2. Математические основы принятия решений при управлении рисками

На этапе обработки рисков основной задачей является выбор мер и средств контроля и управления из множества имеющихся альтернатив. Для решения данной задачи целесообразно использовать элементы теории принятия ре­шений.

Теория принятия решений – это область исследования, вовлекающая понятия и методы математики, статистики, экономики, менеджмента и пси­хологии с целью изучения закономерностей выбора путей решения разного рода задач, а также способов поиска наиболее выгодных из возможных ре­шений (Википедия).

2.1. Основные понятия и обобщенная классификация задач принятия решений

Постановка задачи принятия решений

Пусть имеется множество X, состоящее из элементов x, называемых альтернативами. Требуется выделить из множества альтернатив X некоторое подмножество или одну лучшую альтернативу либо проранжировать (упорядочить) альтернативы. Выделение или ранжирование альтернатив проводится на основе представления об их качестве некоего субъекта, харак­теризующего принцип оптимальности (opt) [68].

Указанные элементы – множество альтернатив и принцип оптимальности – позволяют сформулировать следующие определения. Задачей принятия решений назовем пару , решением задачи – альтернативу , подмножество либо ранжировку альтернатив, полученных c помощью принципа оптимальности opt.

Задачи принятия решений в зависимости от имеющейся информации о множестве X и принципе оптимальности opt классифицируют следующим образом:

• общая задача принятия решений: X и opt не известны;

• задача выбора: X известно, opt не известен;

• задача оптимизации или задача упорядочения альтернатив: X и opt известны.

Задача выбора, задача оптимизации и задача упорядочения альтернатив являются частными случаями общей задачи принятия решений, в которой требуется сформировать как исходное множество альтернатив, так и принцип оптимальности.

В задаче оптимизации предполагаются известными множество альтерна­тив и принцип оптимальности, позволяющий выбрать лучшую альтернативу или подмножество лучших альтернатив . Часто принцип оптималь­ности выражается в виде целевой функции (функции качества, эффективности, выигрыша или потерь) F(x), зависящей от х. В этом случае требуется найти или подмножество , на которых функция F(x) достигает экстре­мального значения – максимума или минимума – в соответствии со смыс­лом решаемой задачи.

Иногда целевая функция F(x) не задана в явном виде. Тогда предполагает­ся, что существует субъект принятия решений (индивидуум или группа), име­ющий представление о значениях целевой функции F(x) в зависимости от х.

В задаче упорядочения альтернатив предполагаются известными мно­жество альтернатив и принцип оптимальности, отражающий сравнительное качество альтернатив. На основе принципа оптимальности все альтернати­вы ранжируются в порядке ухудшения или улучшения их качества.

В задаче выбора предполагаются известными множество альтернатив и неизвестным принцип оптимальности. Требуется сформировать принцип оптимальности.

Пусть при решении задачи альтернативы обладают m свойствами (характеристиками) . Пусть свойство выражается числом , т.е. существует отображение : или Тогда та­кое свойство назовем локальным критерием, а число – оценкой аль­тернативы х по локальному критерию .

Поставим в соответствие локальному критерию i-ю ось в пространстве . Отобразим множество X в пространство сопоставив каж­дой альтернативе точку , где – оценка альтернативы х по локальному критерию .

Критериальным пространством назовем пространство , координа­ты точек которого рассматриваются как оценки по соответствующим ло­кальным критериям. Отображение множества X в критериальное прос­транство Z порождает в этом пространстве подмножество Z_X, являющееся образом множества X: .

На рис. 2.1 и 2.2 приведены примеры отображения множества X в мно­жество решений в критериальном пространстве Z. Для случая, когда мно­жество X дискретное, т.е. X в этом случае состоит из п альтернатив , множество решений также дискретное (рис. 4). Если множество X — компакт, то множество решений может быть непрерыв­ным множеством (рис. 5).

Процесс решения задачи можно разделить на два этапа:

1) формирование исходного множества альтернатив X (ИМЛ);

2) решение задачи выбора.

Исходное множество альтернатив X формируют из условий возможнос­ти и допустимости альтернатив. Задачу формирования ИМЛ можно фор­мально рассматривать как задачу выбора; из универсального множества аль­тернатив X выбирают X по некоторому принципу оптимальности opt₁.

Рис. 2.1. Отображение дискретного множества X

в критериальное пространство Z

Рис. 2.2. Отображение компакта Х в критериальное пространство Z

Процесс решения задачи предполагает участие в нем людей с раз-личными функциями, возможностями и ответственностью. Выделим следующие субъекты процесса: лицо, принимающее решения; эксперты, консультанты [68].

Лицом, принимающим решения (ЛПР), называют специалиста, имеюще­го цель, которая служит мотивом постановки задачи и поиска ее решения. Предполагается, что ЛПР является компетентным в области, связанной с задачей, обладает необходимым опытом деятельности, наделено необходи­мыми полномочиями и несет ответственность за принятое решение. В за­даче принятия решений основная функция ЛПР состоит в выделении аль­тернативы или подмножества X*.

