Контрольные вопросы и задания

1. Что такое система? Какие основные признаки характеризуют систему? Примеры.

2. Дайте определения структуры системы, эффективности и управления.

3. В чем заключается системный подход? Дайте характеристику морфологического, функционального и информационного описания системы. Приведите примеры.

4. Рассмотрите технологическую систему с системных позиций. Дайте определения функции, структуры, компоновки и организации.

5. Какие критерии оценки эффективности технологической системы вы знаете?

6. Как осуществляется структурное взаимодействие элементов системы?

7. Дайте определение систем автоматизированного моделирования. Какие компоненты ее определяют?

8. Опишите схему автоматизированного моделирования.

9. Охарактеризуйте виды обеспечений системы автоматизированного моделирования.

2. Общие вопросы математического моделирования

2.1. Понятие моделирования. Математическая модель

Необходимо помнить, что в основе изучения систем и процессов их функционирования всегда лежит эксперимент – реальный или модельный. Суть реального эксперимента – это изучение свойств на самом физическом объекте. Например, непосредственное обеспечение режимов функционирования технологических операций в процессе производства некоторой продукции. Модельный эксперимент заключается в изучении свойств и поведения физического объекта (системы) не на самом объекте, а с помощью модели. Построение моделей и изучение свойств систем при помощи таких моделей называется моделированием.

Заметим, что выше мы уже в некоторой степени касались понятий «модель» и «моделирование» при изучении системного подхода и способов структурного описания действующего элемента.

В естественных науках наибольшее распространение получили физическое и математическое моделирование.

При физическом моделировании модель (макет) воспроизводит изучаемую систему (оригинал) с сохранением ее физической природы. Примером такого моделирования может служить изучение аэродинамических свойств летательных аппаратов путем продувки их моделей в аэродинамической трубе.

Разновидностью физического моделирования можно считать аналоговое. Необходимо знать, что аналоговые модели имеют физическую природу, отличную от оригинала, но в то же время сходные с оригиналом процессы функционирования. Аналоговые модели, например, используются при исследовании свойств вычислительной техники, функционировании систем, описывающихся системами дифференциальных или алгебраических уравнений и др. Для этих целей можно применять так называемые аналоговые вычислительные машины (АВМ).

Необходимо помнить, что физическое моделирование имеет ограниченные возможности, т.к. не всегда можно его использовать. Для этого достаточно указать такие объекты, как организационные, технологические, вычислительные системы, производственные процессы, которые практически не допускают своих физических аналогов.

Математическое моделирование основано на построении математической модели.

Под математической моделью (ММ) будем понимать концентрацию наших знаний, представлений и гипотез об оригинале, представленную в виде математических соотношений.

Для построения такой модели используется все многообразие средств современного математического аппарата – теория алгебраического, дифференциального и интегрального исчисления, теория множеств, вероятностей и математической статистики, методы скалярной и векторной оптимизации, теория принятия решений, алгоритмов и структурного программирования и т.д.

Рассмотрим две системы: А и В. Предположим, что ͞xA(t) и B(t) – входные векторы этих систем, а ͞yA(t) и ͞yB(t) – соответственно выходные векторы.

Тогда говорят, что системы А и В изоморфны по отношению друг к другу, если

͞xA(t)= ͞xB(t); ͞yA(t)= ͞yB(t) (8)

в любой момент времени t.

Из соотношений (8) следует, что реакция изоморфных систем на внешние воздействия должна быть совершенно одинаковой. Примерами таких систем могут быть типовое технологическое оборудование, типовые сорта выпускаемой продукции и др.

Понятно, что если систему А считать оригиналом, а систему В – моделью, то в реальных условиях соотношения (8) практически не обеспечиваются. Создавая модель В некоторой системы А, исследователь, как правило, стремится к некоторому ее упрощению, воплощая в модели те стороны и явления, которые ему необходимы с точки зрения поставленных целей, опуская при этом менее существенные, по его мнению, черты оригинала А. Другим способом упрощения модели является группировка и агрегирование состояний (параметров системы) путем более грубого построения связей между элементами.

В результате такого упрощения происходит сокращение размерности состояний исходной системы А. При этом каждому состоянию оригинала А будет соответствовать вполне определенное (одно) состояние модели В, однако определенному состоянию модели В может соответствовать несколько состояний оригинала А. В этом случае говорят, что система В гомоморфная по отношению к системе А. Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. система А не является гомоморфной по отношению к системе В. С другой стороны, из соотношения (8) видно, что изоморфизм является взаимно однозначным гомоморфизмом.

