.10. Можно условно принять, что Земля излучает как

Задача 2.1.11. Мощность P излучения шара радиусом r =10см

при некоторой постоянной температуре T =1кВт. Найти эту температуру, считая шар серым телом с поглощательной способностью a = 0, 25, одинаковой для всех длин волн. (866 К)

Задача 2.1.12. Определить, за какое время медный шар, помещенный в вакуум, охладится с 500 до 300 К. Радиус шара 1 см, поглощательная способность поверхности шара 0,8, удельная теплоемкость меди 390 Дж/кг·К. Влиянием окружающих тел пренебречь. (За 41 мин)

Закон Вина Задача 2.1.13. На какую длину волны приходится максимум

испускательной способности абсолютно черного тела при температуре t = 0 С? (10,6 мкм)

Задача 2.1.14. Температура T верхних слоев Солнца равна 5, 3 кК. Считая Солнце абсолютно черным телом, определить

22

длину волны, которой соответствует максимальная испускательная способность Солнца. (547 нм)

Задача 2.1.15. Определить температуру T абсолютно черного тела, при которой максимум испускательной способности приходится: 1) на красную границу видимого спектра

(λ = 750 нм); 2) нафиолетовую (λ = 380 нм). (1 – 379кК; 2 – 7,6 кК)

Задача 2.1.16. Максимум испускательной способности яркой звезды Арктур приходится на длину волны 580 нм. Принимая, что звезда излучает как абсолютно черное тело, определить

температуру T ее поверхности. (5000 К)

Задача 2.1.17. Вследствие изменения температуры абсолютно черного тела максимум испускательной способности сместился с

λmax1 =2,4мкм на λmax2 =0,8мкм. Как и во сколько раз изменилась: 1) энергетическая светимость тела и 2) его максимальная испускательная способность? (1 – увеличилась в 81 раз; 2 – увеличилась в 243 раза)

Задача 2.1.18. При увеличении термодинамической температуры T абсолютно черного тела в два раза длина волны λmax , на которую приходится максимум испускательной способности, уменьшилась на

λ=400нм. Определить начальную температуры T. (3,62 кК) Задача 2.1.19. Эталон единицы силы света – кандела –

представляет собой полный (излучающий волны всех длин) излучатель, поверхность которого площадью S = 0,5305 мм2

находится при температуре затвердевания платины t =1063 C . Определить мощность P излучателя. (95,8 мВт)

какую длину волны она приходится? (1,45мкм)

Задача 2.1.21. При нагревании абсолютно черного тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась от 0,6 до 0,5 мкм. Во сколько раз при этом увеличилась энергетическая светимость тела?

23

Задача 2.1.22. Вследствие изменения температуры абсолютного черного тела максимум спектральной плоскости энергетической светимости сместился с 2,4 на 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменилась энергетическая светимость тела и максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости?

Задача 2.1.23. Мощность излучения абсолютно черного тела в

максимуму кривой, увеличится вдвое)

2.2.Квантовая природа света. Фотон

2.2.1.Основные понятия, законы и формулы

•Импульс фотона:

24

где EФ– плотность потока световой энергии (энергия, падающая в

единицу времени на единицу поверхности), c – скорость света в вакууме, w– средняя плотность энергии в световой волне, ρ– коэффициент отражения поверхности.

•Эффект Комптона:

25

2.2.2. Методические рекомендации по решению задач

Пример 2.2.1. Определить длину волны и частоту фотона, энергия которого равна энергии покоя: 1) электрона; 2) протона.

Решение. Энергия покоя частицы (электрона или протона)

λ=2πc / ω=2,43 10−12 м=2,43пм.

2.Энергия покоя протона mpc2 =938,3МэВ. Частота фотона

той же энергии равна ω=938,3/ 6,582 10−22 =1,43 1024 Гц,

длина волны λ=2πc / ω=1,32 10−15м=1,32фм.

Пример 2.2.2. Частота фотона, испущенного с поверхности звезды, меняется вследствие гравитационного притяжения. Найти это изменение (так называемое красное смещение). Вычислить для примера смещение желтой линии натрия

(λ =589 нм) для света, испущенного Солнцем.

26

Решение. Для решения этой задачи мы вынуждены принять некое допущение, оправданное тем, что в итоге мы получим правильный результат, следующий также из более полной теории, а

именно: припишем фотону гравитационную массу mγ , исходя из

масса не имеет ничего общего с массой покоя фотона, которая равна нулю.) Тогда фотон частотой ω, испущенный на

поверхности Солнца, имеет также и потенциальную энергию

использовании соотношений ω= 2πc / λ иΔω = −2πcΔλ / λ2 , так что Δω/ ω= −Δλ/ λ. Таким образом, сдвиг длины волны для

27

желтой линии натрия в нашей задаче составит

Δλ=2,1 10−6 ×589 =0,0012 нм.

Гравитационное красное смещение можно охарактеризовать так называемой условной скоростью V , т.е. скоростью источника, при которой эффект Доплера привел бы к такому же смещению частоты света. Так как красное смещение мало, то формулы для

наблюдалось у белых карликов, плотность которых гораздо выше Солнечной (например, для плотной звезды Сириус B условная скорость равна 20 км/с). В 1959 г. красное смещение было измерено в Земных экспериментах, где условная скорость крайне

1)ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ1 =0,155мкм;

2)γ-излучением с длиной волны λ2 =2,47 пм.

Решение. Энергию фотонов в обоих случаях вычисляем по формуле ε = 2π c / λ (значение комбинации c приведено в табл. П.13 приложения):

28

соответственно, Tmax =ε−A; находим Tmax1 =3,3 эВ для первого

случая и Tmax2 =0,502 МэВ – для второго.

В первом случае кинетическая энергия намного меньше энергии

Во втором случае кинетическая энергия сравнима с энергией

= 0,863c = 2,59 108 м/с.

Пример 2.2.4. Уединенный цинковый шарик облучается ультрафиолетовым светом с длиной волны λ= 250 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик? Работа выхода

электрона для цинка Aвых =3,74эВ.

Решение. Выбитые электроны при максимально возможном

Пример 2.2.5. Между фотокатодом и анодом приложена такая задерживающая разность потенциалов, что наиболее быстрые фотоэлектроны могут пролететь только две трети расстояния между катодом и анодом. Смогут ли они долететь до

29

анода, если расстояние между электродами уменьшить на одну треть при фиксированной разности потенциалов?

Решение. Точка, до которой могут долететь фотоэлектроны за счет своей первоначальной кинетической энергии, определяется задерживающий разностью потенциалов:

где L – расстояние между электродами.

При фиксированной разности потенциалов между электродами, при уменьшении расстояния на одну треть фотоэлектроны попрежнему смогут пролететь только две трети расстояния между катодом и анодом.

Пример 2.2.6. Определить красную границу λкр фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом с длиной волны λ = 400нм максимальная скорость vmax фотоэлектрона равна 0, 65 Мм/с.

Решение. На красной границе фотоэффекта скорость фотоэлектрона и его кинетическая энергия равны нулю. Поэтому

Работу выхода найдем из соотношения Эйнштейна, учитывая,

30