3. Оценка надежности с помощью математических зависимостей

3.1. Функциональные зависимости надежности

Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть вызваны неблагоприятным сочетанием различных факторов — рассеянием действующих нагрузок, отклонением от номинального значения механических характеристик материалов, неблагоприятным сочетанием допусков в местах сопряжения и т. п. Поэтому в расчетах надежности [2] различные параметры рассматривают как случайные величины, которые могут принимать то или иное значение, неизвестное заранее.

Различают случайные величины прерывного (дискретного) и непрерывного типов. Условимся случайные величины в дальнейшем обозначать большими буквами, а их возможные значения - соответствующими малыми. Для каждого числа х в диапазоне изменения случайной величины Х существует определенная вероятность Р(Х<х) того, что Х не превышает значения х. Вероятность этого события называют функцией распределения:

F(х) = Р(Х<х). (3.1)

Функция распределения - универсальная характеристика, так как она является функцией как непрерывных, так и дискретных случайных величин. Функция (х) относится к неубывающим функциям - х монотонно возрастает при непрерывных процессах и ступенчато возрастает при дискретных процессах. В пределах изменения случайной величины Х эта функция изменяется от 0 до 1: F(-∞) = 0; F(∞) = 1;

Производную от функции распределения по текущей переменной называют плотностью распределения

(3.2)

которая характеризует частоту повторений данного значения случайной величины. В теории надежности величину f(x) называют плотностью вероятности. Плотность распределения есть неотрицательная функция своего аргумента f(x)≥0.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

В ряде случаев в качестве характеристик распределения случайных величин достаточно использовать некоторые числовые величины, среди которых в теории надежности наиболее употребительными являются математическое ожидание (среднее значение), мода и медиана (характеризуют положение центров группирования случайных величин на числовой оси), дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации (характеризуют рассеяние случайной величины). Значения характеристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют статистическими оценками. Характеристики распределения используют для прогнозирования надежности.

В теории вероятности [4] применяется следующая классификация для определенных событий: а) достоверное событие – событие, которое наблюдается в каждом опыте (Р(Д) = 1); б) невозможное событие – событие, которое при данных испытаниях произойти никогда не может (Р(А) = 0); в) случайное событие - событие, которое в данных испытаниях может произойти, а может и нет (Р(р) = 0…1).

В аппарате теории вероятности используются математические методы сложения и умножения, которые обозначают следующее:

1) суммой событий А+В является событие С, характеризующее, что наступило событие или А или В;

2) произведением событий А∙В является событие Д, характеризующее, что наступают события А и В.

Если происходит n_i испытаний из общего количества m_i испытаний, то отношение n_i/m_i называется частотой или частостью событий Р(А) = n/m.

При большом количестве испытаний отношение n/m стремится к конкретной величине, которая называется вероятностью появления данного события.

Пример 3.1. 1. Посчитать вероятность выпадения числа 3 при броске игральной кости. 2. Посчитать выпадения «орла» или «решки» при броске монеты [4].

Решение: 1) ; 2) .

Вероятность суммы появления нескольких событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А₁ + А₂ +…+ А_n) = P(A₁) + P(A₂) +…+ P(A_n).

Пример 3.2. На заводе изготовили партию деталей диаметром 5 см. Для выявления брака производят выборку этой партии. Посчитать вероятность появление бракованных деталей (несовпадение диаметра), если вероятность появления деталей с диаметром больше 5 см равна 0,03, а диаметром меньше 5 см – 0,01.

Решение:

Р(Д₁) > 5 см = 0,03 и Р(Д₂) < 5 см = 0,01; Р(Д₁ + Д₂) = 0,03 + 0,01 = 0,04.

Случайная величина [4] - величина, которая может принимать различные значения, но сказать заранее, какое значение, нельзя.

Для оценки вероятности появления каких-то событий и закона появления этих случайных величин служат математическое ожидание и дисперсия [4].

Для дискретных случайных величин математическое ожидание M_x равно сумме произведений всех возможных значений Х на вероятности этих значений:

(3.3)

Математическое ожидание для непрерывной случайной величины выражается интегралом в бесконечных пределах от произведения непрерывно изменяющихся возможных значений случайной величины на плотность распределения:

(3.4)

Математическое ожидание случайной величины непосредственно связано с ее средним значением. При неограниченном увеличении числа опытов среднее арифметическое значение величины х приближается к математическому ожиданию и называется оценкой среднего значения:

(3.5)

где n – общее число опытов; x_i – текущее значение случайной величины.

Дисперсией (D) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

Для дискретной случайной величины дисперсия равна:

(3.6)

Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется так:

(3.7)

Оценка дисперсии случайной величины:

(3.8)

Дисперсия случайной величины является характеристикой рассеяния - разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания. Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности случайной величины. Для наглядности в качестве характеристики рассеяния удобнее использовать величину, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой характеристикой может быть среднее квадратическое отклонение σ_x , которое определяется как корень квадратный из дисперсии:

(3.9)

Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент вариации, который равен:

(3.10)

Модой случайной величины называют ее наиболее вероятное значение или то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медиана характеризует расположение центра группирования случайной величины.

Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.

Квантиль - значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

Квантиль, соответствующий вероятности 0,5, называют медианой.

Аналогично предыдущим характеристикам понятия моды и медианы даны в статистической трактовке. Для симметричного модального (т.е. имеющего один максимум) распределения математическое ожидание, мода и медиана совпадают.

Пример 3.3. Посчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение появления случайной величины при броске игральной кости [4].

Решение: ;

;

.

