Калашников, Н.П. Руководство к решению задач по физике Основы квантовой физики. Строение вещества. Атомная и ядерная физика

• Комптоновская длина волны частицы:

При решении задач полезно иметь под рукой численные значения этого параметра:

для электрона λ(Ce) = 2,426 10−12 м;

для протона λ(Cp) =1,321 10−15 м.

• Использование комптоновской длины волны частицы значительно упрощает численные расчеты длины волны де Бройля в релятивистском случае, позволяя оперировать безразмерными отношениями сходных физических величин. Так, формула зависимости дебройлевской длины волны от скорости частицы может быть записана в виде

а зависимость (2.4.5) λ от кинетической энергии имеет вид

Поскольку в релятивистском случае скорость частицы выражается обычно в долях скорости света, а кинетическая энергия

вМэВ, то формулы (2.4.7) и (2.4.8) становятся очень удобными.

Внерелятивистском случае, впрочем, тоже часто удобно иметь отношения безразмерных величин. Так, формула (2.4.4) может быть записана в виде

2Ek / mc2

61

Энергии покоя: для электрона mec2 =0,511 МэВ, для протона mpc2 =938,27 МэВ.

•Соотношение неопределенностей Гейзенберга: для координат

ипроекций импульсов частицы:

где x, y, z — неопределенности координат частицы и px , py , pz — неопределенности проекций импульса частицы на соответствующую координатную ось; для энергии и времени:

где E — неопределенности энергии данного энергетического состояния, t — неопределенность во времени пребывания системы в этом состоянии.

2.4.2. Методические рекомендации по решению задач

Пример 2.4.1. Заряженная частица проходит ускоряющую разность потенциалов U =1 МВ. Определить длину волны де

Бройля, если эта частица: а) электрон, б) протон.

Решение. В обоих случаях кинетическая энергия частицы Ek =1 МэВ. Сравнивая ее с энергиями покоя, приведенными выше,

находим mec2 < Ek << mpc2 , т.е. движение протона может быть

описано классическими формулами, а к электрону надо применять релятивистские.

Поэтому для электрона имеем из уравнения (2.4.8) с учетом

Ek / mec2 =1/ 0,511=1,957:

Для протона Ek / mpc2 =1/ 938,27 =1,066 10−3 , и мы воспользуемся формулой (2.4.9):

62

Пример 2.4.2. Найти дебройлевскую длину волны тепловых нейтронов, соответствующую их среднеквадратичной скорости v

при комнатной температуре T =300 К.

Решение. Как известно из молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия частиц связана с температурой системы соотношением

mv2 2 = 32 kБT

где kБ — постоянная Больцмана:

kБ =1,381 10−23 Дж К−1 = 8, 617 10−5 эВ К−1

Заметим, что из приведенного численного значения постоянной

Поэтому при комнатной температуре мы заведомо можем применять нерелятивистские формулы. Находим тогда

В этой задаче разницей масс нейтрона и протона можно пренебречь: m ≈ m p . Получаем, подставляя численные значения,

63

Решение. Длина волны де Бройля летящей пули

Это расстояние не только на много порядков меньше калибра ствола (размера пули), но и вообще находится за пределами возможного для современных экспериментов. Поэтому волновые свойства пули никак не проявятся, и для описания ее движения следует применять законы классической механики.

Пример 2.4.4. Баллон наполнен гелием, находящемся при температуре T =300 К и нормальном давлении p =100 кПа 1)

Вычислить среднюю волну де Бройля атомов гелия и среднее расстояние между ними при данных условиях. 2) Можно ли рассматривать атомы гелия как корпускулы? 3) При какой температуре надо принимать во внимание волновые свойства атомов, если охлаждать баллон при постоянном объеме? Массу т

атома гелия принять равной четырем массам протона: m = 4mp .

