Калашников, Н.П. Руководство к решению задач по физике Основы квантовой физики. Строение вещества. Атомная и ядерная физика

2. Максимальное квантовое число vmax найдем, приравняв разность соседних энергетических уровней нулю:

Ev+1,v = ω 1−2γ(vmax +1) =0 ,

или 1− 2γ(vmax +1)= 0 , откуда vmax = 21γ −1.

Подставив сюда значение γ и округлив до ближайшего (снизу)

121

Приведенную массу молекулы удобно сначала выразить в а. е. м. (относительные атомные массы химических элементов приведены в табл. П. 6):

μ = 11+1919 а. е. м.=0,95 а. е. м.

Выразив приведенную массу в единицах СИ (μ =0,95 1,67 10−27 кг= 1,59 10−27 кг), найдем момент инерции

молекулы HF: I =1,33 10−47 кг·м2.

2. Вращательная постоянная В с учетом выражения для I равна

B = 2 / (2μd2 ).

Подставив значения , μ, d и произведя вычисления, получим B = 4,37 10−22 Дж или B = 2, 73 мэВ.

3. Энергия, необходимая для возбуждения молекулы на первый вращательный уровень, равна разности энергий молекулы на первом и нулевом вращательных уровнях.

Так как вращательная энергия двухатомной молекулы выражается соотношением (2.6.34) E j = BJ (J + 1), то разность

энергий двух соседних вращательных уровней

E j +1, j = E j+1 − E j ={ B (J +1)(J + 2) − BJ (J +1) }.

После упрощений получим E j +1, j = 2B (J +1).

Положив здесь J =0, найдем значение энергии, необходимое для возбуждения молекулы с нулевого уровня на первый:

E1, 0 = 2B = 5, 46 мэВ.

2.6.3. Задачи для самостоятельной работы

Атом водорода

Задача 2.6.1. Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии. С помощью рис.5 определить отношение вероятностей

123

Задача 2.6.2. Электрон в атоме водорода находится в 2s - состоянии. С помощью рис. 5 определить отношение вероятностей w1 / w2 пребывания электрона в сферических слоях

толщиной r = 0, 01aБ и радиусами r1 = 4,0aБ и r2 =10aБ . ( w1 / w2 ≈ 3,5 )

Задача 2.6.3. Графически электронное облако (орбиталь) принято изображать контуром ограничивающим область, в которой вероятность обнаружения электрона составляет 0,9. С

помощью рис. 5 найти радиус rорб орбитали для 1s-состояния электрона в атоме водорода. (rорб ≈ 2,7aБ )

Задача 2.6.4. Графически электронное облако (орбиталь) ограничивающим область принято изображать контуром, в которой вероятность обнаружения электрона составляет 0,9. С помощью

рис. 5 найти радиус rорб орбитали для 2s-состояния электрона в атоме водорода. (rорб ≈ 9,1aБ )

Задача 2.6.5. Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии. С помощью рис. 5 найти радиус сферы r1/ 2 , для которой

вероятность найти электрон внутри нее равна вероятности обнаружить электрон вне ее. (r1/2 ≈1,3aБ )

Задача 2.6.6. Электрон в атоме водорода находится в 2s- состоянии. С помощью рис. 5 найти радиус сферы, r1/ 2 , для

которой вероятность найти электрон внутри нее равна вероятности обнаружить электрон вне ее. (r1/2 = 5,8aБ )

Задача 2.6.7. Электрон находится в атоме водорода в основном

124

Задача 2.6.8. Электрон находится в атоме водорода в основном

2) Используя этот результат, определить среднее значение

Задача 2.6.9. С помощью формулы Бора для радиуса электронной орбиты оцените среднее расстояние α до ядра

Задача 2.6.10. Энергия ионизации (связи) внешнего электрона атома бора равна 8,26 эВ. а) Определите «эффективный заряд ядра»

Zэф для этого электрона. б) Оцените средний радиус его орбиты. (а – Zэф =1,56e ; б – а = 136 пм)

Задача 2.6.11. Энергия ионизации (связи) внешнего электрона атома натрия равна 5,14 эВ. а) Определите «эффективный заряд

ядра» Zэф для этого электрона. б) Оцените средний радиус его орбиты. (а – Zэф =1,84; б – а = 258 пм)

125

Орбитальный момент импульса и магнитный момент электрона

Задача 2.6.12. Вычислить момент импульса орбитального движения электрона, находящегося в атоме 1) в s-состоянии; 2) в p-

состоянии. (1 – L =0; 2 – L =1, 49 10−34 Дж·с)

Задача 2.6.13. В принятой для рентгеновского излучения терминологии восемь электронов с n = 2 находятся на L-оболочке.

