13.2.Соотношения между деформациями и перемещениями

Исследуем пластинку, несущую поперечную нагрузку, т.е. нагрузку, нормальную к срединной плоскости пластинки.

Следуя первой гипотезе _z=w/z=0, откуда следует, что прогибы пластинки w не зависят от координаты z, т.е. w=w(x,y). Это означает, что все точки пластинки, лежащие на одной вертикали, получают одинаковые перемещения. Следовательно, достаточно определить прогибы срединной плоскости пластинки, чтобы знать вертикальные перемещения всех ее точек.

Согласно первой гипотезе, любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости, всегда направлен вдоль оси z , т.е. сдвиги в плоскостях _yz =_zx=0.

Учитывая последнее равенство и гипотезу недеформируемости срединной плоскости, можно найти перемещения вдоль осей x и y, выраженные через функцию прогибов срединной плоскости пластинки:

u=-zw/x; v=-zw/y.

Составляющие деформации пластинки, отличные от нуля, определяются по формулам:

_x=u/x= –z²w/x²; _y=v/y= –z²w/y²; (13.1) _xy=u/y+v/x= –2z²w/xy.

13.3.Напряжения и усилия в пластинке

Для вычисления нормальных напряжений _x и _y воспользуемся законом Гука:

_x=(_x-_y)/E; _y=(_y-_x)/E.

Учитывая (1), получим выражения для определения напряжений через функцию прогибов срединной плоскости пластинки:

_x=-Ez [²w/x²+²w/y²] /(1-²); _y=-Ez [²w/y²+²w/x²] /(1-²).

После подстановки угловой деформации из (13.1) в формулу закона Гука для касательных напряжений, получим:

_xy=E_xy/[2(1+)]=-Ez/(1+)[²w/xy].

Касательные напряжения в двух других плоскостях, согласно первой гипотезе, равны нулю. Однако такой результат получен только вследствие принятых ранее гипотез. В действительности эти касательные напряжения не равны нулю, поскольку это противоречит условиям равновесия. Касательные напряжения в плоскостях yz и zx определяются по зависимостям:

_yz=E/2(1-²) [(h²/4-z²)/y²w]; _zx=E/2(1-²) [(h²/4-z²)/x²w],

где обозначено ²=²w/x²+²w/y².

На рис. 13.2 показаны эпюры этих напряжений по толщине пластинки.

Рис. 13.59

13.4.Усилия в пластинке

Исследуем, какие усилия соответствуют напряжениям в сечениях пластинки, нормальных к ее срединной плоскости. На рис. 13.3 изображен бесконечно малый элемент пластинки.

Рис. 13.60

Изгибающий момент M_x, приходящийся на единицу длины рассматриваемого сечения и представляющий собой сумму элементарных моментов _xdzz:

Величина D=Eh³/[12(1-²)] называется цилиндрической жесткостью.

Аналогично подсчитываются изгибающие и крутящие моменты, а также поперечные силы, возникающие в сечениях пластинки под действием поперечной нагрузки (рис. 13.4):

M_y= -D( ²w/y ²+ ²w/x ²); H= -D(1-) ²w/xy; Q_x= -D/x ²w; Q_y= -D/y ²w.

Рис. 13.61

13.5.Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки

Рассмотрим вырезанный из срединной плоскости пластинки бесконечно малый элемент (рис. 13.5).

На его противоположных гранях действуют усилия, отличающиеся друг от друга на величину приращения исследуемого усилия на бесконечно малом расстоянии, определяемом размерами сторон выделенного элемента.

Для того, чтобы рассматриваемый элемент срединной плоскости находился в равновесии, должны удовлетворяться шесть условий равновесия: три уравнения проекций сил на координатные оси и три уравнения моментов относительно этих осей. При этом все усилия следует умножать на длину грани, по которой они действуют.

Рис. 13.62

Проекция всех сил на ось z дает:

Q_x/x+Q_y/y= -q.

Уравнения моментов всех сил относительно осей x и y:

M_x/x+H/y=Q_x;

M_y/y+H/x=Q_y.

Исключая из последних уравнений поперечные силы, получим:

²M_x/x²+2²H/xy+²M_y/y²= - q.

Подставляя в это уравнение выражения для изгибающих и крутящего моментов, выраженные через прогиб срединной плоскости пластинки, получим:

D(⁴w/x⁴+2⁴w/x²y²+⁴w/y⁴)=q.

Это основное уравнение изгиба пластинки носит название уравнения Софи Жермен.