- •Конспект лекций по курсу «механика» Часть 1
- •Введение
- •1.Основные понятия и аксиомы статики твердого тела
- •1.1.Основные понятия и определения
- •1.2.Аксиомы статики
- •1.3.Основные типы реакций связей
- •1.4.Система сходящихся сил
- •1.5.Момент силы относительно точки и оси
- •2.Плоская система сил
- •2.1.Различные формы условий равновесия плоской системы сил
- •2.2.Центр параллельных сил
- •2.3.Центр тяжести. Определение координат центра тяжести плоских фигур
- •3.Кинематика точки и твердого тела
- •3.1.Способы задания движения точки
- •3.1.1.Естественный способ задания движения точки
- •3.1.2.Координатный способ задания движения точки
- •3.2.Простейшие движения твердого тела
- •3.2.1.Поступательное движение
- •3.2.2.Вращательное движение
- •4.Сложное движение
- •4.1.Сложное движение точки
- •4.1.1.Относительное, переносное и абсолютное движение
- •4.1.2.Теорема о скорости точки в сложном движении
- •4.1.3.Плоскопараллельное движение твердого тела
- •4.1.4.Разложение плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное
- •4.1.5.Скорость точки плоской фигуры
- •4.1.6.Мгновенный центр скоростей и распределение скоростей точек плоской фигуры
- •5.Дифференциальные уравнения и основные задачи динамики материальной точки
- •5.1.Основные положения динамики. Аксиомы динамики
- •5.2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •5.3.Две основные задачи динамики точки
- •6.Динамика относительного движения материальной точки
- •6.1.Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •6.2.Частные случаи динамической теоремы Кориолиса
- •7.Динамика твердого тела
- •7.1.Понятие о механической системе
- •7.2.Принцип Даламбера
- •7.3.Основное уравнение динамики вращающегося тела
- •7.4.Моменты инерции простейших однородных тел
- •8.Элементы аналитической механики
- •8.1.Обобщенные координаты
- •8.2.Возможные перемещения
- •8.3.Принцип возможных перемещений
- •9.Основы теории колебаний, теории удара
- •9.1.Устойчивость положения равновесия
- •9.2.Колебания системы с одной степенью свободы
- •9.3.Общие положения теории удара
- •10.Задачи сопротивления материалов
- •10.1.Основные допущения
- •10.2.Напряжения
- •10.3.Перемещения и деформации. Закон Гука
- •11.Изгиб и кручение стержней
- •11.1.Расчеты на прочность при кручении стержней. Крутящий момент. Построение эпюр
- •11.2.Расчеты на прочность при изгибе стержней
- •11.3.Примеры
- •12.Устойчивость сжатых стержней
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Формула Эйлера для критической силы
- •12.3.Влияние способа закрепления концов стержня на значение критической силы
- •12.4.Практический расчет сжатых стержней
- •13.Теория тонких пластин
- •13.1.Основные понятия и гипотезы
- •13.2.Соотношения между деформациями и перемещениями
- •13.3.Напряжения и усилия в пластинке
- •13.4.Усилия в пластинке
- •13.5.Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки
- •14.Прочность материалов при циклически меняющихся напряжениях
- •14.1.Понятие об усталостном разрушении материала и его причины
- •14.2.Характеристики циклов напряжений
- •14.3.Предел выносливости
- •14.4.Факторы, влияющие на усталостную прочность материала
- •Библиографический список
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
7.3.Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело (рис. 7.2) под действием внешних сил Fek вращается вокруг оси OZ с угловым ускорением . Алгебраическая сумма моментов всех сил (активных сил и сил сопротивления) относительно оси OZ Mez=Mz(Fek) называется вращающим моментом. Найдем зависимость между угловым ускорением тела и действующим на него вращающим моментом Mez. Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем его на множество материальных точек с массами mk. При вращении тела каждая из этих точек движется по окружности радиуса k с ускорением ak , которое разложим на касательное ak и нормальное akn ускорения.
Рис. 7.32
Приложим к каждой материальной точке элементарные силы инерции: касательную Фk =-mak и нормальную Фkn =-makn. Согласно принципу Даламбера, активные силы, силы реакций связей и силы инерции образуют уравновешенную систему. Поэтому алгебраическая сумма моментов всех этих сил относительно оси OZ должна быть равна нулю:
MezФkk=0 (7.7)
(моменты сил Фkn относительно оси OZ равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось). Касательная сила инерции Фk=mkk , где угловое ускорение тела. Подставляя значение сил инерции в уравнение (7.7), получим:
Mez=mkk2.
Величина mkk2=Jz, равная сумме произведений масс точек на квадрат их расстояний от оси вращения, называется моментом инерции тела (системы) относительно этой оси. Введя в последнее равенство принятое обозначение, получим основное уравнение динамики вращающегося тела:
Mez=Jz (7.8)
Момент инерции выражает меру инертности тела при вращательном движении. Выражению Jz можно придать интегральную форму:
Jz=vk2dmk (7.9)
Из формулы (7.9) следует, что значение момента инерции зависит главным образом от распределения массы тела относительно оси вращения (рис. 7.7).
На рисунке изображены три колеса одинакового диаметра и массы, но различной формы. Ввиду того, что момент инерции тела складывается из элементарных моментов инерции mkk2 отдельных точек, ясно, что при одинаковой массе из трех колес момент инерции второго наибольший, а третьего – наименьший J2J1>J3. Иногда для упрощения расчетов используют понятие радиуса инерции тела iz=Jz/m, откуда iz2=Jz/m, и тогда момент инерции тела
Jz=miz2 (7.10)
Рис. 7.33
7.4.Моменты инерции простейших однородных тел
Момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и расположенной у одного из его концов (рис. 7.4).
Рис. 7.34
Принимая во внимание однородность стержня и постоянство поперечного сечения по всей длине, учтя, что =m/l – масса единицы длины стержня, получим:
Jz=l3/3
Подставив вместо ее значение m/l , получим Jz=ml2/3.
Момент инерции этого же стержня относительно оси zc, проходящей через середину стержня (рис. 7.5).
Рис. 7.35
Ось zc называется центральной, так как проходит через центр тяжести тела. Момент инерции для этого случая определяется по формуле:
Jzc=ml2/12
Для моментов инерции тела относительно параллельных осей существует зависимость (теорема Гюйгенса):
Jz=Jzc+me2,
где Jz – момент инерции относительно данной оси; Jzc – момент инерции относительно центральной оси, параллельной данной; m – масса тела и e – расстояние между осями.
Момент инерции тонкой круглой однородной пластинки относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости пластинки (рис. 7.6).
Рис. 7.36
Масса пластинки m, радиус пластинки r. Момент инерции пластинки определяется зависимостью: Jzc=mr2/2
Момент инерции сплошного однородного цилиндра массой m относительно его геометрической оси (рис. 7.7).
Рис. 7.37
Определяется по формуле Jzc=mr2/2, так как цилиндр можно представить состоящим из тонких однородных дисков одного и того же радиуса r.
Момент инерции полого цилиндра массой m, относительно геометрической оси z выражается формулой:
Jz=m(r2+r02)/2,
где r – наружный радиус, а r0 – внутренний радиус цилиндра (рис. 7.8).
Рис. 7.38