6.Динамика относительного движения материальной точки

6.1.Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

Если на материальную точку действуют некоторые силы, то движение точки под их действием представляется различным образом при наблюдении с неподвижной системы отсчета и с системы отсчета, имеющей некоторое переносное движение относительно неподвижной системы. Все кинематические характеристики точки, в частности и ускорения, различны в этих системах отсчета. Уравнение динамики материальной точки, отнесенное к «неподвижной» системе отсчета, имеет вид:

ma= F_k (k=1,…, n), (6.1)

где m—масса точки, a—ускорение точки, F_k – силы, приложенные к точке.

Воспользуемся кинематической теоремой Кориолиса о сложении ускорений для точки и представим вектор абсолютного ускорения точки в виде геометрической суммы векторов относительного, переносного ускорений и ускорения Кориолиса:

a=a_r+a_e+a_k (6.2)

Подставляя это выражение вместо a в (6.1), имеем:

m a_r+m a_e+m a_k=F (6.3)

Здесь введено F=F_k – равнодействующая всех непосредственно приложенных к рассматриваемой материальной точке сил.

Выражая из (6.3) m a_r через остальные члены, получаем:

m a_r=F+(- m a_e)+(- m a_k) (6.4)

Рассматривая правую часть равенства (6.4), можно сделать вывод, что сила, действующая на точку и создающая ее относительное ускорение, состоит из трех сил: непосредственно приложенной к точке силы F и двух дополнительных сил, наблюдаемых только в подвижной системе отсчета. Одну из этих сил называют переносной силой инерции и обозначают Ф_e:

Ф_e= - m a_e (6.5)

Переносная сила инерции точки в ее относительном движении направлена противоположно вектору переносного ускорения точки и численно равна произведению массы точки на величину (модуль) переносного ускорения точки.

Другую силу называют силой инерции Кориолиса, векторное выражение которой имеет следующий вид:

Ф_k= - m a_k (6.6)

Сила инерции Кориолиса направлена прямо противоположно ускорению Кориолиса точки и численно равна произведению массы точки на величину ускорения Кориолиса [a_k=2(_eV_r)].

Пользуясь равенствами (6.5) и (6.6), соотношение (6.4) можно представить в виде:

m a_r= F+ Ф_e+ Ф_k (6.7)

Выражая относительное ускорение через вторую производную от вектора R можно получить уравнение:

Md²R/dt²= F+ Ф_e+ Ф_k (6.7’)

Уравнение (6.7’) выражает динамическую теорему Кориолиса, которая формулируется так: относительное движение точки происходит под действием не только непосредственно приложенной силы F, но и под действием переносной силы инерции Ф_e и силы инерции Кориолиса Ф_k.

6.2.Частные случаи динамической теоремы Кориолиса

Предположим, что переносное движение подвижной системы координат – поступательное, т.е. _e=0, тогда a_k=2(_eV_r)0 и Ф_k=-ma_k0, а поэтому:

Ma_r=F+Ф_e, т.е. относительное движение точки происходит под действием только двух сил: непосредственно приложенной и переносной силы инерции.

Если предположить дополнительно, что оси подвижной системы координат движутся равномерно, прямолинейно и параллельно осям неподвижной системы координат, то проекции силы F на оси каждой системы координат одинаковы.

Инерциальными системами координат называются такие системы, по отношению к которым материальное тело может получать ускорение только вследствие реального воздействия на него других тел, но не вследствие движения системы координат.

Выясним, при каких условиях движение точки в подвижной системе координат является прямолинейным и равномерным с постоянной относительной скоростью V_r=const. Положим a_r=0 в уравнении (6.7):

F+Ф_e+Ф_k=0 (6.8)

Уравнение (6.8) выражает условие прямолинейного и равномерного движения точки в подвижной системе координат, имеющей переносное движение. Если в уравнении (6.8) положить V_r=0, что определяет условие собственно относительного равновесия точки (материальная точка, помещенная без начальной скорости в некоторое положение по отношению к подвижной системе координат, останется в этом положении равновесия), тогда a_k=0 и сила инерции Кориолиса также равна нулю.

Условие (6.8) в этом случае имеет вид Ф_e+F=0, которое формулируется так: для относительного равновесия материальной точки в подвижной системе координат необходимо и достаточно, чтобы непосредственно приложенная к точке сила и переносная сила инерции взаимно уравновешивались (V_r_e, V_r=const).

Пример. Груз А весом P скользит по боковой грани призмы В. Призма движется по горизонтальной плоскости с ускорением a_e. Коэффициент трения скольжения f.

Определить ускорение груза по отношению к призме и давление груза на боковую грань призмы.

Решение. Движение груза А является сложным: относительное движение – движение по отношению к боковой грани; переносное – движение вместе с призмой.

К грузу приложены силы (рис. 6.1): P – вес груза, N – нормальная реакция боковой грани, F_т.с. – сила трения скольжения.

Для решения задачи воспользуемся методом динамики относительного движения: ко всем силам, приложенным к материальной точке добавим силу инерции Ф_e в переносном движении и силу инерции Кориолиса. Так как переносное движение поступательное, то a_k=0 и Ф_k=0. Сила инерции Ф_e в переносном движении Ф_e=Pa_e/g.

Рис. 6.30

Составим дифференциальное уравнение относительного движения груза в проекции на ось X:

mX_r”=Psin – F_т.с. – Ф_ecos.

Учитывая, что F_т.с.=fN , получим:

X_r”=gsin-gfN/P-a_ecos (6.9)

Для определения нормальной реакции N боковой грани призмы составим дифференциальное уравнение относительного движения груза в проекции на ось Y:

MY_r”=N-Pcos-Ф_esin.

Так как Y_r”=0, получим:

N=P(cos+a_esin/g) (6.10)

Искомое давление груза на боковую грань призмы направлено противоположно N и равно ей по модулю. Подставив в уравнение (6.9) значение N из формулы (6.10), получим искомое относительное ускорение:

X_r”=g(sin-fcos)-a_e(cos+fsin).