Сетевое планирование в условиях неопределённости

В случаях, когда время выполнения работ точно не известно, то есть продолжительность работы является случайной (стохастической) величиной, характеризующейся законом β-распределения с числовыми характеристиками – средним значением, или математическим ожиданием продолжительности работы t_{ож ij} и дисперсией продолжительности работы σ²_ij.

Для определения средней (ожидаемой) длительности работ на основе экспертного опроса даются три временные характеристики (оценки времени выполнения работ):

1. Оптимистическая (минимальная) оценка t_oij ;

2. Пессимистическая (максимальная) оценка t_nij ;

3. Наиболее вероятная оценка t_н.вij.

Тогда среднее (ожидаемое) время выполнения работы определяется выражением

t_oжij = ,

или, если известны только крайние оценки:

t_oжij = .

Определение степени неопределённости выполнения работ, лежащих на критическом пути для первого подхода

,

для второго подхода

.

Определение вероятности завершения комплекса работ в заданный директивный срок. Для этого необходимо найти аргумент функции нормального распределения Z по формуле

где T_дир – директивный срок завершения работ; L_кр – длительность критического пути; σ²_{ij кр} – суммарная дисперсия работ, лежащих на критическом пути.

Максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р

.

Допустим, получены следующие оценки длительности работ (рис. 52), на основании которых рассчитано среднее (ожидаемые) время выполнения работ

t_{ож 1-2} = (4 + 4  5 + 7) / 6 = 5,167.

Рис. 52. Расчёт ожидаемой продолжительности работ

Длительность критического пути равна 51,3 дня. Для работ критического пути рассчитаем дисперсии

σ²_1-2= (7 – 4)² / 6² = 0,25;

σ²_2-3= 1; σ²_6-7= 0,69; σ²_7-8= 0,25; σ²_8-9= 1; σ²_9-10= 0,25.

При расчёте с помощью программы «Расчёт и оптимизация сетевого графика» из ППП PRIMA, оценки времени выполнения работ t_min и t_max следует располагать в двух смежных столбцах, а для трёх оценок - значения t_min , t_нв и t_max располагаются в трёх смежных столбцах, адреса которых вводятся в программу в окне Время выполнения работ.

Рис. 53. Ввод директивного срока выполнения работ

Допустим, директивный срок выполнения работ установлен в пределах 55 дней (рис. 53), тогда аргумент функции нормального распределения равен

Z = (55–51,3) / (0,25+1+0,69+0,25+1+0,25)^1/2 = 1,976.

Для определения вероятности завершения комплекса работ в заданный директивный срок используют значения функции нормального распределения Р(z):

z	P(z)	z	P(z)	z	P(z)	z	P(z)
0,0	0,50000	1,6	0,94520	-3,0	0,00135	-1,4	0,08076
0,2	0,57926	1,8	0,96407	-2,8	0,00256	-1,2	0,11507
0,4	0,65542	2,0	0,97725	-2,6	0,00466	-1,0	0,15866
0,6	0,72575	2,2	0,98610	-2,4	0,00820	-0,8	0,21186
0,8	0,78814	2,4	0,99180	-2,2	0,01390	-0,6	0,27425
1,0	0,84134	2,6	0,99534	-2,0	0,02275	-0,4	0,34458
1,2	0,88493	2,8	0,99744	-1,8	0,03593	-0,2	0,42074
1,4	0,91924	3,0	0,99865	-1,6	0,05480	0,0	0,50000

Используя таблицу значений функции нормального распределения и метод интерполяции, определяют вероятность выполнения комплекса работ в заданный директивный срок.

Р(z) = 0,964+(1,976–1,8)(0,977–0,964)/(2,0–1,8) = 0,976.

Для расчёта вероятности можно использовать функцию НОРМСТРАСП из категории Статистические Excel (рис. 54).

Рис. 54. Расчёт вероятности выполнения

всех работ в срок

Максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р = 0,95. Для получения величины Z можно использовать функцию НОРМСТОБР из категории Статистические Excel (рис. 55).

Рис. 55. Расчёт вероятного времени выполнения всех

работ

Т = 51,3+1,645 (0,25+1+0,69+0,25+1+0,25)^1/2 ≈ 54,35 дня

Таким образом, с вероятностью 0,95 комплекс работ будет завершен за 54,35 дня.

Сформулируем сетевую модель как оптимизационную задачу линейного программирования. Поздний срок свершения завершающего события сетевого графика соответствует длительности самого продолжительного из полных путей - критического. Однако целью сетевого планирования является окончание комплекса работ в возможно короткие сроки. Отсюда целевая функция задачи линейного программирования заключается в нахождении минимального значения позднего срока завершающего события. В качестве ограничений задачи линейного программирования используем выражение для определения частного резерва времени работ. Тогда разность между поздними сроками свершения последующего события T_j и предшествующего события T_i, минус частный резерв времени работы Rч_ij будет равна продолжительности выполнения работы t_ij. Поздний срок свершения исходного события (как и его ранний срок свершения) равен нулю. Тогда математическая модель оптимизационной задачи сетевого планирования и управления будет иметь вид:

Введём исходные данные для расчёта в электронную таблицу Excel (рис. 56). Строку с адресами A2 : W2 используем как область изменяемых ячеек для размещения искомых переменных (поздних сроков свершения событий и частных резервов времени работ). В соответствующие ячейки поля с адреса А4 по W16 вводим коэффициенты при переменных задачи с соответствующими знаками. Ячейка Х2 содержит целевую функцию ( =J2), соответствующую позднему сроку свершения завершающего события. В ячейки Х4 : Х16 введены выражения для левых частей ограничений. Так, ячейка Х4 содержит функцию (=СУММПРОИЗВ($A$2:$W$2; A4:W4), которая скопирована в ячейки Х5 : Х16.

Рис. 56. Решение оптимизационной задачи сетевого планирования