Во многих процедурах принятия решений ЛПР дает информацию о принципе оптимальности. Именно с учетом предпочтений ЛПР решается задача, и оно определяет, хорошо или плохо решена задача принятия реше­ний.

ЛПР имеет цель, которая служит мотивом постановки задачи и ее реше­ния, имеет полномочия и ответственность, систему предпочтений о преиму­ществах и недостатках альтернатив.

В определенных ситуациях в качестве ЛПР может выступать группа лю­дей, образуя коллективное ЛПР.

Эксперт имеет информацию об отдельных элементах задачи, но не не­сет непосредственной ответственности за результат ее решения. Эксперт помогает ЛПР сформировать универсальное множество альтернатив , исходное множество альтернатив X, оценить альтернативы х по локальным критериям предлагает варианты выбора решений.

Консультант (аналитик, специалист по системному анализу) разрабаты­вает модель задачи или проблемы, процедуры решения, организует работу ЛПР и экспертов.

В некоторых случаях задачу решает непосредственно ЛПР, объ­единяя функции экспертов и консультантов.

Существенным элементом задач принятия решений является то, что ка­чество процесса принятия решений находится в прямой зависимости от полноты учета всех факторов, существенных для последствий от принятых решений. Часто эти факторы носят чисто субъективный характер, прису­щий как ЛПР, так и любому процессу принятия решений. В этих условиях элементы субъективности заметно сказываются на решении.

Принятие решений часто осуществляется в условиях неопределеннос­ти, т. е. ЛПР обладает меньшим количеством информации, чем это необхо­димо для целесообразной организации его действий в процессе принятия решении. Частичное или полное снятие неопределенности может быть достигнуто за счет имеющейся либо дополнительно получаемой информа­ции.

Неопределенность в принятии решений обычно обусловлена недостаточ­ными надежностью и количеством информации, на основе которой ЛПР осуществляет выбор решения. Существуют различные виды неопределен­ности. В общем случае можно выделить следующие часто встречающиеся виды:

1. принципиальная неопределенность, например, в известных ситуациях квантовой механики;

2. неопределенность, генерированная общим числом объектов или эле­ментов, включенных в процесс принятия решений, например при числе аль­тернатив больше ;

3. неопределенность, вызванная недостатком информации и се достовер­ности в силу технических, социальных и иных причин;

4) неопределенность, обусловленная слишком высокой или недоступной платой за получение информации и переходом к определенности;

5) неопределенность, порожденная ЛПР из-за недостатка его опыта и знании факторов, влияющих на принятие решений;

6) неопределенность, связанная с ограничениями в ситуации принятия решений (ограничения но времени и элементам пространства параметров, характеризующих факторы принятия решений);

7) неопределенность, вызванная поведением среды или противника, влияющего на процесс принятия решения.

Таким образом, и процессах принятия решений и задачах, с ними свя­занных, имеется ряд ситуаций с той пли иной степенью неопределенности, требующих для своего описания в целях получения решения такого матема­тического аппарата, который предусматривал бы возможность появления неопределенности.

К такому аппарату относится теория вероятностей, в соответствии с ко­торой неопределенность ситуации описывается некоторой мерой, характе­ризующей возможность появления заданных случайных исходов (элемен­тов или подмножеств некоторого множества).

Кроме того, неопределенными ситуациями занимаются теория игр, в которой неопределенность порождается конфликтом и антагонистическими интересами игроков, связанных между собой определенными правилами ве­дения игры, и теория статистических решений (игр), в которой в качестве одного на игроков выбирается пассивная среда или «природа», поведение которой характеризуется известными, частично известными и неизвестны­ми законами распределения вероятностей. Теорию игр и теорию статисти­ческих решений можно считать крайними случаями различных степеней градации неопределенности или случаями разной априорной информиро­ванности.

Еще одним эффективным инструментарием дня описания неопределен­ностей принятия решений является теория нечетких множеств.

Задача выбора – одна из главных в теории принятия решений. В центре теории принятия решений стоит субъект выбора – человек, лицо, принима­ющее решения. Одно из существенных допущений теории принятия реше­ний состоит в том, что человек делает рациональный выбор. Такой выбор основан на гипотезе, что решение человека является результатом упорядо­ченного процесса анализа. Для определения понятия рационального выбора и рационального человека – субъекта принятия решений – используется ряд предположений о поведении человека, которые называются аксиомами рационального поведения.

При условии, что эти аксиомы справедливы, доказывается теорема о су­ществовании некоторой функции, описывающей выбор человека, – функ­ции полезности. Полезностью называют величину, которую в процессе вы­бора максимизирует человек с рациональным поведением.