2. Неопределенный интеграл.

Определение 2. Если функция – первообразная для функции на промежутке Х, то множество функций , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом

При этом функция называется подынтегральной функцией, dx – подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования.

Символ обозначает, таким образом,

совокупность всех первообразных для функции . Но иногда будем понимать его как любой элемент из этой совокупности, т.е. как какую-то из первообразных.

Восстановление функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Примеры.

1. так как

2. так как

3. так как

2.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства.

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного

интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

Неопределенный интеграл от дифференциала

некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной

постоянной, т. е.

Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла, т. е. если то

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т. е.

2.3. Таблица основных интегралов

Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных.

Справедливость остальных формул легко проверить дифференцированием.

I. VIII.

II. IX .

III. X.

IV. XI. .

V. XII.

VI. XIII.

VII. XIV.

И нтегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

2.4. Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема 2. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве Х функция имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

(2.1)

Формула (2.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Положим ; тогда . Отсюда . По формуле (2.1)

Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем

З а м е ч а н и е. При замене переменной в неопределенном интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от х.

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Положим тогда

так что

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Положим откуда Таким образом, так что

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Положим Тогда

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение. Положим тогда

При аналогично получим

3. Метод интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема 3. Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция также имеет первообразную и справедлива формула

(2.2)

Формула (2.2) называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Так как то ее можно записать в виде

Эта формула позволяет свести вычисление к вычислению интеграла который может оказаться более простым.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Таким образом, интеграл вычислен двукратным интегрированием по частям.