- •Тема 1. Модели линейного программирования
- •Примеры задач линейного программирования
- •Выражения (1.1), (1.2) и (1.3) составляют экономико-математическую модель задачи линейного программирования.
- •2. Задача оптимального использования ресурсов
- •Условия неотрицательности получаемого решения
- •Условие неотрицательности решения
- •4. Задача составления оптимальной смеси (задача диеты)
- •Условие неотрицательности решения
- •Условие неотрицательности решения
- •Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •Решение задач линейного программирования симплекс-методом
- •Тема 2. Транспортная задача
- •Нахождение первоначального опорного плана
- •Циклы пересчёта
- •Открытая транспортная задача
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих дополнительные условия
- •Распределительный метод решения транспортной задачи
- •Метод потенциалов
- •Тема 3. Сетевые модели и методы
- •Сетевая модель и ее основные элементы
- •Допустим, перед фирмой стоит задача реконструкции помещения. Перечень работ представлен в табл. 3.1. Сетевой график представлен на рис. 26.
- •Правила построения сетевых графиков
- •Понятие пути
- •Построение графика Ганта
- •Расчет временных параметров событий
- •Поздний срок свершения завершающего события
- •Расчет временных параметров работ
- •Сетевое планирование в условиях неопределённости
- •Тема 4. Элементы теории массового обслуживания
- •Классификация систем массового обслуживания
- •Расчёт показателей качества функционирования систем массового обслуживания
- •(Замкнутая система массового обслуживания)
- •Тема 5. Модель межотраслевого баланса
- •Характеристика основных разделов и схема межотраслевого баланса
- •Основные балансовые соотношения
- •Экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Модель Леонтьева
- •Методы отыскания вектора валовых выпусков
- •Отыскание вектора конечной продукции
- •Смешанная задача межотраслевого баланса
- •Коэффициенты полных материальных затрат
- •Коэффициенты косвенных затрат
- •Тема 6. Модели управления запасами
- •Тема 7. Элементы теории игр
- •Матричные игры
- •Игра с седловой точкой
- •Решение игры в смешанных стратегиях
- •Игра два на два (2 х 2)
- •Геометрическое решение игры
- •Игры 2 х n и m х 2
- •Тема 8. Элементы теории статистических игр. Игры с «природой»
- •Критерии выбора стратегии
- •Заключение
- •Библиографический Список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Отыскание вектора конечной продукции
Для решения второй задачи межотраслевого баланса запишем модель Леонтьева в матричном виде
АХ + Y = Х,
откуда получим выражение (3.9)
Y = (Е – А) Х.
Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А, вектор валовой продукции – Х:
А = , Х =
Определить вектор конечной продукции Y (рис. 67).
При определении венктора Y используется функция Excel =МУМНОЖ из категории Математические, позволяющая получить результат перемножения матрицы Е-А и вектора Х.
Рис. 67. Расчёт вектора конечной продукции
Пример оптимизационной модели отыскания вектора конечной продукции (рис. 68 – 70).
Систему уравнений межотраслевого баланса можно представить в виде Х = В Y или
тогда, в качестве целевой функции задачи оптимизации можно выбрать максимизацию объёма конечной продукции
при ограничениях
и условии неотрицательности получаемого решения
yj 0 .
Рис. 68. Ввод исходных данных в модель оптимизации
Выделим ячейки B17:D17 для размещения искомых переменных y1, y2 и y3. Математические выражения левых частей ограничений введём в ячейки Е13:Е15 с помощью функции =СУММПРОИЗВ из категории Математические. Целевую функцию, как сумму искомых переменных введём в ячейку Е17. Заполним диалоговое окно программы Поиск решения из меню Сервис (рис. 69).
Рис. 69. Заполнение диалогового окна Поиска решения
Нажав на кнопку Параметры в диалоговом окне надстройки Поиск решения, укажем с помощью “галочек”: Линейная модель и Неотрицательные значения. Результаты отыскания вектора конечной продукции Y представлены на рис. 70.
Рис. 70. Результата решения задачи межотраслевого баланса
Смешанная задача межотраслевого баланса
Для решения третьей задачи баланса все отрасли разделим на две группы. К первой группе отнесем отрасли, для которых задан конечный продукт. Множество номеров этих отраслей обозначим индексами i, j = . Ко второй группе отнесем отрасли, для которых задан валовой выпуск. Множество номеров этих отраслей обозначим индексами i, j = . Тогда вектор валовых выпусков можно разделить на два подвектора
Х = , (5.11)
где Х1 – искомый подвектор с элементами Хi(i = );
- заданный подвектор с элементами Хi(i = ).
Аналогично вектор конечного продукта можно разделить на два подвектора
Y = , (5.12)
где – подвектор с известными значениями Yi(i = );
Y2 - подвектор с неизвестными значениями
Yi(i = ).
Матрица А разбивается на четыре подматрицы
А = , (5.13)
где А11 – подматрица с элементами аij (i, j = );
А12 – подматрица с элементами аij (i = ; j = );
А21 – подматрица с элементами аij (i = ; j = );
А22 – подматрица с элементами аij (i, j = ).
Для нахождения неизвестных подвекторов Х1 и Y2, зная А, , , представим модель Леонтьева в следующем виде:
+ = . (5.14)
Раскроем это выражение
А 11Х1+А12 + = Х1 (5.15)
А21Х1+А22 +Y2= .
Из первого уравнения этой системы найдем
Х1 = (Е – А11)-1 (А12 + ). (5.16)
Из второго уравнения найдем
Y2 = (Е – А22) - А21 Х1 . (5.17)
Найдя из выражения (3.16) Х1 и подставив в выражение (3.17), получим Y2.
Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А:
А = .
Конечный продукт первой отрасли равен 8 ед., объем производства второй отрасли равен 10 ед., а третьей – 15 ед. Определить объем производства первой отрасли и конечный продукт второй и третьей.
Решение. Согласно изложенному ранее первая отрасль входит в первую группу, а вторая и третья – во вторую группу, тогда
Х = , , Y = ,
А11 = (0) А12 = (0,1 0,2)
А21 = А22 = .
Из формулы (16) найдем
Х1 = (1 - 0)-1 [(0,1 0,2) + 8] = 12
Из формулы (3.17) найдем
Y2 = - 12 = .
Таким образом, валовой выпуск первой отрасли равен 12 ед., конечный продукт второй и третьей равен 3,1 ед. и 9,8 ед. соответственно.