Калашников, Н.П. Руководство к решению задач по физике Основы квантовой физики. Строение вещества. Атомная и ядерная физика

●Классификация элементарных частиц основана на иерархии фундаментальных взаимодействий в природе. Таких взаимодействий известно четыре: сильное, электромагнитное,

слабое и гравитационное.

●Элементарные частицы, участвующие во всех видах взаимодействия, называются адронами. Они, в свою очередь, подразделяются на мезоны (не несущие барионного заряда) и барионы (нуклоны и гипероны).

Число адронов достигает 350-ти. Элементарные частицы, не участвующие в сильных взаимодействиях, называются лептонами. Всего их шесть, но для каждой имеется своя античастица. К лептонам относятся электроны, мюоны, таоны и три типа нейтрино.

●Элементарным частицам приписываются следующие квантовые числа, некоторые из них называются зарядами: Q –

электрический заряд; Le – электронный лептонный заряд; Lμ –

мюонный лептонный заряд; В – барионный заряд; Т – изотопический спин; Тz – проекция изотопического спина на ось z; S – странность; Y – гиперзаряд.

● Связи между квантовыми числами:

●При взаимодействии частиц выполняются законы сохранения Q, L и В зарядов (т.е. значения этих зарядов слева и справа в выражении какой-либо реакции должны быть равны). В сильных взаимодействиях выполняются также законы сохранения S (или Y),

Ти его проекции Tz.

●В 1964 г. была выдвинута гипотеза о том, что все адроны являются композицией сравнительно небольшого числа «истинно» элементарных частиц – кварков, имеющих дробный электрический заряд и не существующих отдельно друг от друга. Предполагается, что есть всего шесть различных типов (ароматов) кварков (d, u, s, c, b, t), каждый из которых может находиться в трех различных состояниях (цветах). Кроме того, каждому кварку соответствует

221

антикварк. Итого получается 36 кварковых состояний адронной формы материи.

● Некоторые квантовые числа кварков и лептонов приведены в табл. 4.1.

●Квантовые числа античастиц имеют противоположные знаки.

●В табл. 4.2 приведен кварковый состав некоторых адронов.

222

Продолжение табл. 4.2

4.4.2. Методические рекомендации по решению задач

Пример 4.4.1. Выбрать квантовую схему, соответствующую гравитационному взаимодействию.

Рис. 16

223

Решение. На при веденных в примере вариантах ответов (рис. 16) показаны так называемые диаграммы Фейнмана для разных типов фундаментальных взаимодействий. Первая диаграмма относится к электромагнитному взаимодействию, вторая – к сильному, третья – к гравитационному, четвертая – к слабому. Прав льным является ответ:

Рис. 17

Пример 4.4.2. На рис. 18 показана кварковая диаграмма β–-распада нуклона.

Рис. 18

Определить, какой реакции соответствует эта диаграмма.

Решение. В настоящее время принято считать, что вся материя (в то м числе и более сотни микрочастиц – протоны, нейтроны и др.) состоит из двух типов первичных частиц, кот орые и будем называть элементарн ыми, – лептонов и кварков.

Кварковыйсоставнекоторыхбарионовимезоновуказанвтабл. 4.2. В начальном состоянии нуклон состоит из двух d-кварков и одного и-кварка. Это – нейтрон. В конечном состоянии нуклон состоит из двух и-кварков и одного d -кварка. Это – п ротон. Таким образом, рассматриваемая диаграм ма соответствует реакции

n → p +e− +νe .

224

Пример 4.4.3. Какие схемы мюонного распада возможны:

1) μ− → e− +νe ; 2) μ− → e− + νe + νμ ; 3) μ− → e− +νe ?

Решение. У μ–-мюона мюонный лептонный заряд Lμ = +1,

электронный лептонный заряд Le =0. Это начальное состояние (до распада). Следовательно, в конечном состоянии (после распада) лептонные заряды должны иметьте же значения: Lμ = +1 и Le =0.

В результате распада 1 в конечном состоянии: Lμ =0,

Le = +1−1= 0; следовательно, мюонный лептонный заряд не сохраняется; такой распад в действительности не наблюдался. В результате распада 2 в конечном состоянии Lμ = 0 +0 +1 = +1;

Le = +1−1+0 =0 , т.е. оба лептонных заряда сохраняются. И это –

один из наиболее распространенных распадов μ–-мюона. Распад 3 не происходит из-за несохранения электронного лептонного заряда

Le (в конечном состоянии Le =+1+1=+2).