Учитывая вышеизложенное, можно считать, что модель есть система, гомоморфная по отношению к оригиналу. В общем случае она лишь приближенно описывает оригинал, оценивая те или иные его стороны и свойства.

Проведем некоторую классификацию математических моделей по способам представления свойств. Среди них можно выделить аналитические, имитационные, численные, алгоритмические, программные.

Аналитические – это модели, представляющие собой совокупность аналитических выражений и зависимостей.

Имитационные – это модели, основанные на машинном эксперименте, являются переложением на машинный язык описаний моделируемых объектов.

К имитационным моделям обращаются тогда, когда задачу невозможно сформулировать в виде аналитической математической модели или когда аналитические и численные решения становятся не эффективными из-за их громоздкости и ограничений на ресурсы.

Специальные программы генерируют различные конкретные реализации входного вектора ͞x(t) моделируемой системы и находят в соответствии с введенным в ПК описанием системы значения выходного вектора у(t). Полученные результаты обрабатываются в зависимости от целей моделирования.

Другими словами, эти модели позволяют имитировать процесс функционирования систем на ПК, производить при этом измерения и обработку интересующих исследователя характеристик.

Численные – это модели, представленные в виде различных численных методов и схем, как правило обеспечивающих приближенное решение задачи.

Алгоритмические – это модели, представленные алгоритмами в виде определенной логической последовательности выполнения операций на ПК.

Программные – это модели, реализующие алгоритмические модели на одном из языков программирования для ПК.

Указанные математические модели находятся в определенной взаимосвязи. Рассмотрим эту взаимосвязь в процессе моделирования. Допустим, требуется найти площадь некоторой криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a; x=b; y=0 и кривой y=f(x). Запишем это через определенный интеграл:

(9)

Вспомним, как можно вычислить интеграл (9):

1. Аналитическое решение имеет вид

(10)

где F(x) – первообразная ([F(x)+c]=f(x)).

Алгоритмическая запись для модели (11) может быть представлена, например, как

S₀₁A_1*A_2*A_3*A_4*S_l0. (11)

где S₀₁ – оператор формирования исходной информации (заданы a, b и функции f(х)); А₁ – оператор нахождения первообразной; A₂ – оператор вычисления F(b); A₃ – оператор вычисления F(a); A₄ – оператор вычисления F(b)-F(a); S_l0 – оператор выдачи результата.

Следует знать, что алгоритм (11) записан на языке ЛСА (логических схем алгоритмов).

2. Численное решение выполним по методу прямоугольников (рис. 2.1), согласно которому

y₀+y₁+…+y_n-1). (12)

Рис. 2.1. Метод прямоугольников

Алгоритмическая запись формулы (12) на языке ЛСА может быть представлена в виде

S₀₁A₁↓₁A₂P₃↑¹A₄A₅ S₁₀,

где S₀₁ – оператор ввода исходной информации; A₁ – оператор вычисления h=b-a/n; А₂ – оператор вычисления y_c=f(x_i), ; P₃ – логический оператор – проверяет условие на конец цикла по I; A₄ – оператор вычисления R=y₀+y₁+….y_n-1; A₅ – оператор вычисления h*R; S₁₀ – выдача результатов.

3. В качестве имитационной модели для решения задачи выберем метод Монте-Карло. Предположим, что 0 ≤ f(x) ≤ c (рис. 2.2).

А

В

С

D

X

G

Рис. 2.2. Метод Монте-Карло

Опишем метод Монте-Карло. Следует помнить, что определенный интеграл – это площадь области G криволинейной трапеции, которую приближенно можно оценить следующим образом. Выберем N случайных точек, равномерно распределенных в прямоугольнике АВСD и обозначим через N, число точек, попавших в область G АВСD.

При N→∞ (N-велико), очевидно, что: I≈N₁N.

Рассмотрим численное решение задачи. Для этого введем равномерно распределенную в прямоугольнике АВСD случайную точку:

.

Рассмотрим случайную величину Z_i ,зависящую от ξ:

Тогда можно считать, что при N→∞:

Алгоритмически это можно записать с помощью операторов:

S₀₁ – ввод исходной информации; А₁ – розыгрыш на ПК равномерно распределенной точки (ξ, h ) (имитация); А₂ – вычисление f(ξ); Р₃ – проверка условия h ≤ f(ξ); А₄ присвоение z_i=1; А₅ присвоение z_i = 0; А₆ – вычисление R=R+Z (предполагается, что для i=I; R=0); Р₄ – проверка условия на конец цикла по i; A₇ – вычисления I=R/N; S₁₀ – окончание вычислений и выдача результатов.

