Калашников, Н.П. Руководство к решению задач по физике Основы квантовой физики. Строение вещества. Атомная и ядерная физика

соответствуют два спиновых состояния частицы), то получаем для нейтрона

91

2.5.3. Задачи для самостоятельной работы

Прямоугольная бесконечно глубокая потенциальная яма (потенциальный ящик)

Задача 2.5.1. Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней

En+1,n = En+1 − En к энергии En частицы в трех случаях: 1) n = 3;

энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электронвольтах. ( E = 4,5 эВ)

Задача 2.5.3. Частица в потенциальной яме шириной l находится в первом возбужденном состоянии (n = 2). Определить,

в каких точках интервала плотность вероятности

нахождения частицы максимальна и минимальна. (Максимальна при x =l / 4, 3l / 4, минимальна при x = l / 2 )

Задача 2.5.4. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l В каких точках в интервале плотность

вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность

вероятности для этих точек. (x = l / 3, 2l / 3; ψ 2 = 3 / (2l ))

Задача 2.5.5. В одномерном потенциальном ящике шириной l находится электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона на основном энергетическом уровне в интервале длиной

l / 4 , равноудаленном от стенок ящика. (W = 0,475)

92

кубе, занимающем 1/8 объема ящика и расположенном в его центре? (0,55)

Задача 2.5.13. Электрон находится в кубическом потенциальном ящике в основном состоянии. Какова вероятность обнаружить его в кубе, занимающем 1/64 объема ящика и расположенном в его центре? (0,11)

Задача 2.5.14. Электрон находится в основном состоянии в двумерном квадратном бесконечно глубоком потенциально ящике со стороной l. Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет 1/4 площади ящика. (0,67)

Низкий потенциальный барьер бесконечной ширины (ступенька)

волны де Бройля λ при прохождении через потенциальный барьер высотой U = 6 эВ. ( v уменьшится в 1,58 раза, во столько же раз возрастет λ)

Задача 2.5.16. Протон с энергией E =1 МэВ изменил при прохождении над низким потенциальным барьером дебройлевскую длину на 1 %. Определить высоту U потенциального барьера.

(U = 0,02 МэВ)

Задача 2.5.17. На пути электрона с дебройлевской длиной

барьер бесконечной ширины. Определить высоту потенциального

94

барьера U если известно, что 4 % падающих на барьер электронов отражается. (55,6 эВ)

Задача 2.5.19. Коэффициент отражения ρ протона от потенциального барьера равен 2,5 10−5 . Определить, какой

процент составляет высота U барьера от кинетической энергии падающих на барьер протонов. (1,98 %)

Задача 2.5.20. Вычислить коэффициент прохождения электрона с энергией E =100 эВ через потенциальный барьер высотой

U = 99,75 эВ. (0,18)

Задача 2.5.21. При каком отношении высоты U

потенциального барьера и энергии E электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения равен 0,5? (0,97)

Задача 2.5.22. Кинетическая энергия T электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения и коэффициент прохождения электронов на границе барьера. ( ρ = 0,0294; τ = 0,971)

Задача 2.5.23. Коэффициент прохождения электронов через низкий потенциальный барьер равен коэффициенту отражения.

Задача 2.5.25. Найти приближенное выражение ρa коэффициента отражения от очень низкого потенциального барьера (U E ). Определить относительную погрешность

δ =100 % (ρa −ρ)/ ρ этого выражения по сравнению с точным

(1 – δ = −1,0 %; 2 – δ = −9,9 %)

95

Задача 2.5.26. Найти приближенное выражение для

δ =100 % (τa − τ)/ τ этого выражения по сравнению с точным

Задача 2.5.27. На низкий потенциальный барьер направлен монохроматический поток электронов с плотностью потока энергии J1 =10 Вт/м2. Определить плотность потока энергии J2

электронов в области над барьером, если высота его U = 0,91 эВ и

энергия E электронов в падающем потоке равна 1 эВ?

