3.3.2. Нормальный (гауссовский) закон распределения

Функции нормального распределения представлены на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Функции нормального распределения

Для случайных величин времени наработки элемента до отказа t функция распределения (вероятность того, что за время t возникнет отказ) (см. рис. 3.2,а) определяется формулой

(3.14)

Функция вероятности безотказной работы элемента для времени t (см. рис. 3.2, б) определяется формулой

(3.15)

Функция плотности вероятности отказа для времени t (см. рис. 3.2, в) определяется формулой

(3.16)

где S₀ и T₀ – параметры закона распределения (S₀ - среднеквадратическое отклонение случайной величины t относительно T₀; T₀ – среднее значение наработки до отказа t).

Максимальное значение плотности вероятности отказа элемента при t=T₀ равно

(3.17)

Функция интенсивности отказов элемента для времени наработки t (рис. 3.2, г) определяется формулой

(3.18)

Эта функция (см. рис. 3.2, г) монотонно возрастает, что является характерным признаком нормального распределения.

Для удобства вычислений формула (3.14) приводится к виду

, (3.19)

где Ф(и) – функция Лапласа (числовые значения даны в табл. П.2),

(3.20)

где – нормированное отклонение t относительно T₀.

Для аргумента t (времени наработки) по значению из табл. П.2 определяется функция F(t).

Для расчета функции f(t) (3.16) удобно воспользоваться значением функции из табл. П.3.

Нормальному распределению подчиняется время появления износовых отказов.

Экспоненциальный и нормальный законы образуют своеобразные крайние положения законов распределения случайных величин. Экспоненциальный имеет резко выраженный асимметричный характер функции f(t) и постоянное значение функции λ(t)=λ=const. Нормальный – строго симметричный характер функции f(t) и монотонное возрастание функции λ(t).

3.3.3. Закон распределения Вейбулла

Это распределение является промежуточным между экспоненциальным и нормальным. Оно удобно для подбора наиболее подходящего выражения для опытного распределения.

Функции распределения Вейбулла представлены на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Функции распределения Вейбулла

Плотность вероятности времени наработки элемента t до отказа (см. рис. 3.3, в) определяется формулой

(3.21)

где λ₀, α – параметры закона распределения.

Функция вероятности безотказной работы элемента за время t (см. рис. 3.3, б) определяется формулой

(3.22)

Функция вероятности отказа за время t (см. рис. 3.3, а) определяется формулой

(3.23)

Функция интенсивности отказов элемента за время t (см. рис. 3.3, г) определяется формулой

(3.24)

Величина средней наработки элемента до отказа равна

. (3.25)

Если α=1, то , то есть распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением, у которого λ=λ₀. Если α>1, то интенсивность отказов – монотонно возрастающая функция как у нормального закона распределения. Если α<1, то интенсивность отказов – монотонно убывающая функция.

Распределение Вейбулла для времени наработки элемента до отказа возникает обычно тогда, когда имеют место отказы различной физической природы (износ, старение, механические и электрические перегрузки и т.п.).