Тогда ЛСА:

S₀₁↓¹ А₁ А₂ Р₃ ↑² А₄ Ω ↑³ ↓₂ А₅ ↓₃А₆ Р₄ ↑₁A₇S₁₀,

где Ω – оператор безусловного перехода пo стрелке (переход к выполнению оператора А₆).

В общем случае взаимодействие указанных моделей в процессе моделирования на ПК может быть представлено в виде рис. 2.3.

Если рассматривать классы моделей с позиций системного подхода, то можно говорить о концептуальных моделях (структурных), характеризующих морфологические свойства и концепции, функциональных и информационных моделях различного назначения, а именно структурного и параметрического синтеза, анализа, выбора и принятия решений.

Рис. 2.3. Схема взаимодействия моделей в процессе моделирования

Иерархичность исследуемых объектов приводит к построению системы иерархических моделей различной степени детализации.

Число уровней в такой системе зависит от сложности объекта, целей и задач исследования. С этих позиций условно модели рассматриваются на трех уровнях: микро-, макро-, метауровнях. С первыми двумя мы уже встречались, третий используется для описания сложных устройств и комплексов, например систем проектирования, планирования и управления, функционирования, информационных центров и др.

Наконец, рассматривая возможные способы построения моделей, можно говорить о теоретических и эмпирических.

Теоретические ММ создаются на основе теоретических исследований физических процессов и их закономерностей, на определении этим закономерностям соответствующих математических описаний.

Эмпирические (экспериментальные) ММ создаются на основе реального эксперимента путем регистрации значений ходов и выходов и дальнейшей их обработки. Для этих целей широкое применение нашли методы математической статистики, в том числе планируемого эксперимента.

Обобщенная классификация ММ приведена в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Признак классификации	Математические модели
Принадлежность к иерархическому уровню	Микроуровня, макроуровня, метауровня
Характер отображаемых системных свойств	Концептуальные (структурные), функциональные, информационные
Функциональное назначение	Синтеза, анализа, выбора и принятия решения
Способ представления свойств объекта	Аналитические, имитационные, численные, алгоритмические, программные
Способ получения модели	Теоретические, эмпирические

Необходимо помнить, что из самого определения моделей следует, что для каждой исследуемой системы (оригинала) можно построить сколько угодно моделей с различной степенью приближения как различной природы (физических, математических и др.), так и одной и той же природы. Процесс моделирования неоднозначен, и выбор в некотором смысле наилучшей (эффективной) модели представляет собой актуальную задачу.

Из вышеизложенного следует, что в общем случае модель – это некоторая система. Поэтому при ее построении очевиден системный подход и решение задач синтеза, анализа и принятия решений. Рассматривая процесс построения (создания) моделей с этих позиций, приходим к типовой схеме (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Типовая схема процесса построения моделей

Необходимо знать, что процесс построения моделей проходит в несколько связанных между собой укрупненных этапов: постановка задачи, синтез модели, анализ модели, выбор и принятия решения, реализация модели.

Первый этап – постановка задачи – не относится непосредственно к процессу моделирования. Постановка задачи является предметом системного анализа и начинается с определения целей моделирования. Цели должны определяться сущностью решений, на получение которых ориентировано исследование системы (оригинала). При этом требуется помнить, что формулировка целей, с одной стороны, не должна быть слишком узкой (в этом случае моделирование нецелесообразно), а с другой стороны – слишком широкой (это может привести к безуспешной попытке решить сразу несколько проблем путем моделирования). Кроме того, необходимо предвидеть возможность трансформирования или изменения целей в течение времени.

На основе целей исследования устанавливаются границы изучаемой системы, условий ее функционирования и необходимый уровень детализации моделируемых процессов. В постановку задачи также должны быть включены критерии оценки эффективности функционирования системы (оригинала) и возможные ограничения на их значения. Важным моментами являются описание потоков информации, обеспечивающих взаимодействие системы с внешней средой и внутренних элементов системы, описание ограничений на выделенные ресурсы.

Вторым этапом является синтез – формирование структуры и определение параметров модели. Структурный синтез заключается в построении (генерировании) в рамках поставленной задачи множества альтернативных вариантов моделей, отличающихся степенью детализации, учетом тех или иных особенностей и функционирования оригинала. При этом решаются следующие основные задачи:

• определение размерности модели – выделение множества существенных переменных Ω (параметров оригинала), которые необходимо учитывать в модели;

• выделение множества управляемых переменных X Ω;

• выделение множества неуправляемых переменных ω Ω;

• определение множества технологических параметров системы Т Ω. Технологические параметры описывают технологии в виде совокупности параметров, определяющих константы, предельные значения переменных и соотношения между ними.

