1. Описание усовершенствованного вычислительного алгоритма

Рассматривается однопролетная, загруженная равномерно распределенной по длине нагрузкой интенсивностью q железобетонная балка таврового поперечного сечения, которая армирована продольной стержневой арматурой вблизи нижней и верхней поверхностей ребра и поперечными хомутами, которые в приопорной зоне установлены с постоянным шагом s (рис. 1). Там же имеются отгибы продольной арматуры, расположение которых в приопорной зоне задано. Размеры балки, диаметры продольных стержней и хомутов, углы наклона отгибов к продольной оси балки считаются детерминированными. Случайными являются прочностные характеристики бетона, продольной и поперечной арматуры и действующие нагрузки, которые описываются нормальными законами распределения с заданными средними значениями mR_b, mR_s, mQ_fmax и коэффициентами вариации _b , _s , _f.

Рис. 1. Армирование приопорных зон железобетонной балки

При выполнении вероятностных расчетов надежности балки по наклонным сечениям расположение любых сечений, по которым определяется вероятность возникновения предельных состояний, выполняется набором пучков прямых линий, вершины которых находятся на переменном расстоянии с от опорного сечения балки в точках, расположенных на уровне низа сжатой зоны бетона (рис. 2). Углы наклона каждого из рассматриваемых наклонных сечений задаются переменной ψ, представляющей собой угол, отсчитываемый от вертикали. При произвольном варьировании двумя независимыми переменным с и ψ задается любое наклонное сечение в приопорной зоне балки.

Рис. 2. Моделирование наклонных сечений железобетонной балки

Условие прочности железобетонной балки по наклонным сечениям имеет вид [9-10,13]:

, (1)

где ‑ максимальная расчетная поперечная сила в вершине наклонного сечения, которая определяется по эпюре поперечных сил и при эксплуатации балки не должна превысить предельную поперечную силу Статистические характеристики (математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение) поперечной силы для вероятностных расчетов определяются по нормативным значениям коэффициентов надежности по нагрузке. Формулы для расчетов подробно описаны нами в [9];

‑ поперечная сила, воспринимаемая бетоном сжатой зоны над наклонным сечением и зависящая от расстояния С его вершины от опоры. Она вычисляется по формуле [7, 8]:

, (2)

в которой введены следующие обозначения: С – расстояние вершины наклонных сечений от опоры; к – коэффициент, зависящий от марки бетона и формы поперечного сечения. Для балок с тавровым поперечным сечением к=2,2;

‑ сумма осевых усилий в поперечной арматуре (хомутах), пересекаемых наклонным сечением, которая зависит от углов наклона сечений и вычисляется в зависимости от числа хомутов , пересекаемых наклонным сечением, по формуле [8]:

, (3)

где Сψ – проекция наклонного сечения под углом ψ с вершиной на расстоянии С от опоры на продольную ось балки; s – шаг хомутов;

‑ сумма проекций на нормаль к продольной оси балки осевых усилий во всех отгибах , пересекаемых наклонным сечением, которая вычисляется по формуле:

. (4)

В приведенных формулах (1) – (4) прочностные характеристики бетона и арматуры представлены принятыми в действующих нормативных документах [1-2] обозначениями для расчетных сопротивлений: R_bt – бетона на растяжение, R_sw - поперечной арматуры, R_s - продольной арматуры. Для проведения вероятностных расчетов в соответствии с этими расчетными параметрами и нормативными значениями коэффициентов надежности по материалу определяются средние значения и среднеквадратические отклонения. Формулы для расчетов подробно описаны нами в [9].

Сопоставление резервов прочности в пучке наклонных сечений с разным углом наклона ψ для выбранного расстояния от опоры С дает возможность выбрать сечение с наиболее низкой прочностью:

. (5)

Вероятность отказа вычисляется с помощью функции Лапласа из предположения, что полный резерв прочности подчиняется нормальному закону распределения, из выражения:

(6)

где β – характеристика безопасности, равная отношению математического ожидания к стандарту резерва прочности.

Для удобства представления численных результатов использован логарифмический показатель надежности, который вычислялся из выражения:

(7)