2.2. Методы исследования прохождения сигналов

На практике принято оценивать поведение элемента системы и системы в целом по передаточной функции, определяющей изменения выходного сигнала при любых изменениях входной величины. Знание передаточной функции устройства позволяет определить его статические и динамические характеристики, характеризующие поведение устройства соответственно в установившемся и переходном режимах. Причем переходной процесс зависит не только от свойств устройства, но и от характера входного воздействия.

Любое устройство можно рассматривать как систему, состоящую из определенным образом взаимодействующих (функционально связанных) элементов. В подавляющем большинстве случаев с достаточной степенью точности динамические процессы в этих элементах описываются линейными дифференциальными уравнениями¹ вида

(2.1)

где y(t) и x(t) — соответственно выходной и входной сигналы; a_i, b_j — постоянные коэффициенты; m≤n. Уравнения вида (2.1) называют уравнениями динамики, поскольку они описывают объекты, обладающие инерцией, в которых изменения y под действием x происходят не мгновенно. В простейшем случае обычной функциональной зависимости y=F(x) имеем уравнение статики, а описываемый им объект называют статическим или безынерционным.

В основе метода передаточных функций лежит изучение качественного поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений для систем с одним входом и одним выходом с использованием преобразований Лапласа и частотной теории (преобразований Фурье).

Для функции f аргумента t преобразование Лапласа имеет следующий вид:

Получаемый интеграл, т. е. L[f(t)], является функцией только аргумента s: L[f(t)]=F(s). F(s) является преобразованием Лапласа функции f(t). Символ «L» обозначает оператор Лапласа, который, примененный к функции f(t), дает функцию F(s).

Перейдем в обеих частях уравнения (2.1) к изображениям Лапласа, используя свойства линейности {L[af(t)]=aL[f(t)]=aF(s)} и дифференцирования {L[df(t)/dt]=sF(s)–f(0)} оригинала и полагая нулевые начальные условия:

или

(2.2)

где s=σ+jω — комплексный параметр преобразования Лапласа, имеющий размерность частоты (с^–1) и являющийся, по сути, оператором производной; A_n(s) и B_m(s) — полиномы от s порядка n и m (собственный оператор и оператор воздействия соответственно); Y(s)=L[y(t)] и X(s)=L[x(t)] — изображения функций y(t) и x(t) соответственно.

Передаточная функция W(s) есть отношение изображений выходного и входного сигналов:

(2.3)

так что

(2.4)

Почему преобразование Лапласа так важно для нас? Потому что оно позволяет решать дифференциальное уравнение при помощи алгебраических выражений, используя операторы.

Особенно интересен случай, когда f(t) является периодической функцией, скажем, f(t)= =sint:

Аналогично

Но поскольку sin't=ωcost и L[sin't]=sL[sint]=sω/(s²+ω²)=ωL[cost], то для синусоидальных периодических функций можно пользоваться s как оператором производной.

Другое интересное преобразование Лапласа — L(1):

Частным случаем преобразования Лапласа является преобразование Фурье, при котором функции вещественного переменного f(t) ставится в соответствие частотная функция F(jω), называемая частотным спектром. Для перехода от передаточной функции W(s) к частотной передаточной функции (комплексному коэффициенту передачи, усиления) W(jω) достаточно заменить s на jω. Учитывая, что любой периодический негармонический сигнал может быть представлен в виде ряда Фурье и что характеристики устройств, преобразующих аналоговые сигналы, линейны или близки к ним, сигнал на их выходе может быть определен как сумма всех гармоник выходного сигнала.

Почему мы используем преобразования? Какой-либо входной сигнал во временной области может быть преобразован в другой сигнал или функцию в частотной области. Преобразованный сигнал может быть изменен с помощью передаточной функции какого-либо преобразователя и затем преобразован обратно во временную область для отображения. Преобразование сигнала дает информацию о частотном составе (спектре) сигнала.

Для анализа схемы выполняют s-преобразование передаточной функции схемы и применяют, при необходимости, алгебраический анализ (выполнение которого намного легче, чем дифференциального), затем результат преобразуется обратно во временную или частотную область.

