6.4. Распределение нормируемых показателей надежности
Распределение норм надежности проводят на этапах эскизного и рабочего проектирования технической системы [2]. Предполагается, что на любом из этих этапов конструирования систему можно разбить на некоторое число подсистем в виде отдельных сборочных единиц и исходить из начальной надежности каждой подсистемы, полученной расчетом или по результатам испытаний подсистем.
Пусть р1, р2,..., рn означают надежность подсистем. Предположим, что отказ любой подсистемы приводит к отказу системы в целом, тогда надежность системы на основании теоремы умножения вероятностей имеет вид
P = p1 p2…pn. (6.40)
Пусть РТР – требуемая надежность системы, причем значение надежности должно удовлетворять условию РТР ≥ Р. Задача состоит в том, чтобы повысить хотя бы одно из значений рi на столько, чтобы Р ≥ РТР. Для повышения надежности необходимо произвести дополнительные затраты, связанные либо с введением резервирования в этой системе, либо с введением в систему более надежных элементов.
Методика повышения надежности Р до требуемого значения РТР сводится к следующему. Надежности р1 , р2 ,…, рn располагают в неубывающей последовательности:
р1 ≤ р2≤…≤ рn. (6.41)
Каждую из надежностей р1, р2,…, рk увеличивают до одного и того же значения , а надежности, начиная с рk+1 ,..., рn , остаются неизменяемыми. Номер k выбирают из максимального значения j, для которого
(6.42)
где рn+1 =1 по определению.
Значение
определяют из соотношения
(6.43)
Очевидно, что надежность системы после определения p0 требует удовлетворять заданному требованию, поскольку новая надежность равна
(6.44)
Пример 6.9. Пусть техническая система состоит из трех подсистем. Надежность каждой из них соответственно равна: p1 =0,7; р2 =0,8; р3 =0,9. Известно, что отказ любой одной подсистемы приводит к отказу системы в целом. Требуемое значение надежности системы равно РТР =0,65 [2].
Провести перераспределение норм надежности таким образом, чтобы произведение вероятностей трех подсистем соответствовало заданному требованию.
Решение
Используя формулу (6.40), получим:
P = p1 р2 р3 =0,7·0,8·0,9 = 0,504.
Предположим, что мы не рассчитываем k по формуле (6.42), а произвольно задаем k =1. Тогда, подставляя исходные данные в формулу (6.43), получим:
= [0,65/0,8·0,9·1,0]1/1 = 0,903.
P = 0,903·0,8·0,9 = 0,65.
Полученное значение надежности соответствует требуемому РТР =0,65.
Однако на основании полученного значения можно заключить, что распределение средств, необходимых для повышения надежности, не было оптимальным. Другими словами, приложено больше средств для достижения заданного показателя, чем требовалось. Определим теперь k по формуле (6.42). С этой целью вычислим три величины:
Так как p1 <r1, p2 <r2, p3 >r3, примем k =2. В этом случае наибольшее значение индекса j со свойством p<r, равно двум. Далее, учитывая выражение (6.43), находим
Это означает, что средства на повышение надежности необходимо распределить следующим образом: надежность подсистемы №1 увеличивают с 0,7 до 0,85; надежность подсистемы №2 - с 0,8 до 0,85; надежность подсистемы №3 оставляют на прежнем уровне. В результате вероятность безотказной работы всей системы:
Р = (0,85)2·0,90 = 0,65.
Все показатели надежности проектируемой системы должны обеспечивать нормальное ее функционирование в течение заданного срока эксплуатации.