Пример 4.4.4. Мюоны космических лучей образуются, в основном, в стратосфере Земли под действием первичного космического излучения. Оценить энергию, мюона, достигающего поверхности Земли, если он образовался на высоте H = 40 км. Потерями энергии мюона на ионизацию воздуха пренебречь.

Решение. Время жизни мюона в лабораторной системе отсчета можно записать в виде:

За время τ мюон успевает долететь до поверхности Земли, двигаясь со скоростью, близкой к скорости света:

225

Учитывая связь энергии движущегося мюона с энергией покоя, получаем

Пример 4.4.5. Определить, какие из самых тяжелых ядер и антиядер могут образоваться в реакции р+р при соударении

протона с энергией εp = 3 1012 эВ с неподвижным протоном и на

встречных пучках протонов, ускоренных до такой же энергии.

Решение. Определим сначала скорость центра масс системы

При рассмотрении столкновения частиц полезно использовать инвариантную величину

E2 − p2c2 = m02c4 = inv ,

где E и p – полная энергия и импульс системы (до столкновения), m0 – масса покоя образовавшейся частицы.

В рассматриваемом случае две частицы в системе центра масс (СЦМ) образуют (рождают) одну частицу с массой Mc2 = Eц.м , т.е.

(Mc2 )2 = Eц.м −02 = (E1 + m2c2 )2 − p12c2 =

=(E1 + m2c2 )2 − E12 −(m2c2 )2 ,

или

226

Eц.м = m12c4 +m22c4 +2m2c2 E1 .

Для соударения двух одинаковых протонов m1 = m2 = mp получаем

p + p →M +M + p + p и Eц.м = 2mpc2 (E +mpc2 ) .

Очевидно, что Eц.м ≥ 2Amp +2mp c4mp , откуда

(2m2pc4 +2mpc2E)≥4m2pc4 (A+1)2 ;

системы. Рассмотрим сначала величину этого инварианта в системе покоящегося протона, а потом в системе центра масс образовавшихся нейтрона и позитрона:

(εпор + mpc2 )2 − pν2c2 = (mnc2 + mec2 )2 −O2 или

227

Пример 4.4.7. Какой минимальной энергией должен обладать движущийся электрон, чтобы при его столкновении с другим покоящимся электроном образовалась электрон-позитроннная пара:

e− +e− → e− +e− +e− +e+ ?

Решение. Используем инвариантную величину

E2 − p2c2 =inv ,

где E и p – полная энергия и полный импульс системы.

Минимальная энергия движущегося электрона обеспечивает рождение электрон-позитронной пары, которая в системе центра масс покоится, т.е.

(Emin +mec2 )2 −(pe +0)2 =(4mec4 )2 −02;

электрона равна приблизительно 3 МэВ.

Пример 4.4.8. Найти наименьшее значение энергии γ-кванта, достаточное для осуществления реакции разложения дейтона

γ-лучами 12 D+hν →11H+10n .

Решение. Воспользуемся (как и в случае примера 4.4.4)

(εγ + M Dc2 )2 − pγ2c2 = (mp + mn )2 − 02 .

Пример 4.4.9. Показать, что конверсия высокоэнергетичного фотона в электрон-позитронную пару может происходить только в присутствии третьего тела.

Решение. Рассмотрим переход в системе покоя пары e+ e− . По

определению, суммарный импульс пары в этой системе равен нулю. Следовательно, фотон в этой системе должен иметь нулевой

228

распада. Оба процесса характеризуются временами распада τ1 и

τ2 . Напишите формулу для неопределенности массы этого

мезона.

Решение. Запишем отнесенную к единице времени вероятность распада частицы в момент времени t в дифференциальной форме

Отсюда определяем вероятность того, что к моменту времени t мезон еще существует:

P (t ) exp − τ1τ1+τ2τ2 t .

Таким образом, среднее время жизни мезона

τср = τ1τ1+τ2τ2 .

Согласно принципу неопределенностей Гейзенберга для

4.4.3. Задачи для самостоятельной работы

Задача 4.4.1. Протоны с кинетической энергией Т налетают на неподвижную водородную мишень. Определить пороговые значения Т для следующих реакций:

1)p + p → p + p + p + p ;

2)p + p → p + p +π0 .

(1– Tпор = 6mp = 5,6 ГэВ;2– Tпор = mπ (4m p + mπ )/ 2m p = 0, 28 ГэВ)

230