Выражения (1.1), (1.2) и (1.3) составляют экономико-математическую модель задачи линейного программирования.

Для представления задачи в символьном виде введем обозначения:

Х_j – количество выпускаемых изделий j-го типа, j = ;

n – количество типов изделий;

а_ij – затраты времени на единицу j-го типа изделия в i-м цехе,

i = ;

m – количество производственных подразделений (цехов);

b_i – ресурс рабочего времени для i–го цеха;

С_j – доход от реализации единицы j–го типа изделия.

Тогда модель можно записать в следующем виде:

а ₁₁  x₁ + а₁₂  x₂ + а₁₃  x₃ + а₁₄  x₄  b₁,

а₂₁  x₁ + а ₂₂  x₂ + а₂₃  x₃ + а₂₄  x₄  b₂,

а₃₁  x₁ + а ₃₂  x₂ + а₃₃  x₃ + а₃₄  x₄  b₃,

f(x) = C₁  x₁ + C₂  x₂ + C₃  x₃ + C₄  x₄  max,

x₁, x₂, x₃, x₄  0.

2. Задача оптимального использования ресурсов

Предприятие выпускает n различных видов изделий. Для их производства требуется m различных видов ресурсов. Ресурсы ограничены b_i единицами (i = ). Известны технологические коэффициенты а_ij, которые указывают, сколько единиц i–го ресурса требуется для производства единицы изделия j–го вида (i = ; j = ). Прибыль от реализации единицы изделия j–го вида равна С_j.

Составить программу выпуска (план) продукции, при реализации которой прибыль была бы максимальной.

Таблица 1.2

Виды ресурсов	Виды изделий	Запасы ресурсов
	1 … j … n
1 … i … m	а11 … а 1j … а1n …………………….. аi1 … аij … а in …………………… аm1… аmj … аmn	b1 … bi … bm
Прибыль	С1 … Сj … Сn	__

Обозначим через Х_j – объем выпуска изделий j–го вида. Найдем расход ресурсов i–го типа на все виды изделий

а₁₁  Х₁ + … + а_1j  Х_j +…+ а_1n  Х_n  b₁,

……………………………………

а_i1  Х₁ + …+ а_ij  Х_j + … + а_in  Х_n  bi,

……………………………………

а_m1  Х₁ + … + а_mj  Х_j + … + а_mn  Х_n  b_m.

Прибыль от реализации

f(x) = C₁  x₁ + …+ C_j  x_j + …+ C_n  x_n  max.

Условия неотрицательности получаемого решения

x_j  0, (j = ).

3. Задача оптимального распределения заданий

по участкам производства

Необходимо спланировать программу выпуска однородной продукции в n производственных подразделениях, которые различаются по мощности и по технологическому процессу. Для изготовления этой продукции требуется m видов ресурсов, запасы которых ограничены.

Обозначим через а_ij коэффициенты расхода i–го вида ресурса (i = ) в j–м подразделении в единицу времени, через b_i – запасы i–го ресурса, а C_j – показатели производительности j–го подразделения (j = ). Оптимальный план должен обеспечить максимальный объем выпуска продукции.

Таблица 1.3

Виды ресурсов	Подразделения производства	Запасы ресурсов
	1 … j … n
1 … i … m	а11 … а1j … а1n …………………….. аi1 … аij … аin …………………… аm1 … аmj … аmn	b1 … bi … bm
Производительность	С1 … Сj … Сn	__

Пусть Х_j – время работы j–го подразделения при выполнении производственного задания.

С уммарный расход ресурсов

а₁₁  x₁ + … + а_1j  x_j +…+ а_1n  x_n  b₁,

………………………………………………

а_i1  x₁ + …+ а_ij  x_j + … + а_in  x_n  bi,

………………………………………………

а_m1  x₁ + … + а_mj  x_j + … + а_mn  x_n  b_m.

Максимальный выпуск продукции

f(x) = C₁  x₁ + …+ C_j  x_j + …+ C_n  x_n  max.