3 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

3.1 Основные понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка r называется уравнение

, (3.1)

которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее производные , …, .

Решение (интегрирование) дифференциального уравнения (3.1) заключается в отыскании функций (решений) y(x), которые удовлетворяют этому уравнению для всех значений x в определенном конечном или бесконечном интервале (a, b).

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения порядка r имеет вид

,

где C₁, …, C_r – произвольные постоянные, частный выбор которых дает частное решение.

В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

, , …, ,

по которым определяются r постоянных C₁, …, C_r .

Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

,

…………………..

заключается в отыскании функций y₁(x), …, y_n(x) , удовлетворяющих этой системе и начальным условиям

y₁(x) = y₁₀, …, y_n(x) = y_n0.

Двухточечная граничная (краевая) задача для уравнения (3.1) ставится следующим образом: найти функцию y(x), которая на отрезке [a, b] удовлетворяет (3.1), а на концах отрезка – граничным условиям

, i=1, 2, …, L,

, j=L+1, L+2, …, r.

В важном частном случае линейной граничной задачи при r=2 дифференциальное уравнение и условия записываются в виде

, axb;

; (3.2)

( , ).

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разделить на графические, аналитические, приближенные и численные. Графические методы используют геометрические построения. В частности, метод изоклин, применяемый для решения уравнений 1-го порядка вида , позволяет построить интегральные кривые по полю направлений, определенному изоклинами.

С помощью аналитических методов для некоторых классов дифференциальных уравнений удается получить решение в виде конечных формул и выражений. С некоторыми этими методами студенты знакомятся в курсе дифференциальных уравнений, изучая решение уравнений первого порядка – с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах и др., а также ряд уравнений высших порядков (например, линейные с постоянными коэффициентами). Решение, записанное в виде бесконечной суммы (функционального ряда), также принято считать аналитическим.

Многие приближенные методы используют подходы, позволяющие находить приближенные решения путем специального выбора классов функций. Например, широко известен метод степенных рядов, который аппроксимирует решение отрезком ряда Тейлора. К приближенным методам также относят различные методы линеаризации, разложение решения по некоторому малому параметру, содержащемуся в задаче, асимптотические методы, метод последовательных приближений и т.д.

Наиболее значимыми являются численные методы решения дифференциальных уравнений, которые в настоящее время служат основным инструментом при исследовании научно-технических задач. Особенно эффективны эти методы в сочетании с использованием современных компьютеров. Суть большинства численных методов (так называемых конечно-разностных методов) состоит в следующем: область непрерывного изменения аргумента x (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек {x_i}, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента y(x) приближенно заменяется узловыми значениями {y_i} – функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменятся разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется разностной аппроксимацией. Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к получению числовой таблицы приближенных значений {y_i} на сетке {x_i}[x₀, b].