Упражнения

1. Решить задачу из примера

,

для разных чисел конечных элементов (n=26 и более). Показать сходимость решения, исследуя поведение функционала, аппроксимации и граничного значения (2).

2. Решить ту же задачу, используя квадратичные элементы Лагранжа. Показать сходимость решения, исследуя поведение функционала, аппроксимации и граничного значения (2) для разного количества конечных элементов (начать с n=2). Провести также анализ сходимости решения в аспекте сравнения задач с одинаковым полным числом узлов, но с разными типами конечных элементов.

3. Решить методом конечных элементов уравнение

а) на отрезке 1x2 с краевыми условиями ;

б) на отрезке 1x2 с краевыми условиями ;

в) на отрезке 1x2 с краевыми условиями ;

г) на отрезке 0,5x2,5 с краевыми условиями ;

д) на отрезке 1x2,5 с краевыми условиями ;

е) на отрезке 0,6x3,2 с краевыми условиями .

4. Решить методом конечных элементов краевые задачи из упр. №2 раздела 5 «Метод конечных разностей». Использовать линейные элементы Лагранжа. Сравнить с точным решением. Построить графики. Провести анализ сходимости аппроксимации.

5. Решить ту же задачу, но с использованием квадратичных и кубических элементов.

6. Сравнить вычисления по МКЭ для случаев одинаковых и неодинаковых размеров конечных элементов. В последнем случае длины элементов выбираются в зависимости от характера поведения решения.

7. С помощью МКЭ найти решение краевой задачи, не имеющей аналитического решения. Условия задач взять из упр. №3 раздела 7 «Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ритца». Показать сходимость аппроксимаций.

8. Преобразовать дифференциальное уравнение 2-го порядка

к виду (9.6), допускающему применение процедуры Ритца, путем умножения обеих частей на некоторый множитель (x) (см. раздел 7), после чего выполнить конечно-элементные вычисления для данной граничной задачи.

Вариант 1. ; .

Вариант 2. ; .

Вариант 3. ; .

Вариант 4. ;

.

Вариант 5. ;

.

9. Вывести базисные функции для эрмитовых конечных эле­ментов. Решить задачу из № 4, используя эрмитовы элементы.

Указание. Эрмитовы конечные элементы характеризуются тем, что обеспечивают непрерывность не только самой функции, но и ее производной (производных) на границах элементов. Чтобы получить простейшую систему таких функций, следует, используя представление

,

составить и решить систему уравнений

,

относительно коэффициентов C₁, C₂, C₃, C₄. Затем выражение для функции ^е необходимо привести к виду , откуда и выводятся искомые функции.

10*. Найти решение методом конечных элементов задачи из № 4, проведя дискретизацию уравнения методом наименьших квадратов.

Указание. Для исключения бесконечностей в подынтегральных выражениях следует использовать функции формы гладкости С¹. Однако, если переформулировать задачу в виде системы дифференциальных уравнений, можно обойтись и обычными C⁰-гладкими функциями, но ценой увеличения неизвестных.

11*. Решить задачу одномерной теплопроводности

; , ,

где а) k=1, Q=1 при 0x1/2 и Q=0 при 1/2x1;

б) Q=1, k=1 при 0x1/2 и k=3 при 1/2x1.

12*. С помощью МКЭ найти решение краевой задачи из упр. №2 или №3 раздела 5 «Метод конечных разностей», дискретизируя уравнения методом Галеркина. Показать сходимость.

Указание. Весовые функции {W_i} взять теми же, что и аппроксимирующие функции {N_i}, т.е. с малым носителем. При этом максимальный порядок производных от {N_i} под интегралом следует понизить методом интегрирования по частям.

13*. Решить задачу из упр. №2,б раздела V «Метод конечных разностей» либо №7 текущего раздела, используя конечные элементы с иерархическими базисными функциями.

Указание. Рассмотрим последовательность конечно-элементных аппроксимаций

,

,

и т.д.,

где

– обычные функции формы лагранжевого элемента 1-го порядка,

– при p3 так называемые иерархические базисные функции. Приведенные аппроксимации справедливы для стандартного конечного элемента: –11. Нетрудно видеть, что первые два параметры и здесь совпадают со значениями функции ^e в точках =–1 и =1 соответственно, а всем остальным параметрам придать подобный смысл не так просто. Да в этом и нет особой необходимости, так как слагаемые , , … играют роль поправок к линейной аппроксимации. Тем не менее, можно записать

,

т.е. равны производной (p–1)-го порядка от ^e в середине конечного элемента. Проверьте, что приведенные функции формы обеспечивают непрерывность решения на границах элементов.

Каждая следующая функция имеет степень многочлена на единицу больше, чем предыдущая. Предположим, получено решение задачи ⁽¹⁾ для обычных линейных конечных элементов. Добавляя к аппроксимации на каждом конечном элементе слагаемое , получим новое решение ⁽²⁾, более точное чем ⁽¹⁾, поскольку оно основано уже на квадратичной аппроксимации. Точно так же, используя еще одно дополнительное слагаемое , найдем решение ⁽³⁾ – приближение кубическим полиномом. И так далее. Подумайте, в чем преимущество такого подхода?

И в заключение отметим, что переход от произвольного элемента x[x₁, x₂] к стандартному [–1, 1] можно осуществить по формуле

.

При этом требуется всего лишь совершить замену переменной в интегралах, вычисляемых по области конечного элемента.

14*. Указанная в предыдущем упражнении система иерархических функций отнюдь не единственно возможная. Приведем еще одну систему, определяемую интегрированием от полиномов Лежандра:

Производные этих функций обладают ортогональностью – свойством, весьма полезным при вычислениях. Решите одну из задач из упр. 2 раздела 5 «Метод конечных разностей» (варианты 1–3, 10), используя последовательно указанные иерархические функции. Выведите явно матрицу S системы уравнений. Сделайте вывод.

15*. Решить задачу Штурма–Лиувилля из упр. №5 раздела 7 «Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ритца».

16*. Для нелинейного дифференциального уравнения

, 0x1

с краевыми условиями (0) = 0, (1) = 1 провести дискретизацию и получить численное решение на основе МКЭ

1)  = ; f = –2; 2)  = cos(/2); f = 0; 3)  =1/(+1); f = 0;

4)  = e^; f = x; 5)  =1+0.1; f = –10x; 6)  =1; f = e^.

17*. Края x=0 и x=1 плиты с коэффициентом теплопроводности k=1 поддерживаются при температуре 10 и 80C. Найти стационарное распределение температуры , если тепло генерируется внутри плиты со скоростью a² (a=0,01  0,03) на единицу длины.