Частотная передаточная функция является комплексной величиной и может быть представлена как

W(jω)=U(ω)+jV(ω). (2.5)

Вещественную часть W(jω) называют вещественной частотной характеристикой, мнимую часть — мнимой частотной характеристикой. На комплексной плоскости W(jω) изображается как вектор, конец которого при изменении ω от 0 до ∞ описывает кривую, называемую амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) или годографом. Длина этого вектора A(ω)=|W(jω)| характеризует степень изменения амплитуды входного сигнала, а угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью, φ(ω)=argW(jω) — изменение его фазы. Амплитудно-фазовая частотная характеристика широко используется для оценки качества прохождения сигнала через аналоговые (линейные) электронные цепи, характеризуя, как эти цепи воздействуют на амплитуду и сдвиг фазы входного сигнала.

Функции W(jω) в форме (2.5) можно записать через амплитудную A(ω) и фазовую φ(ω) частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) — представить в показательной или тригонометрической форме:

W(jω)=A(ω)e^jφ(ω)=A(ω)[cosφ(ω)+jsinφ(ω)], (2.6)

где

(2.7)

Если argW(jω)π/2, то

(2.8)

Передаточная функция полностью определяет динамику преобразователя, однако она не дает возможности составить наглядное представление о его динамических свойствах.

Переходная функция h(t), в отличие от передаточной функции, имеет наглядное графическое выражение закона изменения выходного сигнала преобразователя при подаче на его вход единичной ступенчатой функции 1(t), значение которой равно единице при t>0.

Переходную характеристику можно получить по изображению функции y₁(t) выход­ного сигнала при x(t)=1(t) и X(s)=1/s. При этом из уравнения (2.2) получаем соотношение

(2.9)

с помощью которого по таблицам изображений функций определяется оригинал переходной функции h(t).

Подача на вход средства измерения ступенчатого сигнала в A раз большего или меньшего единицы приведет к изменению только масштаба переходного процесса на выходе устройства, характер же его полностью сохранится.

Переходная функция преимущественно используется для анализа импульсных систем, поскольку ступенчатая функция сама по себе является частью импульсного сигнала.

Импульсной переходной w(t) или весовой функцией называют функцию, описывающую реакцию системы на кратковременное единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях, продолжительность которого τ много меньше времени установления выходного сигнала данного средства измерений.

Числовой характеристикой входного импульсного воздействия является величина

(2.10)

Для определения характера переходного процесса на выходе средства измерений при реальном импульсном входном воздействии необходимо помимо значения V найти реакцию y_1имп(t) средства измерений на единичный идеальный импульс x_1имп(t) с продолжительностью τ→0, для которого

(2.11)

При известной реакции y_1имп(t) устройства на единичный импульс реакция на реальный импульсный сигнал x_имп(t) будет

(2.12)

Идеальный прямоугольный импульс длительностью τ и V=1 имеет амплитуду |U_имп|= =1/τ. При этом, если τ→0, то U_имп→∞. В этом случае функцию x_имп(t) называют импульсной функций Дирака δ(t), для которой справедлива запись δ(t)=1'(t). После замены оригиналов функций их изображениями получим Δ(s)=s·1/s=1.

В соответствии с выражением (2.4) изображение функции выходного сигнала определяется произведением передаточной функции преобразователя на изображение его входного сигнала. А так как изображение идеального входного импульса равно единице, то для изображения выходного сигнала y_1имп(t) получаем Y_1имп(s)=W(s), т. е. импульсная переходная функция w(t) при единичном импульсном сигнале с τ→0 есть оригинал передаточной функции преобразователя. Тогда y_1имп(t)=w(t)=h'(t).

При подаче на вход преобразователя реального импульса конечной длительности τ выходной сигнал описывается соотношением

(2.13)

Между передаточной функцией, амплитудно-фазовой частотной характеристикой (комплексным коэффициентом усиления), переходной функцией и дифференциальным уравнением, описывающим работу преобразователя, существует однозначная зависимость, поскольку они являются различными формами отражения одного и того же физического факта — преобразования воздействий, поступающих на вход устройства.

Решение задач, связанных с определением динамических характеристик электронных устройств, и, прежде всего работающих в линейном режиме, удобно выполнять при использовании логарифмического масштаба, так как при этом существенно упрощаются графические построения, а операции умножения и деления заменяются более простыми операциями сложения и вычитания.