а) Вычислите Zэф для 2р-электрона с L-оболочки. (Считайте,

что 2s-электроны находятся внутри.)

б) По той же терминологии при переходе 2р-электрона на К- оболочку возникает Kα -линия спектра. Определите длины волн,

отвечающие Kα -линиям в спектрах алюминия и свинца. (а –

Задача 2.6.14. Энергия ионизации (связи) внешнего электрона атома бора равна 8,26 эВ. а) Определите «эффективный заряд ядра»

Zэф для этого электрона. (Подсказка: воспользуйтесь боровской

моделью.)

б) Определите средний радиус его орбиты. (а – Zэф =1,56 ;

б – rср =1,36 10−10 м).

Задача 2.6.15. Определить возможные значения проекции момента импульса орбитального движения электрона в атоме на направление внешнего магнитного поля. Электрон находится в d-

состоянии. ( Lz = ±2,11 10−34 Дж·с, ±1, 05 10−34 Дж·с, 0)

Задача 2.6.16. Атом водорода, находившийся первоначально в основном состоянии, поглотил квант света с энергией ε =10, 2 эВ.

1) Определить изменение момента импульса L орбитального движения электрона. В возбужденном атоме электрон находится в

126

Задача 2.6.17. Определить наименьший угол θ , который может образовать вектор момента импульса орбитального движения электрона в атоме с направлением внешнего магнитного поля.

Электрон в атоме находится в d-состоянии. ( θ = 35, 3D )

Задача 2.6.18. Электрон в атоме находится в f -состоянии.

Lz ,max = 3,16 10−34 Дж·с)

Задача 2.6.19. Может ли момент импульса орбитального

движения L электрона в атоме водорода быть равен 1,83·10-34 Дж·с? (Не может)

Задача 2.6.20. Момент импульса орбитального движения L электрона в атоме водорода равен 4, 71 10−34 Дж·с. Определить магнитный момент μL обусловленный орбитальным движением электрона. ( μL = 4,14 10−23 Дж/Тл)

Задача 2.6.21. Вычислить полную энергию E , орбитальный момент импульса L и магнитный момент μL электрона,

находящегося в 2p -состоянии в атоме водорода. ( E =−3, 4 эВ;

L =1, 49 10−34 Дж·с; μL =1,31 10−23 Дж/Тл)

Задача 2.6.22. Определить возможные значения магнитного момента μL , обусловленного орбитальным движением электрона в

возбужденном атоме водорода, если энергия E возбуждения равна 12,09 эВ. ( μL =0; 1,31 10−23 Дж/Тл; 2, 27 10−23 Дж/Тл)

127

Спин электрона. Опыт Штерна–Герлаха

Задача 2.6.23. Вычислить спиновый момент импульса S электрона и проекцию Sz этого момента на направление внешнего

магнитного поля. ( S = 0, 913 10−34 Дж·с; Sz = ±0, 527 10−34 Дж·с) Задача 2.6.24. Вычислить спиновый магнитный момент μS электронаипроекциюмагнитногомомента μS ,z нанаправлениевнешнего

поля. (μS =1, 61 10−23 Дж/Тл; μS , z = ±0, 927 10−23 Дж/Тл)

Задача2.6.25. Атомы серебра, обладающие скоростью v = 0,6 км/с, пропускаются через узкую щель и направляются перпендикулярно линиям индукции неоднородного магнитного поля (опыт Штерна и Герлаха). В поле протяженностью l = 6 см пучок расщепляется на два. Определить степень неоднородности магнитного поля, при которой расстояние b между компонентами расщепленного пучка по выходе его из поля равно 3 мм. Атомы серебра находятся в

основном состоянии. ( ∂∂Bz = 5,8 кТл/м)

