8. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула

(3.8)

Формула (3.8) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 1. Вычислить

Решение. Положим , ; отсюда и по формуле (3.8) находим .

Пример 2. Вычислить

Решение. Положим отсюда и по формуле (3.8) имеем

Пример 3. Вычислить

Решение. Положим , ; отсюда и по формуле (3.8) находим

8. Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла

1. Площадь криволинейной трапеции. Пусть на плоскости Oxy дана фигура, ограниченная отрезком оси Ох, прямыми , и графиком непрерывной и неотрицательной функции на . Это криволинейная трапеция, площадь s которой может быть вычислена по формуле

(3.9)

Итак, определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции по численно равен площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху графиком функции . В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции прямой и осью Ох.

Решение. По формуле (3.9) имеем

Если , то s  1/2; если то s  1/3, и т. д.

Пусть фигура ограничена снизу и сверху графиками функций и (рис. 7), где две непрерывные функции. Если обе функции неотрицательны, то площадь s данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графиками функций

Следовательно,

(3.10)

Заметим, что формула (3.10) справедлива и тогда, когда и не являются неотрицательными.

Рис. 7

Рис. 8

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

графиками функций и (рис. 8).

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой . Решая систему уравнений получаем Это и есть пределы интегрирования. Искомая площадь фигуры согласно формуле (3.10) такова:

З а м е ч а н и е. Для вычисления площади криволинейной трапеции в случае, когда верхняя граница задана параметрически уравнениями причем , , в формуле (3.9) надо сделать замену переменной, положив . Тогда получим

.

Рис. 9 Рис. 10

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение. Эллипс симметричен относительно осей координат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, находящейся в I четверти (рис. 9). Следовательно, искомая площадь равна

В частности, если , то получаем известную формулу площади круга

2. Площадь криволинейного сектора. Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением причем функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы и будем называть криволинейным сектором (рис. 10). Площадь криволинейного сектора находится по формуле

. (3.11)

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда: где а – положительное число (рис. 11).

Решение. При изменении от 0 до полярный радиус описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС. Поэтому по формуле (3.11) имеем

Расстояние от точки С до полюса равно . Поэтому круг радиуса ОС имеет площадь т. е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел Архимед.

Рис. 11 Рис. 12

3. Длина дуги кривой. Пусть плоская кривая AB задана уравнением , где – непрерывная функция на отрезке . Разобьем кривую АВ на n произвольных частей точками в направлении от А к В. Соединив соседние точки хордами, получим некоторую вписанную в кривую АВ ломаную, длину которой обозначим через Р (рис. 12). Через обозначим длину одного звена ломаной, а через длину наибольшего из звеньев:

Определение. Число L называется пределом длин ломаных P при если для любого существует такое, что для всякой ломаной, у которой , выполняется неравенство

Если существует предел L длин P вписанных в кривую ломаных при то этот предел называется длиной дуги АВ.

Если функция непрерывна вместе с на отрезке , то длина дуги АВ выражается формулой

(3.12)

Рис. 13 Рис. 14

Пример 5. Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической параболы если (рис. 13).

Решение. Из уравнения находим: Следовательно, по формуле (3.12) получим

З а м е ч а н и е 1. Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана параметрически уравнениями , где и значения параметра t, соответствующие значениям , , т.е. в формуле надо сделать замену переменной, положив Тогда получим

(3.13)

Пример 6. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды: (рис. 14).

Решение. Из уравнений циклоиды находим: Когда х пробегает отрезок параметр t пробегает отрезок Следовательно, искомая длина дуги равна

З а м е ч а н и е 2. Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана в полярных координатах уравнением где имеет непрерывную производную на отрезке , и точкам A и B соответствуют значения , равные и , нужно перейти от полярных координат к прямоугольным. Тогда получим параметрическое задание кривой AB уравнениями . Так как то формула (3.13) принимает вид

(3.14)

Пример 7. Вычислить длину первого витка спирали Архимеда: (см. рис. 11).

Решение. Первый виток спирали образуется при изменении полярного угла от 0 до . Поэтому по формуле (3.14) искомая длина дуги равна

4. Объем тела вращения. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , (рис. 15) имеет объем

(3.15)

Рис. 15 Рис. 16

Пример 8. Вычислить объем тора. Тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга . Форму тора имеет, например, баранка.

Решение. Пусть круг вращается оси Ох (рис. 16). Объем тора можно представить как разность объемов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ох.

Уравнение окружности LBCD имеет вид причем уравнение кривой BCD а уравнение кривой BLD

Используя формулу (3.15), получаем для объема тора выражение

5. Площадь поверхности вращения. Пусть функция неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке . Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ох, имеет площадь Р, которая может быть вычислена по формуле

(3.16)

З а м е ч а н и е. Если поверхность получается вращением вокруг оси Ох кривой АВ, заданной параметрически уравнениями причем изменяется от a до b при изменении t от до , то производя в интеграле (3.16) замену переменной получаем

(3.17)

Наконец, если кривая задана уравнением в полярных координатах: где имеет непрерывную производную на , то этот случай, как уже отмечалось в п. 3, сводится к параметрическому заданию кривой и формула (3.17) принимает вид

Пример 9. Вычислить площадь P поверхности шарового пояса, образованного вращением полуокружности вокруг оси Ох.

Решение. По формуле (3.16) получаем

где h – высота пояса.

Пример 10. Вычислить площадь поверхности, полученной вращением одной арки циклоиды вокруг оси Ох.

Решение. По формуле (3.17) имеем

6 . Работа переменной силы. Из рассмотренных выше задач, связанных с геометрическим приложением определенного интеграла, следует, что для их решения применяется один и тот же вычислительный метод: приближенное значение искомой величины представляется в виде интегральной суммы, а затем предельным переходом получается точное значение в виде интеграла. С помощью этого же метода решается целый ряд других задач механики, физики и техники. В качестве примера вычислим работу переменной силы.

Рис. 17 Рис. 18

Пусть материальная точка перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину, зависящую от х. Требуется определить работу A, совершаемую силой F по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из точки в точку ( ). Функция предполагается непрерывной на отрезке (рис. 17).

Разобьем произвольно отрезок на n частей точками Выберем на каждом частичном отрезке точку . Сила, действующая на материальную точку на отрезке , изменяется от точки к точке. Но если длина отрезка мала, то значение силы в точках отрезка мало отличается от ее значения в любой точке , так как непрерывна. Поэтому работу , совершаемую силой F на можно считать приближенно равной работе, совершаемой на том же отрезке постоянной силой , т. е.

Проводя аналогичные рассуждения для каждого отрезка разбиения, получаем приближенное значение работы A силы F на всем отрезке:

С другой стороны, сумма в правой части равенства является интегральной суммой для функции . Так как функция непрерывна на то предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу от функции по отрезку Таким образом,

(3.18)

Пример 11. Определить работу A, необходимую для запуска тела массой m с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h (рис. 18).

Решение. Обозначим через F силу притяжения тела Землей. Пусть - масса Земли. Согласно закону Ньютона где х - расстояние от тела до центра Земли. Полагая получаем где R – радиус Земли. При сила равна весу тела , т.е. откуда и Таким образом, по формуле (3.18) получаем