2.3. Некоторые типовые оптимизационные модели

Рассмотрение в качестве объекта моделирования технологической системы позволяет выделить по содержательной постановке ряд типовых оптимизационных задач.

1. Модель распределения ресурсов. Имеются некоторые ресурсы R₁,R₂….R_m (сырье, рабочая сила, оборудование и др.) в количествах соответственно r₁,r₂,…,r_m единиц. Эти ресурсы используются для производства продуктов П₁,П₂,…,П_n. Для производства одной единицы продукта П_j требуется α_ij единиц ресурса . Причем каждая единица ресурса стоит рублей, а каждая единица продукта имеет цену . Спрашивается: какое количество единиц и какую продукцию необходимо производить, чтобы максимизировать некоторую меру эффективности (прибыль)?

Рассмотренная ранее модель выбора оптимальной годовой производственной программы относится к рассматриваемому классу задач.

2. Задача о смесях. Из m видов исходных продуктов можно составить n различных смесей (конечных продуктов). Известны затраты всех исходных продуктов на единицу смеси каждого вида . Кроме того, заданы имеющиеся количества исходных продуктов и цены , выпускаемых смесей. Требуется определить объемы выпуска смесей, при которых обеспечивается наибольшая эффективность (например, максимум суммарной стоимости выпускаемой продукции).

3. Модель загрузки оборудования. Допустим, что некоторый производственный участок выпускает n видов продукции, каждый из которых может быть произведен на m типах универсального оборудования. Известна производительность каждого i-го типа оборудования по каждому j-му виду продукции, а также лимит рабочего времени i–го оборудования. Требуется распределить различные виды продукции (задать некоторые пропорции) по типам оборудования таким образом, чтобы, например, обеспечивалась максимальная суммарная загрузка оборудования.

4. Задача о назначениях. На некотором производственном участке, выпускающем n видов продукции, имеется также n типов универсального оборудования. При этом на каждом оборудовании может производиться любой вид продукции.

Рассмотрим матрицу , где – параметры, определяющие эффективность использования i-го типа оборудования для производства j-го вида продукции (производительность, стоимость, надежность и др.). Тогда задача заключается в таком выборе n элементов из матрицы || || по одному из каждой строки и каждого столбца, чтобы максимизировать общую меру эффективности (в частности, суммарную производительность). Другими словами, требуется оптимальным образом назначить типы оборудования для производства каждого вида продукции.

5. Модели упорядочения. Пусть имеется n видов продукции, которые требуется обработать на m типах оборудования. Каждый вид продукции имеет свой технологический маршрут обработки. Известно время t_ij (i=͞1͞,͞n; j=͞1͞,͞m), необходимое для обработки i-го вица продукции на j-ом типе оборудования. Причем считается, что одновременная обработка нескольких видов продукции невозможна. При таких условиях у некоторого оборудования может образоваться очередь ждущих обработки видов продукции. Требуется определить такую очередность (последовательность) обработки продукции на каждом типе оборудования, которая, например, обеспечивает минимум суммарной продолжительности обработки всех видов продукции, или минимум общего запаздывания обработки (запаздывание определяется как разность между фактическим и директивным сроком обработки по каждому виду продукции), или минимум максимального запаздывания, или минимум потерь, обусловленных запаздыванием, и др.

В такой постановке задача называется задачей календарного планирования или составления расписания.

6. Задачи управления запасами. Понятно, что с увеличением запасов в производстве, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, а с другой – уменьшаются потери из-за возможной их нехватки. Требуется определить такой уровень запасов, который обеспечивает максимальную эффективность производства (например, минимум ожидаемых затрат по хранению запасов, а также потерь из-за их дефицита; максимум производительности системы и др.).

7. Транспортная задача. В данных А₁,А₂,...,А_m пунктах производится некоторый однородный продукт в количествах соответственно a₁,a₂,...,a_m единиц. Этот продукт необходимо доставить в пункты назначения B₁,B₂,...,B_n, потребляющих этот продукт соответственно в количествах b₁,b₂,...,b_n единиц. При этом, как правило, считается, что общий запас груза в пунктах отправления равен суммарной потребности в пунктах потребления, т.е.

В этих условиях требуется найти такой план перевозок, который обеспечивает в некотором смысле оптимум вектору показателей эффективности. В частности, если известны стоимости перевозки единицы продукции из A_i в B_j, то можно искать такой план, который минимизирует общую стоимость перевозок.

8. Модель оптимального проектирования. В процессах оптимального проектирования технологических систем требуется определить параметры ͞X=(X₁,….,X_m) системы таким образом, чтобы максимизировать меру эффективности функционирования системы: максимизировать надежность, быстродействие, точность, производительность и др., минимизировать – приведенные затраты, занимаемую площадь, время производственного цикла и др. Это обеспечивается варьированием параметров X в некоторой допустимой области D, которая формируется системой ограничений типа равенств, неравенств, дискретности и определяется требованиями технологии.

9. Выбор оптимальных режимов технологических операций. В общем случае критерии оптимизации режимов ТО являются функциями входов (͞X), выходов (͞У), управляющих воздействий (͞U) и времени. Тогда задача формализуется в виде

,

где D – область допустимых управлений (режимов ТО) задается как совокупность ограничений:

(19)

(20)

Соотношения (19) и (20) описывают соответственно статический и динамический режимы функционирования ТО. Требуется найти такие управления (режимы) U D, которые обеспечивают оптимум в смысле векторного критерия q. В качестве критериев оптимизации здесь могут выступать производительность, точность, надежность, показатели качества продукта и т.д.