Задача 2.6.26. Узкий пучок атомарного водорода пропускается в опыте Штерна и Герлаха через поперечное неоднородное

( ∂B / ∂z = 2 кТл/м) магнитное поле протяженностью l =8 см Скорость v атомов водорода равна 4 км/с. Определить расстояние b между компонентами расщепленного пучка атомов по выходе его из магнитного поля. Все атомы водорода в пучке находятся в основном состоянии. (4,47 мм)

Задача 2.6.27. В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов цезия в основном состоянии проходит через поперечное

см. Какова должна быть степень неоднородности магнитного поля, чтобы расстояние b между компонентами расщепленного пучка на экране было равно 6 мм? Скорость атомов цезия равна 0,3 км/с.

( ∂B / ∂z = 429 Тл/м)

128

Задача 2.6.28. Узкий пучок атомов рубидия в основном состоянии пропускается через поперечное неоднородное магнитное поле протяженностью l1 =10 см. На экране, отстоящем

на расстояние l2 = 20 см от магнита, наблюдается расщепление

пучка на два. Определить силу F , действующую на атомы рубидия, если расстояние b между компонентами пучка на экране равно 4 мм и скорость v атомов равна 0,5 км/с. ( F = 2,84 10−21 Н)

Заполнение электронных оболочек

Задача 2.6.29. Сколько разных состояний у электрона с главным квантовым числом n =5? (50)

Задача 2.6.30. Сколько электронов может находится в подоболочке с n = 6, l = 3? (14)

Задача 2.6.31. Какое максимальное число s-, p- и d-электронов может находиться в электронных K-, L- и М-оболочках атома? (K: два s-электрона; L : два s-электрона и шесть p-электронов; M: два s-электрона, шестьp-электронови десятьd-электронов)

Задача 2.6.32. Используя принцип Паули, указать, какое максимальное число N электронов в атоме могут иметь одинаковыми следующие квантовые числа: 1) n, l, m, σ; 2) n, l, m;

3) n, l; 4) n . (1 – один; 2 – два; 3 – 2 (2l +1); 4 – 2n2 )

Задача 2.6.33. Заполненный электронный слой характеризуется квантовым числом n =3. Указать число N электронов в этом слое, у которых одинаковы следующие квантовые числа: 1) σ = +1/ 2;

2) m = +1; 3) m = −2; 4) σ = −1/ 2 и m =0; 5) σ = +1/ 2 и l = 2.

(1 –девять; 2 – четыре; 3 – два; 4 – три; 5 – пять)

Задача 2.6.34. Найти число N электронов в атомах, у которых в основном состоянии заполнены: 1) K - и L -оболочки, 3s - подоболочка и наполовину 3p -подоболочка; 2) K-, L- и M-слои

129

и 4s -, 4p - и 4d -подоболочки. Что это за атомы? (1 – 15 – фосфор; 2 – 46 – палладий)

Задача 2.6.35. Написать формулы электронного строения атомов: 1) бора; 2) углерода; 3) натрия. (1 – 1s2 2s2 p1; 2 – 1s2 2s2 p2 ;

3– 1s2 2s2 p6 3s1 )

3.Основы теории строения вещества

3.1.Элементы физики твердого тела. Квантовые свойства твердых тел. Тепловые свойства кристаллов

3.1.1.Основные понятия, законы и формулы

● Молярный объем кристалла Vm = μ / ρ,

где μ – молярная масса вещества; ρ – плотность кристалла. Объем Vт элементарной ячейки в кристаллах:

а) при кубической сингонии Vm =a3 ;

б) при гексагональной сингонии Vm = 3a2c / 2 . Здесь а и

с – параметры решетки.

Если для гексагональной решетки принять теоретическое значение

c = 8 / 3a , то Vm = 2a3 .

● Число Zm элементарных ячеек в одном моле кристалла

Zm =Vm / V , или Zm = kNA/n ,

где k – число одинаковых атомов в химической формуле соединения (например, в кристалле AgBr число одинаковых

атомов Ag или Br в химической формуле соединения равно единице); NA – постоянная Авогадро; п – число одинаковых

атомов, приходящихся на элементарную ячейку. На рис. 8 представлена структура NaCl; аналогичную структуру имеют соединения KBr, MnO и др.

130