Тогда в символической записи модель можно представить в виде множества взаимосвязей:

(13)

где ͞q – вектор показателей эффективности системы (оригинала).

В такой постановке заключительной задачей структурного синтеза является определение типов взаимосвязей F, формирующих модель (аналитические, эмпирические, дифференциальные уравнения, передаточные функции, имитационные схемы и алгоритмы и др.), и формирование их вида (линейные, нелинейные, квадратичные и др.).

Синтез параметров заключается в оценке (определении) параметров ранее сгенерированных структур взаимосвязей множества F. Этап анализа модели заключается в изучении ее свойств и поведения в различных условиях функционирования. Здесь проводится выбор и расчет критериев эффективности для каждой из построенных на этапе синтеза моделей. Эффективность математических моделей (ММ), как и любой другой системы, оценивается вектором показателей эффективности, которые, как правило, конфликтуют между собой. К таким показателям можно, например, отнести универсальность, экономичность, точность.

Универсальность (гибкость) характеризуется возможностью использования ММ для различных задач исследования, степенью инвариантности к возможным изменениям во внутренней и внешней среде. Она определяется числом и составом входных и выходных параметров системы, учитываемых моделью.

Экономичность определяется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации (затратами машинного времени и памяти ПК).

Точность оценивается степенью совпадения значений параметров оригинала и значений тех же параметров, полученных с помощью ММ. Как правило, это некоторая мера, заданная в пространстве параметров – количественная либо качественная. Например, если параметры оцениваются количественно, то можно вычислить:

Ԑ_j=|͞y_i-y_j|, или Ԑ_j=|͠y_i-y_j|/y_i,,j=͞1͞,n,

где Ԑ_j – абсолютная или относительная погрешность модели по j-му выходному параметру; ͞y_i-y_j – выходной параметр моделируемого объекта (оригинала); ˜y_j – тот же выходной параметр, полученный на модели.

При необходимости сведения векторной оценки точности ͞Ԑ=( Ԑ₁ …. Ԑ_n) к скалярной можно ввести меры:

Ԑ_min=max|Ԑ_j| или Ԑ_min= .

Кроме указанных показателей эффективности ММ, можно еще назвать сложность (насколько просто математическое описание?), непротиворечивость (противоречат ли результаты моделирования в экстремальных областях реальным?), чувствительность (соответствуют ли малым изменениям параметров модели изменения ее выходных параметров?), реалистичность (соответствуют ли результаты моделирования тем случаям, для которых уже имеются фактические данные?), работоспособность (легко ли получать решения с помощью модели?) и др.

Особо остановимся на понятии адекватности модели.

Под адекватностью будем понимать пригодность ММ с точки зрения представлений исследователя в отношении достижения поставленных целей.

Из определения следует, что нельзя говорить об адекватности как об окончательном (одном) критерии выбора ММ. Адекватность характеризует лишь соответствие ММ объекту (оригиналу) в рамках заданных свойств, достаточного для решения поставленных задач исследования. Адекватные модели отличаются по точности, экономичности, универсальности, могут иметь различную степень сложности, работоспособности и др.

Необходимо помнить, что требования к модели противоречивы.

С одной стороны, она должна быть достаточно полной, т.е. в ней должны быть учтены все существенные переменные. С другой стороны, модель должна быть достаточно простой для того, чтобы упростить исследования на модели.

Она должна обеспечивать также высокую точность и степень универсальности, широкую область адекватности и в то же время быть экономичной и работоспособной. Поэтому окончательный выбор представляет собой сложную задачу теории принятия решений и, как правило, обеспечивается исследователем (ЛПР – лицом, принимающим решения). ЛПР оценивает общую эффективность (полезность) построенных моделей на основе проведенного анализа и принимает решения о пригодности моделей для дальнейших экспериментальных исследований (реализация модели).

В противном случае, если решение не принято, он может:

• в рамках поставленной задачи провести дополнительный синтез альтернативных вариантов модели;

• обеспечить дополнительный анализ по другим показателям эффективности (ранее не учтенный);

• выдать информацию о необходимости изменения постановки задачи при условии, что он исчерпал все свои «внутренние» ресурсы.

Последний этап относится к получению результатов – проведению соответствующих экспериментов на модели. Здесь важно, чтобы ЛПР в своем распоряжении имел план проведения экспериментов, методы сравнения и обработки опытных результатов, средства управления проведением экспериментов и возможность корректировки моделей.