Контрольные вопросы и задания

1. Что такое физическое и математическое моделирование?

2. Что называется математической моделью?

3. Какие виды моделей возникают в процессе моделирования на ПК?

4. Классификация математических моделей.

5. Приведите пример алгоритмической модели.

6. Опишите типовую схему процесса моделирования.

7. В чем заключается синтез, анализ, выбор и принятие решений в процессе моделирования?

8. Какова роль ЛПР при моделировании?

9. Можно ли считать математическую модель системой?

10. По какими критериями можно оценить эффективность моделей?

11. Что такое адекватность математических моделей?

12. Дайте определение оптимальному моделированию.

13. Формализуйте задачу оптимального моделирования.

14. Определите модель оптимизации в условиях определенности и неопределенности.

15. Формализуйте модель выбора оптимальной годовой производст­венной программы.

16. Классификация моделей оптимизации.

17. В чем проблема векторной оптимизации?

18. Что значит оптимальные по Парето решения? Примеры.

19. Приведите типовые оптимизационные модели для технологических систем.

3. Нелинейные модели оптимизации

3.1. Градиентные методы

Напомним постановку многомерной задачи оптимизации технологического процесса (ТП). Объектом многопараметрической оптимизации (рис. 3.1) является ТП (система) с m управляемыми переменными входами при помощи которых производится оптимизация. На ТП воздействуют неуправляемые факторы .

Рис. 3.1. Графическое представление многопараметрического объекта оптимизации:

ТП – технологический процесс

Информация о работе ТП оценивается при помощи его выходных показателей, один из которых представляет собой скалярный критерий качества оптимизируемого объекта:

Управляемые переменные считаются независимыми друг от друга в процессе оптимизации и могут изменяться в заданных пределах:

. (21)

Эти переменные характеризуют режимы функционирования ТП (температуру, давление, время, концентрацию и т.д.). В качестве критерия качества выбирается такой выходной показатель, который необходимо улучшить (привести к экстремуму – максимуму или минимуму) путем выбора управляемых переменных (производительность, точность, надежность, себестоимость и др.).

Неуправляемые факторы создают неопределенность при решении задачи оптимизации. Это сезонное изменение условий производства, непостоянное качество сырья, случайные колебания режимов проведения технологических операций, случайные отказы в работе оборудования, неучтенные управляемые параметры и др.

Далее, ТП имеет P выходов (показателей h_ρ, ρ=͞1͞,͞Р), которые при оптимизации должны находиться в заданных пределах, определяющихся технологическими ограничениями. Например, пусть ТП оценивается производительностью Q, себестоимостью С и качеством продукции К. Тогда задачу оптимизации с учетом этих показателей можно сформулировать следующим образом: определить такие режимы процесса , которые обеспечат минимальное значение себестоимости при выполнении ограничений на производительность и качество продукции .

Модель 1 (детерминированный случай). Если переменные Ԑ_j(j=͞1͞,e) изменяются медленно или Ԑ_j – постоянно, то q и h почти или совсем не зависят от переменных Ԑ_j. Тогда задача оптимизации записывается в виде

(22)

где

opt – оператор, реализующий нахождение максимума или минимума функции q.

Если Ԑ_j изменяются значительно и в то же время измеряются, можно рассматривать задачу (22) для каждой реализации вектора͞ Ԑ.

Модель 2. Если переменные Ԑ_j – случайные величины с известной функцией плотности вероятности f(͞Ԑ), то можно определить математические ожидания (средние значения) для q(͞x,͞Ԑ) и

или в случае дискретных случайных величин

где t_i (i=1….N) – моменты определения значений показателей качества q.

Тогда задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом:

(23)

Следует помнить, что при оптимизации усредненного значения функции качества q полученное решение в виде некоторого ͞x=͞x* в общем случае не обеспечивает экстремума функции q(͞x ͞Ԑ) для каждой реализации Ԑ (t_i).

Модель 3. В общем случае = ͞Ԑ(t). Это приводит к тому, что оптимальное решение также является функцией от времени, то есть ͞X* = ͞Х*(t). В такой ситуации необходимо в ходе оптимизации за время t добиваться экстремального значения показателя качества для каждого момента времени:

(24)

Задачи (24) относятся к задачам оптимального управления и эквивалентны нахождению векторной функции ͞X(t) = ͞X*(t), доставляющей экстремум функционалу:

Пример. В научных исследованиях и практических задачах часто возникает проблема синтеза модели технологического объекта по наблюдениям его входа и выхода.

Допустим, что структура модели задана, то есть определен оператор связи ее входа и выхода с точностью до ряда неизвестных коэффициентов

а = (a₁,….a₅):

где У – выход модели, X – ее вход, F – оператор связи (вид оператора предполагается заданным).

Оценку точности модели можно провести по скалярной функции невязки выходов объекта и модели вида

(25)

где У₀ – выход реального технологического объекта.

Понятно, что .

Тогда задача синтеза модели сводится к нахождению таких ее параметров (коэффициентов) ͞a, которые минимизируют невязку (25). Другими словами, требуется решить следующую задачу оптимизации:

где D – область допустимых значений для ͞a.

Эта задача довольно просто сводится к задаче оптимального управления в условиях постоянного временного синтеза модели (ее адаптации) (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Схема оптимального управления в условиях самонастраивающейся модели