С. В. Амелин

методы оПТИМАлЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Учебное пособие

Воронеж 2013

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

С.В. Амелин

методы оПТИМАлЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2013

УДК 519.85 (075) + 658.012.122 (075)

Методы оптимальных решений : учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, граф. данные (3,85 Мб) / С.В. Амелин. - Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2013. – 1 электрон.опт. диск (CD-ROM). – Систем.требования: ПК 500 и выше ; 256 Мб ОЗУ ; WindowsXP ; MS Word 2007 или более поздняя версия ; 1024x768 ; CD-ROM ; мышь. – Загл. с экрана. – Диск и сопровод. материал помещены в контейнер 12x14 см.

Представлены основные разделы оптимизационного экономико-математического моделирования сложных организационно-экономических систем и процессов, необходимые экономистам и менеджерам для обоснования управленческих решений. При изложении материала используется компьютерно-ориентированный подход.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 080100.62 «Экономика», профилям «Экономика предприятий и организаций», «Экономика предпринимательской деятельности», «Финансы предприятий и организаций», дисциплине «Методы оптимальных решений».

Табл. 37. Ил. 80. Библиогр.: 11 назв.

Научный редактор д-р экон. наук, проф. О.Г. Туровец

Рецензенты: кафедра информационных технологий и математических методов Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р экон. наук, проф. В.В. Давнис);

канд. экон. наук, доц. И.Н. Щепина

© Амелин С.В., 2013

© Оформление. ФГБОУ ВПО

“Воронежский государственный

технический университет”, 2013

Введение

Сложный характер теоретических и практических задач современной рыночной экономики требует использования математических методов в экономических исследованиях. Проблемы, с которыми сталкиваются специалисты в различных областях экономики, зависят от множества различных, противоречивых факторов, меняющихся со временем и влияющих на другие проблемы и процессы.

В последнее время математическое моделирование является одним из важнейших методов изучения и анализа экономических объектов и процессов и прогнозирования их развития. Важность использования математических методов в анализе экономических проблем подчеркивается тем, что Нобелевские премии в области экономики получают в основном за успехи в экономико-математическом моделировании.

Экономико-математическое моделирование – это один из эффективных методов описания сложных социально-экономических систем и процессов в целях выработки оптимальных решений.

Математические модели отображают экономические проблемы в абстрактной форме и позволяют учесть большое число различных характеристик исследуемых проблем.

Экономико-математическое моделирование призвано помочь руководителям различного ранга в выработке, обосновании и принятии эффективных, качественных, оптимальных решений в области экономики, организации производства и управления, в инвестиционном проектировании и в финансовой сфере. Это должно повысить надежность функционирования производственно-экономических систем.

Квалифицированные специалисты в различных областях экономической деятельности должны обладать обширными познаниями в сфере экономико-математического моделирования для решения задач оптимального распределения ограниченных ресурсов; выработки эффективных решений в условиях неопределенности, противоречивости ограничений; анализа производственно-экономической информации и прогнозирования развития исследуемых процессов на основе современных компьютерных технологий.

Из всего многообразия оптимизационных экономико-математических методов и моделей наибольшее распространение получили межотраслевые балансы, сетевые методы планирования и управления, теория массового обслуживания, модели управления запасами, теорию игр и статистических решений, математическое программирование. В данном пособии рассмотрим способы построения моделей и их применение для решения экономических задач. В результате освоения дисциплины «Методы оптимальных решений» студенты должны обладать следующими компетенциями:

знать:

- основы математического моделирования, необходимые для решения экономических задач;

- основные теоретические положения использования оптимизационных экономико-математических методов при разработке, принятии и реализации эффективных управленческих решений на производстве в том числе и с применением средств автомати­зации решения задач управления предприятием с использованием новых информационных технологий;

- приёмы сбора, анализа и обработки данных, необходимых для решения поставленных экономико-математических задач и способы содержательной интерпретации полученных результатов;

уметь:

- применять методы математического моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач;

- давать постановку задач и производить выбор моделей для оценки сложившейся ситуации и ее влияния на цели функционирования производственной системы;

- строить на основе описания ситуаций стандартные экономико-математические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты;

- определять необходимый набор критериев для поиска оптимального решения;

- учитывать в моделях субъективную информацию, риск и неопределенность при принятии управленческих решений;

- прогнозировать на основе стандартных экономико-математических моделей поведение экономических агентов, развитие экономических процессов и явлений;

- осуществлять выбор инструментальных средств для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты расчётов и обосновывать полученные выводы;

- использовать пакеты прикладных программ для моделирования при принятии управленческих решений.