Пример 3.4. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением

Найти коэффициент а и плотность распределения f(x).

Решение

Так как функция распределения случайной величины Х непрерывна, то при х = 1, а·х³ = 1, откуда а = 1.

Плотность распределения выражается соотношением

Пример 3.5. Плотность распределения случайной величины Х описывается выражением

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Решение

Математическое ожидание найдем по формуле (3.4):

Для определения дисперсии используем формулу (3.7):

Среднее квадратическое отклонение соответственно равно:

Пример 3.6. При проведении одного опыта может появиться или не появиться некоторое событие А. Вероятность появления события А равна р, а вероятность непоявления этого события равна 1- p = q.

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – число появлений события А.

Решение

Ряд распределения случайной величины Х можно записать в виде таблицы:

xi	0	1
Pi	q	P

По формуле (3.3) находим математическое ожидание:

Дисперсию величины Х определим по формуле (3.6).

Среднее квадратическое отклонение равно:

Рассматривая случаи появления или отсутствия события А в большом числе испытаний [2], можно установить определенные закономерности появления этого события. Если при проведении n₁ испытаний событие А имело место т₁ раз, то относительную частоту появления события А определяют из соотношения

(3.11)

Если событие А имело место в каждом из n₁ испытаний, т. е. m₁ = n₁, то Р*(А)=1. Если событие А не наступило ни в одном из n₁ испытаний, т. е. m₁= 0, то Р*(А)=0. При проведении серии последовательных испытаний получим соотношения:

Относительная частота становится более устойчивой при увеличении числа испытаний. Такая закономерность была замечена давно и подтверждена результатами решения различных примеров. Самыми известными примерами являются примеры бросания монеты или игральной кости. Так, при большом числе бросаний монеты относительная частота выпадения герба равна 1/2 и равна относительной частоте выпадения цифры. При большом числе бросаний игральной кости относительная частота выпадения каждой стороны, на которой изображены цифры от 1 до 6, равна 1/6.

Приведенные примеры показывают, что существует постоянная величина (в нашем случае 1/2 или 1/6), около которой колеблется относительная частота свершения случайного события и к которой она все более приближается с увеличением числа испытаний. Постоянную величину, к которой приближается относительная частота случайного события, называют вероятностью случайного события А и обозначают символом Р(А). На практике при большом числе испытаний вероятность случайного события приближенно принимают равной относительной частоте этого события:

Р(А) ≈ Р*(А).

Математическим основанием этого утверждения является закон больших чисел (Я. Бернулли) - вероятность отклонения относительной частоты некоторого события А от вероятности Р(А) этого события более чем на произвольно заданную величину ε > 0 становится сколь угодно малой, если число испытаний n неограниченно возрастает.

Таким образом, вероятность события Р(А) представляет собой число, заключенное в интервале от нуля до единицы, т. е. справедливо неравенство

0 ≤ P(A) ≤ 1. (3.12)

Пример 3.7. Пусть проводится стрельба из артиллерийского орудия по щиту. В результате проведения 500 выстрелов число попаданий оказалось равным 450. Найти вероятность попадания по щиту при одном выстреле.

Решение

Общее число проведенных опытов n = 500, при этом число попаданий m =450.

Используя формулу (3.11), найдем вероятность попадания: Р(А) = 0,9.

Законом распределения дискретной случайной величины [4] называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями, его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

X			…		возможные значения
P			…		их вероятности

Пример 3.8. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и 10 выигрышей по 1 рублю. Найти закон распределения случайной величины Х - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение

Напишем возможные значения Х:

Вероятности этих возможных значений:

Закон распределения:

X	50	1	0
P	0,01	0,1	0,89

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически. В прямоугольной системе координат строят точки а затем соединяют их отрезками.

Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Функцией распределения называют , определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е. .

Пример 3.9. В урне имеется четыре шара с номерами от 1 до 4. Извлекли два шара. Найти закон распределения и функцию распределения СВ X суммы номеров извлеченных шаров.

Решение

_{Закон распределения имеет вид}

Х	3	4	5	6	7
P(X=xk)	1/6	1/6	2/6	1/6	1/6

Функция распределения

Пример 3.10. Для установления связи между двумя объектами посылаются сигналы до установления связи. Вероятность приема сигнала р. Найти распределение вероятностей числа сигналов, необходимых для установления связи. Построить функцию распределения вероятностей.

Решение

Обозначим через А событие, состоящее в том, что связь установлена, а через X - число вызовов, необходимых для установления связи; Р(А) = р;

Р( ) = q = 1-р. Вероятностное распределение задается таблицей

Х	1	2	3	…	т	…
P	p	qp	q2p	…	qm-1p	…

Распределение вероятностей числа сигналов, необходимых для связи, задается геометрической прогрессией. Проверим, что распределение вероятностное, т.е. сумма всех вероятностей равна единице:

График функции распределения вероятностей имеет вид

Пример 3.11. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину Х, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними делениями. Таким образом, Х имеет равномерное распределение.

Решение

Найдем плотность равномерного распределения , считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале , на котором функция сохраняет постоянные значения:

По условию Х не принимает значений вне интервала , поэтому при

Найдем постоянную С. Т.к. все возможные значения Х принадлежат интервалу , то

.

Отсюда

.

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения

График плотности равномерного распределения:

Замечание. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно на интервале , а через r – ее возможные значения.

Вероятность попадания p (в результате испытания) в интервале , принадлежащем интервалу , равна его длине:

,

плотность рассматриваемого равномерного распределения

,

следовательно, вероятность попадания случайной величины R в интервал

.