Упражнения

1. Решить методом конечных разностей одну из следующих краевых задач. Использовать не менее 5 узлов. Сравнить с точным решением. Построить графики. Провести аппроксимацию полученного решения по методу кусочно-линейной или кусочно-квадратичной интерполяции. Показать сходимость, увеличивая каждый раз число узлов в 2 раза.

Вариант 1. , .

Вариант 2. , .

Вариант 3. , .

Вариант 4. ,

.

Вариант 5. ,

.

Вариант 6. , .

Вариант 7. , .

Вариант 8. , .

Вариант 9. , .

Вариант 10. , .

2. Решить краевую задачу методом конечных разностей. Сравнить с точным решением. Показать сходимость. Построить график непрерывного решения на основе сплайн-интерполяции.

Вариант 1. ; а) ; б) ; в) .

Вариант 2. ; а) ; б) ; в) .

Вариант 3. ; а) ; б) ; в) .

Вариант 4. ; а) ; б) ; в) .

Вариант 5. ; а) ;

б) ; в) .

Вариант 6. , а) ;

б) ; в) .

Вариант 7. ; а) ;

б) ; в) .

Вариант 8. ; а) ;

б) ; в) .

Вариант 9. ; а) ;

б) ; в) .

Вариант 10. ; а) ;

б) ; в) .

3. С помощью МКР найти решение краевой задачи, не имеющей аналитического решения. Показать сходимость.

Вариант 1. , , .

Вариант 2. , , .

Вариант 3. , , .

Вариант 4. , , .

Вариант 5. , , .

Вариант 6. , , .

Вариант 7. , , .

Вариант 8. , , .

Вариант 9. , , .

Вариант 10. , , .

4*. Решить нелинейное уравнение с краевыми усло­виями , используя сетку с шагом не более h=0,25. (Это уравнение типично для задач о распространении тепла в химически реагирующих материалах, для которых плотность источника тепла пропорциональна e^y, где y – температура).

Указание. Для решения подобных задач используются стандартные итерационные (с последовательным уточнением) процедуры, сводящиеся к многократному решению систем линейных алгебраических уравнений. Наиболее известные из таких процедур – метод простой итерации и метод Ньютона.

6 Прямые методы вариационного исчисления

6.1 Введение

Наряду с задачами, в которых необходимо определить максимальные и минимальные значения некоторой функции, нередко возникает необходимость найти максимальные или минимальные значения величин особого рода, называемых функционалами. Функционалы представляют собой переменные величины, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций.

Определение 1. Пусть имеется некоторое множество функций М. Если каждой функции y из этого множества поставлено в соответствие некоторое число F[y], то говорят, что на множестве М задан функционал F[y].

Обратите внимание на характерную для функционалов зависимость: функции соответствует число, в то время как при задании функций числу соответствует число. Заметим, что если множество М состоит из функций, принимающих только постоянные значения, понятие функционала совпадает с понятием функции.

Пример. Пусть М – множество кривых y(x), заданных на плоскости внутри ограниченной области. Здесь можно определить функционал как длину кривых.

Рассмотрим случай, когда все кривые имеют одну и ту же начальную и конечную точки. Тогда функционал можно задать в явном виде

Как видно, функционал может выражаться не только через саму функцию, но и через ее производную.

В качестве функциональных пространств М в вариационном исчислении используются линейные пространства с определенной нормой (нормированные). Таким, например, является пространство c₁[a,b], состоящее из функций, непрерывных вместе со своей первой производной на отрезке axb, с нормой

.

Определение 2. -окрестностью (нулевого порядка) элемента y₀ из множества M называют множество функций yM таких, что

, (>0).

Определение 3. Если существует -окрестность элемента y₀ такая, что F[y]F[y₀] для всех y(x) из этой окрестности, то говорят, что функционал достигает локального (или относительного) максимума на функции (кривой) y₀(x).

Определение 4. Первой вариацией (или просто вариацией) функционала F[y(x)] называется величина

,

второй вариацией – величина

.

Теорема. Если функционал F достигает на функции y(x) наименьшего (наибольшего) значения, то

F=0, ²F0 (²F0).

Итак, для того чтобы функционал F[y(x)] достигал наименьшего или наибольшего значения, необходимо, чтобы его вариация была равна нулю для данного фиксированного элемента y и произвольного элемента  из множества M. Однако из того, что для какой-то функции y(x) вариация F=0, не следует существования экстремума; в этом случае говорят лишь о стационарном значении функционала.

Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов, и является естественным развитием той главы математического анализа, которая посвящена задаче отыскания экстремумов функций. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум, называются вариационными задачами. Эти задачи и методы их решения рассматриваются как в курсах вариационного исчисления и теории оптимизации, так и в курсах теоретической и математической физики.

Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума или максимума. В такой формулировке эти законы носят название вариационных принципов механики и физики. Например, принцип наименьшего действия, законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, вариационные принципы теории поля, принцип Ферма в оптике, принцип Кастилиано в теории упругости и т.д.