3. Определенный интеграл
3.1. Определение определенного интеграла
Пусть функция
определена на отрезке
Разобьем этот отрезок на n
произвольных
частей точками:
Обозначим это
разбиение через
а точки
будем называть точками разбиения. В
каждом из полученных частичных отрезков
выберем произвольную точку
Через
обозначим разность
которую условимся называть длиной
частичного отрезка
Образуем сумму:
(3.1)
которую назовем
интегральной
суммой для
функции
на
соответствующей данному разбиению
на частичные отрезки и данному выбору
промежуточных точек
Геометрический смысл суммы
очевиден: это сумма площадей прямоугольников
с основаниями
и высотами
если
(рис.4). Обозначим через
длину наибольшего частичного отрезка
разбиения
:
.
Определение.
Если
существует конечный предел I интегральной
суммы (3.1)
при
,
то этот предел называется определенным
интегралом от функции
по отрезку
и обозначается следующим образом:
(3.2)
или
Рис. 4
В этом случае
функция
называется интегрируемой
на отрезке
.
Числа a
и b
называются соответственно нижним
и верхним пределами интегрирования,
- подынтегральной функцией,
х – переменной
интегрирования.
Сделаем ряд
пояснений, так как имеет место не совсем
обычный предельный переход. В самом
деле, интегральная сумма зависит от
точек разбиения
и промежуточных точек
Число тех и
других точек стремится к бесконечности
при
Поэтому само понятие предела интегральной
суммы требует уточнения. Сначала дадим
соответствующее определение на «языке
последовательностей». Пусть отрезок
последовательно разбивается на части
сначала одним способом, затем – вторым,
третьим и т. д., причем длина
наибольшего частичного отрезка k-го
разбиения стремится к нулю, когда k
стремится
к бесконечности.
В каждом разбиении
выберем произвольно промежуточные
точки
.
Таким образом, получаем последовательность
разбиений
у которой
и можно дать определение определенного
интеграла на «языке последовательностей»:
функция
называется интегрируемой на
если для любой последовательности
разбиений
,
у которой
соответствующая последовательность
интегральных сумм
стремится
к одному и тому же числу I.
Можно дать
определение определенного интеграла
и «на языке
»:
число I
называется определенным интегралом от
функции
по отрезку
если для любого
существует
такое, что при
(т.
е. если отрезок разбит на части с длинами
независимо от выбора точек
выполняется
неравенство
Доказательство эквивалентности обоих определений можно провести аналогично доказательству эквивалентности двух определений предела функции. Определение «на языке последовательностей» дает возможность перенести основные понятия теории пределов и на этот вид предела.
Из определения
определенного интеграла следует, что
величина интеграла (3.2) зависит только
от вида функций
и от чисел a
и b.
Следовательно, если заданы
и пределы интегрирования, то интеграл
(3.2) определяется однозначно и представляет
собой некоторое число. Отсюда, в частности,
следует, что определенный интеграл не
зависит от выбора обозначения для
аргумента подынтегральной функции, т.
е. от обозначения переменной интегрирования:
и т. д.
Теорема
(необходимое
условие интегрируемости функции).
Если функция
интегрируема на отрезке
то она
ограничена на этом отрезке.
З а м е ч а н и е. Обратная теорема неверна. Примером этому служит функция Дирихле, которая ограничена, но не интегрируема.