Калашников, Н.П. Руководство к решению задач по физике Основы квантовой физики. Строение вещества. Атомная и ядерная физика

а) числа нуклонов А1+А2=А3+А4; б) заряда Z1 + Z2 = Z3 + Z4 ;

в) релятивистской полной энергии E1 + E2 = E3 + E4 ;

г) импульса p1 + p2 = p3 + p4 .

Если общее число ядер и частиц, образовавшихся в результате реакции, больше двух, то запись соответственно дополняется.

● При делении некоторых ядер, например,

92235 U +n →92236 U → 14055 Cs + 9437Rb +2n ,

Количество нейтронов на выходе реакции больше, чем на входе, в результате чего возможно возникновение цепной реакции деления.

● Пороговая (минимальная) кинетическая энергия частоты т, налетающей на покоящуюся частицу М, для возбуждения ядерной реакции

m + M → m1 + m2 +... ;

Tпор ={(m1 + m2 +...)2 −(m + M )2}2cM2 , (4.2.2)

где m, M , m1, m2 ,... – массы покоя соответствующих частиц.

4.2.2. Методические рекомендации по решению задач

Пример 4.2.1. Вычислить кинетическую энергию α-частицы, испускаемой при превращении ядра урана 92232 U (с массой

232,03714 а.е.м.) в ядро тория 90238 Th (с массой 228,02873 а.е.м.).

Решение. Так как, масса α-частицы (ядро гелия 42 He ) равна 4,002603 а.е.м., то полная масса продуктов распада равна:

M (Th )+ M (He)= 228, 02873 + 4, 002603 = 232, 03133 а.е.м.

Уменьшение массы при распаде ядра урана 92232 U составляет:

M = M (U)− M (Th)+ M (He) = 0,00581а.е.м.

181

Эта масса переходит в кинетическую энергию. Так как 1 а.е.м.= = 931,5 МэВ, то при распаде высвобождается энергия, приблизительно равна 5,4 МэВ. С помощью закона сохранения импульса можно показать, что кинетическая энергия α-частицы равна примерно 5,3 МэВ. Следовательно, дочернее ядро (тория), испытывающее при вылете α-частицы отдачу в противоположном направлении, обладает кинетической энергией около 0,1 МэВ

Пример 4.2.2. Найти энергию реакции 9 Be(p, α)6 Li . Каковы кинетические энергии продуктов реакции, если ядро мишени (9 Be) покоилось, кинетическая энергия протона равнялась

Tp = 5, 45 МэВ, а ядро гелия вылетело под углом 90° к направлению движения протона?

Решение. Необходимые численные данные берем из табл. П.6 приложения. Энергия реакции

Q= c2 (m 9 Be+ m 1 H − m 4 He− m 6 Li )=

=931,49×(9,01219 +1,00783 − 4,00260 −6,01513)= 2,13 МэВ.

По закону сохранения энергии сумма кинетических энергий ядра лития и α-частицы равна начальной кинетической энергии протона плюс энергия, выделившаяся в реакции

или p = pp − pα . Возводя это равенство в квадрат и учитывая, что

Li

pp pα = 0 , получаем

182

Поскольку при заданных условиях кинетические энергии частиц много меньше их масс покоя, мы можем применять нерелятивистские соотношения между кинетической энергией и импульсом, так что выписанное равенство записывается в виде

позитрон и нейтрино (масса покоя равна нулю). Определить энергию β+-распада ядра.

Решение. Так как вылетевший позитрон унес положительный единичный заряд, то конечным продуктом реакции будет ядро с Z =11, т.е. изотоп натрия. А поскольку нуклоны из ядра магния не

вылетали, то массовое число этого изотопа будет по-прежнему равно 23. Таким образом, реакцию β+-распада ядра магния можно записать в виде

1223 Mg →1123 Na+10e +00 νe .

В уравнении энергетического баланса выразим массы ядер через массы нейтральных атомов:

183

Q= c2 (m23Mg −12me )−(m 23 Na−11me )−me =

=c2 (m 23 Mg−m 23 Na −2me )=

=931, 49×(22,99414 −22,98977 −2×0,00055)= 3,05 МэВ. (4.2.8)

Энергия Q делится между продуктами реакции (в основном

между позитроном и нейтрино). Поскольку масса нейтрино равна нулю, она не присутствует в уравнении энергетического баланса

(4.2.8).

Пример 4.2.4. Согласно углеродному циклу Бете, источником энергии солнечного излучения является энергия, выделяющаяся при образовании гелия из водорода в результате цепочки реакций,

когда исчезают четыре протона, а появляется ядро гелия 4 He , и вылетают два позитрона и два нейтрино (с нулевой массой покоя). Подсчитать, какое количество водорода ежесекундно должно

массы Солнца, подсчитать, на сколько лет хватит запаса водорода, если интенсивность излучения Солнца считать неизменной.

Решение. При превращении четырех протонов в ядро 4 He выделяется энергия

184

Это примерно в два раза больше времени, в течение которого существует наша Вселенная.

Пример 4.2.5. Какой изотоп образуется из альфарадиоактивного тория 90232 Th в результате четырех α-распадов и

двух β--распадов?

