- •Тема 1. Модели линейного программирования
- •Примеры задач линейного программирования
- •Выражения (1.1), (1.2) и (1.3) составляют экономико-математическую модель задачи линейного программирования.
- •2. Задача оптимального использования ресурсов
- •Условия неотрицательности получаемого решения
- •Условие неотрицательности решения
- •4. Задача составления оптимальной смеси (задача диеты)
- •Условие неотрицательности решения
- •Условие неотрицательности решения
- •Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •Решение задач линейного программирования симплекс-методом
- •Тема 2. Транспортная задача
- •Нахождение первоначального опорного плана
- •Циклы пересчёта
- •Открытая транспортная задача
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих дополнительные условия
- •Распределительный метод решения транспортной задачи
- •Метод потенциалов
- •Тема 3. Сетевые модели и методы
- •Сетевая модель и ее основные элементы
- •Допустим, перед фирмой стоит задача реконструкции помещения. Перечень работ представлен в табл. 3.1. Сетевой график представлен на рис. 26.
- •Правила построения сетевых графиков
- •Понятие пути
- •Построение графика Ганта
- •Расчет временных параметров событий
- •Поздний срок свершения завершающего события
- •Расчет временных параметров работ
- •Сетевое планирование в условиях неопределённости
- •Тема 4. Элементы теории массового обслуживания
- •Классификация систем массового обслуживания
- •Расчёт показателей качества функционирования систем массового обслуживания
- •(Замкнутая система массового обслуживания)
- •Тема 5. Модель межотраслевого баланса
- •Характеристика основных разделов и схема межотраслевого баланса
- •Основные балансовые соотношения
- •Экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Модель Леонтьева
- •Методы отыскания вектора валовых выпусков
- •Отыскание вектора конечной продукции
- •Смешанная задача межотраслевого баланса
- •Коэффициенты полных материальных затрат
- •Коэффициенты косвенных затрат
- •Тема 6. Модели управления запасами
- •Тема 7. Элементы теории игр
- •Матричные игры
- •Игра с седловой точкой
- •Решение игры в смешанных стратегиях
- •Игра два на два (2 х 2)
- •Геометрическое решение игры
- •Игры 2 х n и m х 2
- •Тема 8. Элементы теории статистических игр. Игры с «природой»
- •Критерии выбора стратегии
- •Заключение
- •Библиографический Список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Игра с седловой точкой
Если в матричной игре нижняя и верхняя цены игры совпадают, то такая игра имеет «седловую точку» в чистых стратегиях, а число = = называют ценой игры. В этом случае решением игры, т.е. оптимальным поведением для обоих игроков являются их максиминная для игрока А и минимаксная для игрока В стратегии игры. Любое отклонение игроков от своих оптимальных стратегий не может оказаться им выгодным. Элемент платежной матрицы, отвечающий оптимальным стратегиям, называется седловой точкой.
Пример. Пусть игра задана следующей платежной матрицей:
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
i |
А
-
лучшая
стратегия
для
игрока
А
– (А3) |
9 |
3 |
8 |
2 |
2 |
А2 |
4 |
2 |
7 |
3 |
2 |
А 3 |
6 |
4 |
7 |
8 |
4 |
А 4 |
5 |
3 |
4 |
7 |
3 |
j |
9 |
4 |
8 |
8 |
|
цена игры = = = 4 |
|||||
min max - лучшая стратегия для игрока В – (В2) |
Игра в смешанных стратегиях
Если платежная матрица не имеет седловой точки, то если игрок будет пользоваться смешанными стратегиями, т.е. при каждом ходе менять стратегию случайным образом, то игрок А выигрывает больше, чем , а игрок В проигрывает больше, чем .
Рассмотрим платежную матрицу (7.1). Пусть игрок А использует чистые стратегии А1, А2, … Аi,…Аm с вероятностями p1, p2, … pi,…pm, причем =1, а игрок В использует свои чистые стратегии В1, В2, … Вj,…Bn с вероятностями q1, q2, … qj,… qn, причем = 1.
Тогда набор SA = (p1, p2, … pi,…pm) называется смешанной стратегией игрока А, а набор SB = (q1, q2, … qj,… qn) - смешанной стратегией игрока В.
Поскольку игроки выбирают свои стратегии случайным образом, то вероятность выбрать комбинацию АiВj по теории вероятности равна (Pi qj). При использовании смешанных стратегий игра становится случайной, тогда говорят о среднем значении выигрыша, который определяется платежной функцией
f(SA, SB) = . (7.2)
Смешанные стратегии = ( , ,… … ) и = ( , ,… … ) называются оптимальными, т.е. дающими каждой стороне максимальный возможный для нее средний выигрыш (для А) или минимальный средний проигрыш (для В), если они образуют седловую точку для платежной функции (7.2), т.е. если выполняется следующее условие:
f(SA, ) f( , ) f( , SB).
Величина = f( , SB) называется ценой игры.
Теорема 2. В смешанных стратегиях любая матричная игра имеет седловую точку, или каждая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях.