3. Математическая школа

Теория предельной полезности, разработанная австрийской школой, получила свое дальнейшее развитие в работах представителей математической школы – А. Курно, У. Джевонса, Л. Вальраса, В. Парето, Ф. Эджуорта, Л.В. Кантаровича, Е.Е. Слуцкого, М.И. Туган-Барановского и др.

Одним из первых, кто широко применял математический аппарат к анализу экономических явлений был английский логик, экономист и статистик Уильям Стэнли Джевонс 1835-1882). В 1862 г. он направил в Британскую ассоциацию развития науки доклад «Краткое сообщение об общей математической теории политической экономии». Там был сформулирован новый принцип об убывающей предельной полезности (которую Джевонс назвал последней степенью полезности). В это время У. Джевонс уже работал над своей фундаментальной книгой «Теория политической экономии» (1871), где были изложены основы новой теории. Несмотря на то, что данный труд увидел свет позже книги Г. Госсена, У. Джевонс не был знаком с ней. Это позволяет говорить о паритете двух ученых в создании новой концепции.

У. Джевонс широко использует психологические категории. Он вводит понятия положительной полезности, которая связана с потреблением благ, и отрицательной полезности, которая возникает в результате трудовых усилий по созданию благ. Труд прямо противоположен наслаждению, поэтому это полезность со знаком минус. Определенное количество труда может доставлять и наслаждение, но это бывает не всегда. Закон стоимости, по У. Джевонсу, состоит в уравновешивании отрицательного эффекта от тягот последней единицы приложенного труда с положительным эффектом последней единицы приносимого этим трудом блага.

Предельную полезность блага У. Джевонс описывает так: если и – предельная полезность блага, х – количество благ в запасе и и = f(x), то f(x) = d/dx – предельная полезность одного блага. Если в запас входят различные блага, то применяется аппарат частных производных: f(x) = df(x,y)/dx. Экономический смысл частных производных заключается в том, что предельная полезность оценивается как приращение общей функций полезности при малом изменении рассматриваемого блага. При этом функция полезности остается неопределенной, а предельные полезности всех единиц продукта, входящего в запас, оказываются равными. Поскольку функция должна быть непрерывной, постольку входящие в запас продукты должны быть бесконечно делимыми, а индивидуальное сознание человека должно уметь воспринимать эти бесконечно малые приращения. Однако единицы измерения полезности У. Джевонс не предлагает.

В «Теории политической экономии» У. Джевонс сформулировал закон обмена, согласно которому соотношение между обмениваемыми товарами равно обратному отношению их предельных полезностей. Обмен между товаропроизводителями будет продолжаться до тех пор, пока будет иметь место выигрыш по полезности, т.е. обмен у Джевонса взаимовыгоден, а не эквивалентен, как у классиков.

Среди прочих достижений У. Джевонса можно выделить концепцию индексов цен, изложенную в работе «Значительное падение ценности золота». Ученый впервые построил индекс цен, взвешенный по показателям базового года, за 50 лет. Большой интерес представляют его наблюдения, касающиеся влияния солнечной активности на деловую активность. По его мнению, солнечная активность влечет за собой повышение урожайности, а отсюда усиление экономической активности общества в целом. У. Джевонс выдвинул идею, согласно которой увеличение капитала равносильно продолжительности срока инвестирования. Производительность капитала – это функция времени.

Леон Мари Эспри Вальрас (1834-1910) – французский экономист, основатель лозанской школы, которая является ветвью математической школы. Математик по образованию, экономической теорией он увлекся благодаря работам А. Курно. Кроме того этот талантливый ученый был и журналистом, и писателем и директором банка. Известность пришла к Л. Вальрасу после выхода в свет его книги «Элементы чистой политической экономии» (1874), в которой впервые была предложена модель общего экономического равновесия на основе синтеза представлений о полезности, теории спроса и предложения и математических методов. Некоторые исследователи считают эту работу библией современной неоклассической экономической теории.

Л. Вальрас показывает взаимосвязь различных рынков в рамках экономической системы. Рынок, по его мнению, это аукционщик, объявляющий цены и оценивающий спрос и предложение до тех пор, пока не наступит равновесие. Он считает, что свободная рыночная экономика может достичь положения «общего равновесия», т.е. одновременного равновесия на всех рынках во всем хозяйстве. Состояние равновесия должно характеризоваться тремя условиями: «Это такое состояние, при котором: во-первых, действительно спрос и предложение производительных услуг (то есть факторов производства – труда, земли и капитала) равны и при котором существует постоянная устойчивая цена на рынке этих услуг; во-вторых, действительный спрос и предложение продуктов равны, и существует постоянная и устойчивая цена на рынке продуктов, и, наконец, продажная цена продуктов равна издержкам, выраженным в производительных услугах. Два первых условия относятся к равновесию обмена, третье – к равновесию производства»²².

Следует отметить, что Л. Вальрас связывал цены производительных услуг и потребительских товаров с предельными полезностями. Для облегчения изложения вопросы, связанные с предельными полезностями, мы рассматривать не будем, а воспользуемся упрощенной моделью Вальраса, предложенной шведским ученым Густавом Касселем (1866-1945).

Допустим, что цены на рынках потребительских товаров и на рынках факторов производства определяются в результате уравновешивания спроса и предложения. Приводным ремнем, соединяющим рынок факторов производства и рынок потребительских товаров, являются коэффициенты производства. Коэффициенты производства отражают долю каждого из факторов производства в издержках, образующих цену единицы товара.

При наличии r различных факторов производства и различных потребительских товаров пусть P₁, Р₂, …, Р_n – цены различных потребительских товаров, a q₁, q₂, …, q_r – цены факторов производства.

Пусть все коэффициенты производства обозначены через α с двумя индексами. Первый индекс указывает соответствующий товар, второй – производительное благо, затрачиваемое на изготовление единицы данного товара.

Получаем систему уравнений, определяющих цены потребительских товаров как сумму издержек производства:

На основании этих уравнений, если известны цены производительных благ q₁, q₂, …, q_r (коэффициенты производства известны – они определены уровнем развития технологии), можно определить цены продуктов. Зная последние, легко определить спрос на соответствующие продукты, поскольку он может рассматриваться как функция, где независимыми переменными выступают цены и товары. Таким образом, спрос зависит не только от цены конкретного товара, но и от всей структуры цен.

Рыночное равновесие предполагает равенство спроса и предложения. Обозначив предложение товаров через S₁, S₂, …, S_n, а спрос через D₁, D₂, …, D_n, получим п новых уравнений: …, .

На основании размеров предложения потребительских товаров и коэффициентов можно определить величину спроса на факторы производства. Для r факторов производства получаем систему из r уравнений:

Представленная совокупность систем уравнения достаточна для определения всех неизвестных, что дает математическое решение задачи.

Наряду с обоснованием возможности общего равновесия Л. Вальрас дал анализ устойчивости равновесия. Анализ устойчивости основан на предположении, что цены движутся к равновесию и что изменения цен прямо зависят от величины избыточного спроса. Условие устойчивости в том, что избыточный спрос на графике, предложенном Л. Вальрасом, в точке равновесия равен нулю; избыточный же спрос всегда ведет к росту цены, и наоборот.

Проблема детерминированности равновесия решается Л. Вальрасом при помощи теории «нащупывания». При этом ставится задача доказать, что относительные цены, возникающие в процессе свободной конкуренции, равны корням вальра-совой системы уравнений, где неизвестными являются равновесные цены и обмениваемые количества. По его мнению, рынок приходит к требуемому результату путем проб и ошибок. Однако Л. Вальрас исключает из теории обмена неравновесные сделки («неверные цены»), полагая, что торговля по ним «приостанавливается» до тех пор, пока не будет найдена новая цена равновесия. Его критик Ф. Эджуорт²³ предложил взамен более сбалансированную концепцию «перезаключения контрактов», хотя следует признать, что данная проблема остается нерешенной до конца и по сей день.

Модель Вальраса – идеальная модель. С ее помощью Л. Вальрас поставил проблему общего равновесия экономики как единой системы, в которой отдельные элементы связаны через разделение труда и обмена. Модель Вальраса – это модель экономической статистики. Она не знает времени, неуверенности, нововведений, экономического роста и циклических колебаний, неполной занятости. И хотя эта модель не имеет практического применения, она послужила основанием для развития целого направления в экономической теории, в рамках которого исследуются устойчивое глобальное динамическое равновесие, типы и факторы экономического роста.

Вильфредо Парето (1848-1923) – итальянский экономист и социолог, преемник Л. Вальраса на кафедре политической экономии Лозанского университета. Основные научные труды В. Парето – «Курс политической экономии» (1898), «Учение политэкономии» (1906) и «Трактат по общей социологии» (1916).

В. Парето достаточно решительно отходит от традиционной практики исследований: он отходит от понятия ценности и полезности; объявляет ненаучным поиск причинно-следственных связей между экономическими явлениями и вы ступает исключительно за функциональный анализ; он считает, что политическая экономия должна изучать механизм, устанавливающий равновесие между потребностями людей и ограниченными ресурсами. И для этого необходимо применение математических методов анализа.

В. Парето обосновал неправомерность определения совокупной полезности как суммы индивидуальных полезностей. Полезность может быть измерена путем сопоставления значимости потребительских благ, путем оценки степени их приоритетности для покупателя. При выборе вариантов покупатель не измеряет величины полезностей, а сопоставляет их. Таким образом, Парето переходит от анализа кардинальной (абсолютной) полезности к анализу ординальной (относительной) полезности. С этой его идеи начался переход к категории потребительского предпочтения. В качестве инструмента измерения предпочтений потребителя В. Парето использовал кривые безразличия, предложенные ранее Ф. Эджуортом. На рисунке 1 х и у – это количества двух взаимозаменяемых товаров. Кривая, которая объединит равнозначные для индивида комбинации (х, у) называется кривой безразличия. Прямая, соединяющая крайние точки (только х – только у), называется бюджетной линией (соотношения двух товаров выражены в ценах). Можно построить целый набор таких кривых, которые описывают разные уровни благосостояния. Каждой кривой присваивается определенный ранг, числовое значение безразлично, главное, что кривая, описывающая более высокий уровень благосостояния, имеет больший ранг.

Рис. 1

Кривая безразличия позволяет прийти к выводу, что, исходя из бюджетных возможностей, потребитель отдаст предпочтение варианту, соответствующему точке касания кривой безразличия с бюджетной линией. DD – это и будет граница равновесия потребителя, т.к. более высокие кривые (например, J₁) при данной системе цен вообще недостижимы, а любая другая точка бюджетной границы DD менее оптимальна, чем точка Р. Спрос в точке Р на товар у равен а, а на товар х – величине b.

Подобные изменения количественных характеристик были произведены при анализе издержек производства. Это позволило, по мнению Парето, объективизировать анализ, освободив его от каких-либо межличностных сравнений.

В. Парето пришел к выводу, что общее равновесие достижимо при условиях, когда взвешенные (по ценам) предпочтения равны для всех товаров; для каждого субъекта сумма его доходов равна сумме расходов; количества всех благ до установления равновесия и после этого равны; цены готовых товаров равны издержкам производства; запас производительных благ есть величина данная и используется полностью.

Отказавшись от межличностных сравнений полезности и применяя данную концепцию равновесия, в частности, к теории благосостояния, В. Парето пришел к выводу, что единственными изменениями, которые могут оцениваться, являются те, которые делают всем либо лучше, либо хуже, или те, которые делают лучше хотя бы одному человеку, не делая хуже кому-либо другому. Улучшение благосостояния за счет дру гого не может оцениваться в количественных единицах полезности.

Исследуя проблему устойчивости равновесия В. Парето сформулировал понятие оптимума («оптимум Парето»). Равновесное состояние – это состояние, при котором невозможно улучшить положение кого-либо из участников обмена без того, чтобы не ухудшить положение хотя бы одного из остальных. Когда экономика достигает оптимума по Парето, дальнейшее улучшение каких-либо важных показателей возможно только посредством глубокого структурного сдвига.

Каковы тенденции таких структурных сдвигов в экономике? На этот вопрос отвечает «закон Парето» об изменении распределения дохода. Суть закона заключается в том, что неравенство в распределении доходов может быть уменьшено в том случае, если доходы и производство будут возрастать быстрее роста численности населения.