Упражнения

1. а) В качестве A, b взять матрицу и вектор правых частей системы уравнений из таблицы; B задать произвольно.

б) Ввести произвольно невырожденные матрицы A и B размером 33 (или 44) и вектор b той же размерности.

2. а) Вычислить определитель матрицы A, её ранг, обратную матрицу, транспонированную матрицу, а также миноры элементов какой-либо строки (столбца) данной матрицы.

б) Используя встроенную функцию norm, определить норму вектора b и матрицы A, а также число обусловленности A в различных смыслах. Провести вычисление указанных величин непосредственным применением формул.

3. а)Вычислить след матриц AB и BA.

б) Ввести прямоугольную матрицу C подходящего размера и найти A^TBA, AC, BAC, (AB)C, b^TAb.

4. а) Решить задачу на собственные векторы и собственные значения матрицы A. Сделать проверку.

б) Решить обобщенную задачу на собственные значения Ax=Bx.

5. Решить систему Ax=b уравнений: по правилу Крамера и путем вычисления обратной матрицы. Выполнить проверку.

6. а) Решить систему Ax=b с помощью программы, реализующей метод Гаусса с выбором главного элемента. Попутно найти определитель матрицы detA и выписать явно матрицы L и U. Проверить равенство A = LU.

б) Используя LU- разложение, найти решение матричного уравнения AX=B. Проверить результат подстановкой.

в) На основе LU- разложения вычислить матрицу, обратную к A. Проверить равенство A^–1A=E.

7. а) Получить разложение Холесского симметричной положительно определенной матрицы W=A^TA. На основе этого разложения решить систему Wx=A^Tb (и/или уравнение WX=A^TB).

б) Задать матрицу S, элементы которой s_ij представляют собой скалярные произведения векторов: , где x₁, x₂, … – произвольные линейно независимые ненулевые векторы одинаковой размерности. Убедившись в положительной определенности S, решить систему Sx=b методом Холесского.

8. а) Ввести три произвольных некомпланарных вектора x₁, x₂, x₃ трехмерного евклидова пространства. Найти смешанное ([x₁, x₂], x₃) и двойное векторное произведение [x₁, [x₂, x₃]] этих векторов. Вычислить углы, которые векторы образуют друг с другом, а также угол между x₁ и плоскостью x₂x₃.

б) К уже введенным в № 8 векторам добавить еще один вектор x₄, который разложить по базису =(x₁, x₂, x₃).

9. Применить один из итерационных методов (простой итерации, Якоби, Гаусса–Зейделя) к решению системы из таблицы. В случае отсутствия сходимости добиться диагонального преобладания путем комбинирования уравнений, либо применить метод к эквивалентной системе A^TAx=A^Tb.

10. Решить СЛАУ методом сопряженных градиентов. В качестве системы взять Sx=b с матрицей S, введенной в №7, либо , где W=A^TA и .

№	СЛАУ	№	СЛАУ
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30
31		32
33		34
35		36
37		38
39		40

11*. Написать программу, реализующую

а) метод AA^T-минимальных итераций (А  произвольная матрица; минимизируется квадрат евклидовой нормы ошибки).

Инициализация: – произвольно, , ;

Цикл: , , ,

где , ;

б) метод A^TA-минимальных итераций (А  произвольная матрица; минимизируется квадрат евклидовой нормы вектора невязки). Алгоритм счета такой же, как в предыдущем методе, но с числами

, .

12*. Пусть Ax=bрешаемая система. Применить метод сопряженных градиентов к эквивалентной системе (L^–1AL^–T)u=g, где u=L^Tx, g=L^–1b, L – предообусловленная, например, диагональная с элементами , матрица. Исследовать обусловленность старой и новой систем.

13*. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для систем уравнений

14*. Исследовать совместность и найти общее решение