8.3.Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений выражает условия равновесия точки или материальной системы, находящейся под действием заданной системы активных сил и при заданных связях. Для равновесия материальной системы (в некоторой инерциальной системе отсчета), находящейся под действием активных сил и подчиненной голономным, идеальным, неосвобождающим, стационарным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил равнялась нулю на любом возможном перемещении системы из предполагаемого положения равновесия, т.е.:

F_kr_k=0, (k=1,…,N).

9.Основы теории колебаний, теории удара

9.1.Устойчивость положения равновесия

Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т.е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т.е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз.

Рассмотрим стержень с горизонтальной осью вращения (рис. 9.1).

Рис. 9.40

Стержень имеет два положения равновесия при =0 и =180. В положении равновесия силы, приложенные к стержню, составляют уравновешенную систему сил. Чтобы установить, будет ли рассматриваемое положение равновесия стержня устойчивым, следует дать стержню достаточно малое начальное отклонение от положения равновесия. В отклоненном положении силы, действующие на стержень, уже не являются уравновешенными.

Если существует такое достаточно малое отклонение стержня от положения равновесия, при котором силы стремятся вернуть стержень в положение равновесия, то такое положение равновесия считается устойчивым (рис.1,а).

В случае, когда силы еще дальше удаляют стержень от положения равновесия, положение является неустойчивым (рис.1,б).

Если стержень, получив малое начальное отклонение от положения равновесия, остается в равновесии в новом отклоненном положении, то такое положение равновесия называется безразличным (рис.1,в).

Все изложенное о положении равновесия стержня характерно не только для любого твердого тела, но и для любой механической системы.

При устойчивом положении равновесия системы, выведенная из положения равновесия достаточно малыми возмущениями в виде начальных отклонений и скоростей, которые сообщаются всем точкам системы или их части, совершает колебания около положения равновесия или приближается к нему без колебаний. При неустойчивом положении равновесия случайные возмущения приводят к тому, что система при дальнейшем движении все дальше и дальше удаляется от положения равновесия.

Условимся обобщенные координаты q₁, q₂, … , q_n отсчитывать от положения равновесия системы, т.е. принимать их равными нулю в положении равновесия. Начальное возмущение системы состоит в общем случае из начальных значений обобщенных координат q₁⁰, q₂⁰, … , q_n⁰ и начальных обобщенных скоростей q₁⁰’, q₂⁰’, …, q_n⁰’.

Равновесие системы называется устойчивым, если для всякого как угодно малого положительного числа  можно выбрать два других малых положительных числа ₁, ₂, что при начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям q_i⁰<₁, q_i^0’<₂, в дальнейшем движении механической системы выполняются условияq_i(t)< для каждой обобщенной координаты.

В положении равновесия механической системы каждая обобщенная сила Q_i равна нулю. Для случая потенциального силового поля обобщенные силы выражаются через потенциальную энергию по формулам:

Q_i=-П/q_i, i=1, 2, …, n.

Следовательно, в положении любого равновесия П/q_i=0 и поэтому потенциальная энергия при этом достигает своего экстремального значения.