- •Компьютерный практикум по численным методам
- •Введение
- •1 Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •1.1 Понятие о линейных и нелинейных уравнениях
- •1.2 О методах решения нелинейных уравнений
- •1.3 Решение нелинейных уравнений
- •1.4 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона
- •1.5 Использование стандартных функций системы Maple
- •Упражнения
- •2 Решение задач линейной алгебры
- •2.1 Матричные и векторные операции
- •2.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1 Прямые методы решения слау. Факторизация матриц
- •2.3 Итерационные методы решения слау
- •Упражнения
- •3 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.1 Основные понятия
- •3.2 Численное решение задачи Коши
- •3.3 Решение краевой задачи методом стрельбы
- •Упражнения
- •4 Приближение (аппроксимация) функций
- •4.1 Введение
- •4.2 Интерполирование
- •4.3 Локальная интерполяция
- •4.4 Интерполирование сплайнами
- •4.5 Интерполяция Эрмита
- •4.6 Среднеквадратичное приближение
- •4.7 Аппроксимация с помощью взвешенных невязок
- •Упражнения
- •5 Метод конечных разностей
- •Упражнения
- •6 Прямые методы вариационного исчисления
- •6.1 Введение
- •6.2 Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
- •6.3 О прямых методах вариационного исчисления
- •Упражнения
- •7 Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом ритца
- •7.1 Некоторые замечания по использованию метода Ритца
- •Упражнения
- •8 Решение краевых задач методом галёркина
- •Упражнения
- •9 Метод конечных элементов
- •Упражнения
- •10 Решение двумерной краевой задачи методом ритца
- •Упражнения
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
С.А.Кострюков В.В.Пешков Г.Е.Шунин
Компьютерный практикум по численным методам
Утверждено Редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2013
УДК 519.6+681.3.06
Кострюков С.А. Компьютерный практикум по численным методам: учеб. пособие / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин. Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2013. 222 с.
В учебном пособии рассмотрены основные необходимые сведения о численных методах решения прикладных математических задач. Значительное место уделено вариационно-разностным и конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений. Многочисленные примеры и упражнения, ориентированные на применение компьютерных систем, способствуют активному усвоению материала. Пособие может быть использовано студентами физико-технических специальностей вузов при изучении соответствующих разделов курсов «Спецглавы математики», «Методы математической физики» и «Численные методы технической физики».
Издание предназначено студентам специальностей естественно-технического профиля всех форм обучения.
Пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2007 и содержатся в файле NumMethLabPr.docx.
Табл. 35. Ил. 27. Библиогр.: 10 назв.
Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Рецензенты: кафедра цифровых технологий Воронежского государственного университета (зав кафедрой д-р физ.-мат. наук, доц. С.Д. Кургалин); д-р физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин
© Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е., 2013
© Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2013
Введение
С точки зрения математического моделирования решение физико-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач в основном используются аналитические, графические и численные методы.
Аналитические методы позволяют представить решение в виде формул. С помощью графических методов решение получается в виде графических построений. Численные методы сводят решение математической задачи к выполнению конечного числа арифметических операций над числами, и результаты при этом представляются в виде чисел. Именно спомощью численных методов решается подавляющее число современных сложных задач физико-математического моделирования. Основную роль в этом сыграло появление высокопроизводительных компьютеров, способных выполнять миллиарды, триллионы и более операций в секунду.
В настоящее время имеется значительное число программных продуктов, ориентированных на решение задач вычислительной математики (MathCad, Maple, Mathematica, и т. д.) Конечно, умение пользоваться готовыми программами сокращает время и затраты на решение важных практических задач. С другой стороны, для их использования зачастую достаточно лишь задания входных данных без вникания в сущность методов и алгоритмов, заложенных в программу. Как правило, выбор метода, проведение расчетов, выдачу результатов программа берет на себя. Однако при таком подходе полученное решение носит обычно приближенный характер, поскольку каждая модель и каждый метод имеют существенные ограничения по применимости. Кроме того, незнание метода не дает возможности проанализировать решение (оценить погрешность решения, скорость сходимости, устойчивость и др.) Таким образом, грамотный специалист должен иметь представление об основах математического моделирования, численных методов, о возможностях современных программных средств, уметь анализировать полученные результаты с точки зрения их точности и достоверности.