Решение:

1. Средняя кинетическаяэнергия атомов гелия(одноатомный газ)

Среднее расстояние между атомами гелия определяется на основе уравнения Менделеева – Клапейрона: pV = NkБT . Отсюда находим сначала объем, приходящийся на один атом гелия:

64

v =V / N = k T / p , после чего вычисляем уже среднее расстояние

Б

l между атомами:

Подставляем численные значения:

2. Атомы гелия при заданных условиях могут рассматриваться как частицы, потому что среднее расстояние между ними намного больше длины волны де Бройля: l / λ ≈ 48 . Поэтому волновые эффекты (интерференция, дифракция и др.) не играют роли.

3. Волновые свойства атомов становятся важными, когда длина волны де Бройля имеет порядок расстояния между атомами. Поскольку мы охлаждаем замкнутый баллон, сохраняя то же число атомов в прежнем объеме, расстояние l между ними не изменится. Нам надо уменьшить температуру так, чтобы длина волны де Бройля возросла в 48 раз. Поскольку температура входит в (2.4.13) под знаком квадратного корня, ее надо уменьшить до значения

T = 300 / 482 = 0,73 К

На самом деле, так сильно охлаждать гелий не придется: гораздо раньше он перейдет в жидкое состояние, так что расстояние между молекулами резко уменьшится, и квантовые эффекты будут заметны при более высоких температурах. Но даже наша грубая оценка позволяет понять, что при низких температурах квантовые эффекты игнорировать будет нельзя. И другой вывод: они не важны при рассмотрении свойств обычных газов при обычных условиях.

Пример 2.4.5. На узкую щель шириной a =1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость v =3,65 Мм/с.

Учитывая волновые свойства электронов, определить ширину х центрального максимума в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на см от щели. Дать интерпретацию

65

уширения изображения щели с корпускулярной точки зрения, выведя соотношение неопределенностей из волновой картины.

Решение. Согласно гипотезе де Бройля, длина волны λ, соответствующая частице массой me , движущейся с нерелятивистской скоростью v выражается формулой

Ширину центрального максимума определяем как расстояние между минимумами первого порядка. Дифракционный минимум при дифракции на одной щели наблюдается при условии asin ϕ= kλ, так что для минимумов первого порядка asin ϕ = ±λ.

Так как угол дифракции ϕ заведомо мал, то sin ϕ ≈ ϕ и направления на минимумы равны ϕ± = ±λ / a . При расстоянии L до экрана раствор ϕ+ −ϕ− = 2ϕ+ между направлениями на

минимумы первого порядка создает между ними линейное расстояние

x = 2ϕ+L = 2Laλ = 4,0 10−5 = 40 мкм. (2.4.18)

С точки зрения корпускулярной теории электроны проходят через щель не отклоняясь, так что изображение щели должно иметь размер a. Однако в момент прохождения щели координата

электронов имеет неопределенность x = a (нельзя точно сказать, через какое именно место щели пролетел электрон). Это приведет к

плоскости экрана компонента скорости сместит электрон на

66

Пример 2.4.8. Согласно современным воззрениям, из ничего, а точнее – из физического вакуума, могут рождаться частицы (их называют виртуальными). Оценить время жизни виртуальной пары «электрон–позитрон». (Позитрон – частица с той же массой, что и электрон, но с положительным зарядом +e .)

Решение. Виртуальные частицы могут родиться из вакуума, если неопределенность энергии системы превышает массу покоя частиц. Соответственно большая неопределенность в энергии позволяет виртуальным частицам существовать лишь очень короткое время.

В данном случае неопределенность энергии должна превышать удвоенную массу покоя электрона: E ≥ 2mec2 , время жизни виртуальной электрон-позитронной пары равно тогда:

Пример 2.4.9. На лестнице стоит человек и с высоты Н роняет вниз шарики массой т. Предполагается, что он целится идеально точно. Используя принцип неопределенностей Гейзенберга, оценить средний разброс шариков около центра мишени.

Решение. Выберем ось OY вертикально вниз, ось ОХ – горизонтально, а начало отсчета в точке бросания. При свободном падении тела в поле силы тяжести

Смещение шарика вдоль горизонтально оси описывается соотношением

s =Δx =vxt ,

69