(J2 = 0,19 Вт/м2 )

Задача 2.5.28. Моноэнергетический поток электронов падает на низкий потенциальный барьер. Коэффициент прохождения τ = 0,9.

Определить отношение J2 / J1 плотности потока энергии волны,

прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падающей на барьер. (0,126)

Прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины

Задача 2.5.29. Найти вероятность W туннелирования электрона через прямоугольный потенциальный барьер при разности энергий

потенциальный барьер шириной d = 0,5 нм. Высота U барьера больше энергии E электрона на 1 %. Вычислить коэффициент

96

прямоугольный барьер высотой U =10 эВ. При какой ширине d

электрон пройдет через потенциальный барьер, если его высота барьера

U =10 эВ, а ширина – d = 0,1 нм. (0,359)

Задача 2.5.36. Прямоугольный потенциальный барьер имеет

Задача 2.5.37. Ядро испускает α-частицы с энергией E = 5 МэВ. В грубом приближении можно считать, что α-частицы проходят

97

Задача 2.5.38. Протон и электрон прошли одинаковую

Задача 2.5.39. Пучок электронов с энергией E = 5,0 эВ падает на барьер высотой U = 6,0 эВ и шириной d = 0,70 нм.

Интенсивность пучка соответствует току силой 1,0 кА. Сколько времени надо ждать в среднем, чтобы через барьер просочился один электрон? (2,1·10-19 с)

Задача 2.5.40. Пучок протонов с энергией E = 5,0 эВ падает на барьер высотой U = 6,0 эВ и шириной d = 0,70 нм.

Интенсивность пучка соответствует току силой 1,0 кА. Сколько времени надо ждать в среднем, чтобы через барьер просочился один протон? (1,7·10104 лет)

Задача 2.5.41. Процесс α-распада ядра можно смоделировать как прохождение α-частицей через прямоугольный потенциальный

барьер высотой U0 =15 МэВ и шириной l =10−15 м. Определить

коэффициент прозрачности барьера для α-частиц, имеющих энергию Е = 5 МэВ.

Задача 2.5.42. Поток электронов встречает на своем пути потенциальный барьер в виде ступеньки высотой U0 . Считая, что все электроны до барьера имели одинаковую кинетическую энергию T =2U0 , определить долю электронов, прошедших

98

2.6. Строение атома. Квантование момента импульса. Спектры щелочных металлов. Рентгеновские спектры. Молекулярные спектры. Спин электрона. Атом в магнитном поле

2.6.1.Основные понятия, законы и формулы

•Уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона в поле кулоновского потенциала, создаваемого зарядом

+Ze :

где ψ(r, θ, ϕ) – волновая функция (зависящая от сферических координат r, θ, ϕ), me – масса электрона, E – его полная энергия.

• Величина L в (2.6.1) – оператор орбитального момента количества движения. Одновременно измеримы квадрат момента и его проекция на любую ось (обычно выбирают ось z). Соответствующие операторы имеют вид

• Энергетические уровни электрона в водородоподобном атоме:

зависит от главного квантового числа n , орбитального квантового

99

m = −l,−l +1,...,0,...,l −1,l . Для данного n имеется n2 разных волновых функций, соответствующих тому же значению энергии.

• Вероятность dW того, что электрон находится в области, ограниченной элементом объема dV , взятого в окрестности точки с координатами r,θ,ϕ:

dW = ψn,l ,m (r, θ,ϕ)2 dV ,

В s-состояниях ( l = 0, m = 0 ) волновые функции сферически симметричны, т.е. не зависят от углов θ и ϕ. Вероятность dWr найти электрон, находящийся в атоме водорода в s-состоянии, в сферическом слое (r, r + dr ) одинакова по всем направлениям и

• В состоянии ψn,l,m с определенным значением квадрата

орбитального момента импульса и его проекции на ось z эти значения равны:

Соответственно значения магнитного момента и его проекции, порождаемые орбитальным движением электрона, равны:

100