В практике пользуются логарифмами относительных величин. При построении логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) по оси ординат откладывают величину L=20lg|W(jω)|=20lgA(ω), имеющую размерность децибел, а по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе — декадах, соответствующих изменению частоты в десять раз; наносят отметки, соответствующие lg(ω), а около отметок пишут само значение частоты ω в рад/с. При использовании этих единиц измерения масштабная сетка получается равномерной. Следует учесть, что точка ω=0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg(0)=–∞. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход логарифмической амплитудно-частотной характеристики. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс соответствует A(ω)=1. Начало координат обычно помещают в точке ω=1, так как lg(1)=0.

В большинстве случаев ЛАЧХ аппроксимируют асимптотами с наклоном, кратным 20 дБ/дек, так что она может быть построена непосредственно по передаточной функции. Каждому сомножителю типа sT+1 в знаменателе соответствует при ω_с=1/T точка излома характеристики, совпадающей с осью абсцисс, с последующим наклоном –20 дБ/дек, а каждому сомножителю такого типа в числителе — точка излома при ω_с=1/T с последующим наклоном +20 дБ/дек. Частоту ω_с=1/T, при которой сопрягаются асимптоты, называют сопрягающей. Сомножители в знаменателе типа (sT)²+2ξsT+1, 0<ξ<1, дают наклон –40 дБ/дек. Коэффициент ξ называют коэффициентом демпфирования. Звенья, передаточные функции которых есть простые сомножители, называют элементарными. Элементарное звено называют колебательным, если 0<ξ<1, консервативным, если ξ=0, и апериодическим второго порядка, если ξ1.

Построив характеристику каждого из сомножителей передаточной функции, простым сложением этих характеристик получают искомую ЛАЧХ преобразователя.

Применим, для примера, операторный метод к электрическому фильтру нижних частот (пассивному интегратору) (рис. 2.1).

Рис. 2.1. RC-фильтр нижних частот

Анализ во временной области (t-области):

(2.14)

Рис. 2.2. Изменение напряжения на выходе интегратора при подаче на вход прямоугольных импульсов

Это дифференциальное уравнение 1-го порядка, включающее производную по времени. Его решение описывает поведение выходного напряжения при изменении входного.

Если RC велико, то вторым слагаемым в левой части можно пренебречь и напряжение на выходе схемы

(2.15)

пропорционально интегралу по времени от входного напряжения (рис. 2.2).

Если входной сигнал синусоидальный, то выходной сигнал косинусоидальный (имеется и виду смещение фазы сигнала между входом и выходом, составляющей для интегратора /2), амплитуда которого уменьшается с увеличением частоты входного сигнала.

Анализ в частотной области (-области):

(2.16)

Рис. 2.3. Характеристики инерционного звена: а — амплитудно-фазовая; б — ЛАЧХ и ЛФЧХ; в — переходная

Как видим, частотная передаточная функция содержит комплексные числа и поэтому графически может быть представлена на комплексной плоскости в виде годографа — амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ), рис. 2.3, а:

Модуль и фаза передаточной функции равны:

При =1/(RC) или 20lg|W(j)|=–3 дБ, =–/4 (рис. 2.3, б).

Анализ в s-области:

(2.17)

Выражение (2.17) не является дифференциальным выражением, а является простым алгебраическим выражением, включающим дифференциальный оператор s.

Если RC велико, то

— сравните с (2.15)! Это показывает, что в данном случае s является дифференциальным оператором.

Положив в (2.17) s=jω, получим

что совпадает с (2.16)! Это показывает, что в данном случае s=j.

На рис. 2.3, в показана реакция на выходе фильтра при ступенчатом изменении входного сигнала, полученная путем перехода к оригиналу от изображения W(s)/s.

Операционное счисление позволяет избежать дифференциальных уравнений во временной области и сложных алгебраических вычислений в частотной области.

Для синусоидальных периодических функций можно положить s=j и пользоваться s как оператором производной. Так, в наших расчетах анализ в s-области позволяет нам получить информацию о частотах и фазе сигналов (для анализа в частотной области) или дифференциальную по времени информацию (при анализе во временной области).

Для анализа схемы выполняют s-преобразование передаточной функции схемы и применяют, при необходимости, алгебраический анализ (выполнение которого намного легче, чем дифференциального), затем результат преобразуется обратно во временную или частотную область.

Данная процедура справедлива, потому что при применении преобразования Лапласа к синусоидальной периодической функции s является дифференциальным оператором и также отождествлена с произведением j.