5. Математические модели обучения
Первые попытки моделирования процессов обучения относятся, по-видимому, к 1907 г. (Gulliksen [1934]). До настоящего времени большинство исследователей ограничивается изучением частных ситуаций обучения и развивает модели, описывающие процесс обучения в этих ситуациях. Рассмотрим один из таких подходов. В экспериментах, которые имеются в виду, используется Т-образный коридор, показанный на рис. 9. Крыса, войдя в коридор, может повернуть направо (R) или налево (L). Предположим, что мы хотим "обучить" крысу поворачивать направо и пытаемся достичь этого, поощряя ее пищей, если она поворачивает направо, и, оставляя ее без поощрения, если она поворачивает налево.
Рис. 9. Г-образный коридор
Помещая крысу в Т-образный коридор и проводя серию испытаний, мы можем изучить последовательность ее ответов (R или L) и попытаться сделать некоторые предсказания относительно этой последовательности. Аналогичные эксперименты проводились и с участием людей. Состояли они в следующем. Перед испытуемым помещается табло, где находятся две лампочки. Начинается серия испытаний. Перед каждым опытом испытуемый предсказывает, какая лампочка загорится — правая или левая.
После этого в соответствии с определенным правилом загорается одна из лампочек. Предположим сначала для простоты, что мы постоянно зажигаем правую лампочку, т.е. всегда поощряем ответ R. Как и ранее, здесь нас интересует возможность предсказания последовательности ответов или некоторых ее свойств.
5.1. Линейная модель обучения
По-видимому, простейшая модель обучения - так называемая линейная модель. Эта модель предполагает, что обучение есть бесконечный процесс, уровень обученности постоянно возрастает, но состояние полного обучения не наступает никогда.
Для построения модели положим, что pt есть вероятность правильного ответа R при испытании номер t. Тогда qi = 1 - pi есть вероятность неправильного ответа при испытании t. Испытания будем нумеровать числами 0, 1, 2,... Таким образом, первое испытание имеет номер 0. В линейной модели предполагается, что с каждый новым испытанием вероятность qi убывает, причем коэффициент убывания остается постоянным для всех испытаний. Это означает, что существует константа α, 0 < α < 1 такая, что
|
qi+1 = α qi |
(1) |
Для вероятностей pi имеем
|
pi+1 = 1 – α(1-pi) = α pi + (1- α) |
(2) |
откуда, собственно, и проистекает название линейная модель. Постоянная α называется параметром модели. Это некоторая числовая величина, конкретное значение которой необходимо знать для применения данной модели к изучению различных процессов обучения. Оценка параметра α должна быть получена на основе экспериментальных данных.
Согласно прогнозу, сделанному на основе линейной модели, имеем
|
qt = αt q0 |
(3) |
или, что то же самое,
|
pt = 1 – αt q0 |
(4) |
Постоянная q0 — второй параметр модели, ее значение необходимо также оценить на основе экспериментальных данных. Построив зависимость рi от t получим так называемую кривую обучения (рис. 10).
Рис. 10. Кривая обучения для линейной модели и одноэлементной бинарной модели (модель Бауэра)
Модель позволяет сделать вывод, что в процессе обучения мы все более и более приближаемся к совершенству, и при достаточно больших значениях t вероятность правильного ответа близка к единице. Построенную модель можно проверить, вычислив среднее число ошибок, совершаемых при t испытаниях, если число испытуемых равно к. Это среднее равно kqt, и его можно сравнить с данными эксперимента.