2. Ряды с неотрицательными членами

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных усло­вий сходимости рядов с неотрицательными членами. Предвари­тельно сформулируем теорему, которая будет использована в последую­щих рассуждениях.

Теорема 5. Для того чтобы ряд с неотрицатель­ными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последо­вательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Достаточные условия сходимости ряда. Установим ряд призна­ков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

Теорема 6 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Пример 1. Ряд сходится, так как сходится

ряд из членов геометрической прогрессии: ,

а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда

сходящейся геометрической прогрессии:

Пример 2. Ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда а гармонический ряд расходится.

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосред­ственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Рассмотрим два из них.

Теорема 7 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при ряд сходится; б) при ряд расходится.

З а м е ч а н и е. При , как показывают примеры, ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример 3. Ряд сходится, так как

Пример 4. Ряд расходится, так как

Пример 5. Рассмотрим ряд . Имеем Согласно признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако, как было показано ранее (см. пример 2), этот ряд расходится.

Теорема 8 (признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при ряд сходится; б) при ряд расходится.

Пример 6. Рассмотрим ряд . Имеем и Согласно признаку Коши этот ряд сходится.

Теорема 9 (интегральный признак). Пусть дан ряд

члены которого являются значениями некоторой функции

, положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда, если сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то ряд также расходится.

Пример 7. Рассмотрим ряд

( ).

С помощью интегрального признака выясним поведение данного ряда при . Возьмем в качестве функции функцию которая удовлетворяет условиям теоремы 8. Члены ряда равны значениям этой функции при . Как известно, несобственный интеграл при сходится, а при расходится. Следовательно, данный ряд сходится при и расходится при .

Заметим, что при такие ряды также расходятся, так как их общий член не стремится к нулю при , т. е. наруша­ется необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 4).

В частности, при имеем сходящийся ряд ;

при  расходящийся гармонический ряд ; при pacходящийся ряд и т.д.