Решение. Представим схему радиоактивного распада тория:

Применим законы сохранения заряда и числа нуклонов. После

Такимобразом, конечнымпродуктом распада является изотоп полония

84216 Po .

185

Пример 4.2.6. В результате столкновения нейтрона с ядром 168 O наблюдается испускание дейтерия (изотоп водорода 12 H , содержащий один протон и один нейтрон). Какое ядро возникает

заряд в правой части уравнения реакции должны иметь такие же

соответствует азоту. Таким образом, в результате реакции образовалось ядро азота 157 N. Эту реакцию теперь можно записать в виде 168 O (n, d ) 157 N , где d означает дейтерий 12 H .

Пример 4.2.7. Радиоактивное ядро магния 23 Mg выбросило позитрон и нейтрино. Определить Q энергию β+-распада ядра.

Решение. Реакцию β+ -распада ядра магния можно записать

следующим образом: 1223 Mg →1123Na +10e + 00v .

Принимая, что ядро магния было неподвижным, и учитывая, что масса покоя нейтрино равна нулю, напишем уравнение энергетического баланса. На основании закона сохранения релятивистской полной энергии имеем

Выразим массы ядер магния и натрия через соответствующие нейтральные атомы:

Q =c2 (mMg −12me )−(mNa −11me )−me .

Так как массы покоя электрона и позитрона одинаковы, то после упрощений получим

Q = c2 (mMg − mNa − 2me ).

186

Сделав подстановку, найдем Q = 3,05 МэВ.

Пример 4.2.8. Сколько α- и β--распадов должно произойти, чтобы 92238 U превратился в стабильный изотоп свинца 82206 Pb?

Решение. При α-распаде заряд ядра уменьшается на две единицы, а массовое число – на четыре. При β--распаде заряд ядра увеличивается на одну единицу (за счет испускания электрона). Поэтому при превращении урана в свинец должно произойти (238

– 206)/4 = 8α-распадов, во время которых заряд ядра уменьшается на 16 единиц, и 6β--распадов, чтобы общее уменьшение заряда ядра стало равно (92 – 82) = 10. Таким образом, правильным является ответ: 8α-распадов и 6β--распадов.

Пример 4.2.9. На рис. 13 показана область существования β- стабильных ядер. Прямая линия равновесные значения Zβ ,

соответствующие β-стабильным ядрам. Здесь Z – порядковый номер элемента, а N – число нейтронов в ядре. Определить в области Z < Zβ :

1)ядра обладают избытком протонов Z или нейтронов

N;

2)являются β− или β+ радиоактивными.

Решение: Схематическая диаграмма известных в настоящее время ядер приведена на рис. 13. При рассмотрении этой диаграммы можно видеть ряд интересных особенностей систематики различных ядер.

Рис. 13

1. Устойчивые ядра с порядковыми номерами Z ≤ 20 имеют приблизительно одинаковое число протонов и нейтронов (Z ≈ N ).

187

2. При Z ≥ 20 в устойчивых ядрах начинает возрастать отношение числа нейтронов к числу протонов N/Z. Устойчивые ядра располагаются вдоль узкой полосы значений N – Z, называемой долиной устойчивости. Линия, соответствующая β- стабильным ядрам, может быть аппроксимирована соотношением

Zβ = εN ,

где ε≈0,7. Это означает, что стабильные ядра содержат больше

нейтронов, чем протонов. Причину этого эффекта легко понять, если вспомнить, что ядерные силы – близкодействующие, а кулоновские – дальнодействующие. С ростом атомного номера увеличивается кулоновское отталкивание протонов, и поэтому для поддержания стабильности ядер требуется большое число нейтронов, у которых имеется лишь ядерное притяжение. Следовательно, с ростом Z возрастает отношение N/Z.

3. Ядра, расположенные по склонам долины устойчивости (выше или ниже линии Zβ = εN ), могут переходить в устойчивое

состояние путем радиоактивности распада, испуская β+- или β-- частицы. (Конечно, для более массивных ядер возможен α-распад, а некоторые ядра, стремясь к стабильности, самопроизвольно

сопровождающийся превращением нейтрона в протон и вылетом электрона и антинейтрино:

n → p +e− +v .

5. Ядра, расположенные выше долины устойчивости Z > Zβ = εN, содержат избыток протонов и распадаются путем β+-

распада:

p →n +e+ +v .

Следовательно, в области Z < εN ядра обладают избытком нейтронов и β--активны.

Таким образом, ядра обладают избытком нейтронов и β--

активны.

188

полученную величину с энергией на один нуклон, освобождающейся при делении ядра урана (полная в ысвобождаемая приэтомэнергияпримерноравна200 МэВ). (2,80 МэВ; 0,8 5 МэВ)

Задача 4.2.2. Оп ределить поряд ковый номер Z и массовое число A частицы, обозначенной буквой x в символической записи ядерной реакции: 146 C+42Не→178 О+x . (10 n )

9 Be(n, γ) 10Be , если известно, что энергия связи ядра 9 Be равна 58,16 МэВ, а ядра 10 Be – 64,98 МэВ. ( Q = 6,82 МэВ)

Задача 4.2.7. Найти энергию Q ядерной реакции 1 4 N (n, p)14C ,

еслиэнергиясвязиядра 14 N равна104,66 МэВ, аядра 14 C – 105,29 МэВ. ( Q = 0,63 МэВ)

190