владеть:

- навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач;

-современной методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов;

- методами и приёмами анализа экономических явлений и процессов с помощью стандартных оптимизационных экономико-математических моделей;

- способами сбора анализа и обработки данных, необходимых для решения поставленных экономико-математических задач, анализа и содержательной интерпретации результатов расчетов и обоснования полученных выводов;

- способностью критически оценить предлагаемые варианты управленческих решений и разработать и обосновать предложения по их совершенствованию с учетом критериев социально-экономической эффективности, рисков и возможных социально-экономических последствий.

Пакет программ прикладного математического моделирования ППП PRIMA в среде Excel для персональных компьютеров разработан Амелиным С.В., д.э.н., профессором кафедры экономики и управления на предприятии машиностроения Воронежского государственного технического университета.

Тема 1. Модели линейного программирования

В результате изучения данной темы студенты должны:

знать:

- область применения моделей оптимального планирования и управления в экономике;

- основные понятия линейного программирования;

- методы решения задач линейного программирования;

уметь:

- формулировать постановку различных задач линейного программирования;

- находить решение задач линейного программирования с помощью графического и симплексного методов;

- давать экономическую интерпретацию полученных результатов решения задач линейного программирования;

- применять методы линейного программирования для решения практических задач;

владеть:

- математическим аппаратом линейного программирования;

- практическими навыками формулирования и решения задач линейного программирования, в том числе с помощью ЭВМ.

Раздел математических методов, в котором рассматриваются способы решения задач на нахождение экстремума функции цели при ограничении области допустимых значений в форме уравнений или неравенств, называется математическим программированием. Другими словами, математическое (оптимальное) программирование рассматривает задачи планирования, распределения ограниченных ресурсов наилучшим образом, для достижения поставленных целей.

Общая задача математического программирования имеет вид:

определить экстремум функции

f(x)  extremum (max, min),

при выполнении условий

g_i(x) = (, )b_i, (i = ),

x = (x₁, x₂,… x_j …x_n), x_j  0, (j = ),

где f(x) – целевая функция;

g_i(x) - функция ограничения;

b_i - действительное число, константа ограничения.

Если функции f(x) и g_i(x) представлены в виде линейных функций, то оптимизационная задача называется задачей линейного программирования.

Таким образом, линейное программирование – это область математического программирования, посвященная теории и методам решения задач нахождения условного экстремума и характеризующаяся линейной зависимостью между переменными.

Примеры задач линейного программирования

1. Задача планирования производства

Фирма выпускает четыре вида персональных компьютеров (таблица 1.1).

Таблица 1.1

Цех	Затраты времени на единицу продукции, ч				Общий фонд времени, ч/мес
				
Узловой сборки	15	12	4,8	3	480
Сборочный	8,4	4,8	1,8	1,2	252
Испытательный	2,4	1,2	0,12	0,06	90
Доход, ден.ед.	6,5	6	1,5	0,75	__

Определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить фирме, чтобы доход за месяц был бы максимальным. Построить экономико-математическую модель задачи.

Решение. Обозначим через х₁ – количество изделий вида , которое должна выпустить фирма; х₂ – количество изделий вида ; х₃ – количество изделий вида ; х₄ – количество изделий вида .

Найдем затраты времени на производственный процесс в цехах (они не должны превышать располагаемый фонд времени)

1 5x₁ + 12x₂ +4,8x₃ + 3x₄  480,

8,4x₁+4,8x₂+1,8x₃ + 1,2x₄  252, (1.1)

2,4x₁ + 1,2x₂ + 0,12x₃ + 0,06x₄  90.

Доход за месяц должен быть максимизирован:

f(x) = 6,5x₁ + 6x₂ + 1,5x₃ + 0,75x₄  max. (1.2)

Выпускается только выгодная продукция (в этом случае х_i > 0), а невыгодная не производится (тогда х_i = 0). Отсюда условие неотрицательности переменных

x₁  0, x₂  0, x₃  0, x₄  0. (1.3)