2.5.2. Фильтры верхних частот

Рис. 2.13. ЛАЧХ и ЛФЧХ ФВЧ

Рис. 2.12. Простой фильтр верхних частот

Фильтр верхних частот (ФВЧ) — это схема, которая передает без изменений сигналы высоких частот, а на низких обеспечивает затухание сигналов и опережение их по фазе относительно входных сигналов. Схема простого RC-фильтра верхних частот приведена на рис. 2.12.

На рис. 2.13 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ фильтра верхних частот:

Реакция цепи на импульс напряжения описывается формулой:

(2.34)

а) б)

Рис. 2.14. Реакция ФВЧ на скачок напряжения

Для определения начального значения U_вых.0= =U_вых(0) используем дополнительное соображение: в момент, когда входное напряжение изменяется скачкообразно, заряд конденсатора остается неизменным. Он действует как источник напряжения U=Q/C. Выходное напряжение повторяет скачок ΔU входного напряжения (рис. 2.14, а) от нуля до U₁, а затем убывает по экспоненте, согласно равенству (2.34), снова до нуля. Если входное напряжение скачком изменяется от U₁ до нуля, то U_вых скачком уменьшается от нуля до –U₁ (рис. 2.14, б).

При этом важно заметить, что выходное напряжение имеет отрицательные значения, хотя входное напряжение всегда положительно. Это обстоятельство часто используется в схемотехнике.

Рис. 2.15. Импульсный режим работы ФВЧ при различных соотношениях частоты и постоянной времени: верхняя кривая: f≥10f_ср (T≤0,1τ); средняя кривая: f≈f_ср (T≈τ)_; нижняя кривая: f≤0,1f_ср (T≥10τ)

Фильтр верхних частот как дифференцирующее звено. Если приложено входное напряжение с частотой f<<f_ср, то |U_вых|<<|U_вх|. Тогда

(2.35)

Таким образом, низкочастотное входное напряжение дифференцируются. Вид переходных характеристик ФВЧ показан на рис. 2.15.

Фильтр верхних частот как элемент RC-связи. Если на входе фильтра верхних частот приложено напряжение прямоугольной формы с периодом Т<<RC, то конденсатор в течение половины периода почти полностью перезаряжается и выходное напряжение будет равно входному с точностью до постоянной величины.

Поскольку через конденсатор не может протекать постоянный ток, среднее значение выходного напряжения равно нулю. Следовательно, постоянная составляющая входного напряжения не передается. На этом основано применение фильтра верхних частот в качестве элемента RC-связи.

Используя логарифмическое представление, можно перейти от нижних частот к верхним, зеркально отобразив амплитудно-частотную характеристику коэффициента передачи относительно частоты среза, т. е. заменив Ω на 1/Ω или S на 1/S. При этом частота среза остается без изменения, а k₀ переходит в k_∞. Из выражения (2.30) при этом получим передаточную функцию фильтра верхних частот:

(2.36)

2.5.3. Полосовые фильтры

Рис. 2.16. Функциональная схема ППФ

Путем последовательного соединения ФНЧ и ФВЧ получают полосовой фильтр, который также называют полосно-пропускающим фильтром (ППФ). Функциональная схема фильтра представлена на рис. 2.16.

Его выходное напряжение равно нулю на высоких и низких частотах. Одна из возможных схем представлена на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Пассивный ППФ

Путем замены переменных можно преобразовать амплитудно-частотную характеристику фильтра нижних частот в амплитудно-частотную характеристику полосового фильтра. Для этого в передаточной функции фильтра нижних частот необходимо произвести следующую замену переменных:

(2.37)

Рис. 2.18. Преобразование нижних частот в полосу частот

В результате такого преобразования АЧХ фильтра нижних частот, лежащая в диапазоне 0<Ω<1, переходит в правую часть полосы пропускания полосового фильтра (1<Ω<Ω_макс). Левая часть полосы пропускания является зеркальным отражением (в логарифмическом масштабе) правой части относительно средней частоты полосового фильтра Ω=1. При этом Ω_мин=1/Ω_макс. Рис. 2.18 иллюстрирует такое преобразование.

Нормированная ширина полосы пропускания фильтра ΔΩ=Ω_макс–Ω_мин может выбираться произвольно. Из рис. 2.18 следует, что полосовой фильтр на частотах Ω_макс и Ω_мин обладает таким же коэффициентом передачи, что и ФНЧ при Ω=1. Если параметры ФНЧ нормированы относительно частоты среза, на которой его коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ, то значение ΔΩ также будет нормированной шириной полосы пропускания. Учитывая, что ΔΩ=Ω_макс–Ω_мин и Ω_максΩ_мин=1, получим выражение для вычисления нормированных частот среза полосового фильтра, на которых его коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ:

(2.38)

Избирательный (селективный) фильтр предназначен для выделения из сложного сигнала монохромной составляющей и, по сути, является узкополосным полосовым фильтром. Фильтры этого типа имеют АЧХ, подобные амплитудно-частотным характеристикам колебательных LC-кон­туров. Характерным для этих фильтров является пик АЧХ в области резонансной частоты f_р. Характеристикой избирательности фильтра является добротность Q, определяемая как отношение резонансной частоты к полосе пропускания, т. е.

(2.39)

Передаточную функцию простейшего полосового фильтра можно получить, применив преобразование (2.37) к передаточной функции ФНЧ первого порядка. В результате получим:

(2.40)

Подставив выражение для добротности (2.39) в соотношение (2.40) и изменив обозначение k₀ на k_∞, получим передаточную функцию полосового фильтра:

(2.41)

Это выражение дает возможность определить основные параметры полосового фильтра второго порядка непосредственно из его передаточной функции.