Задание 1 Оценка точности многократно измеренной величины по истинным погрешностям
Данный способ оценки используют при исследовании точности технических средств измерений (например, мерных лент и рулеток, теодолитов, нивелиров и др. приборов).
Порядок оценки точности результатов равноточных геодезических измерений рассмотрен на примерах 1 и 2.
Пример 1
Длина линии измерена мерной лентой 15 раз (табл. 1). Эта же линия была измерена светодальномером; при этом получено точное (истинное) значение ее длины L=181,216 м. Требуется: найти оценку систематической погрешности, среднюю квадратическую погрешность одного измерения m, оценить точность вычисления средней квадратической погрешности тт, определить предельную погрешность mпред и относительную среднюю квадратическую погрешность измерений fотн., проверить значимость вычисленной систематической погрешности.
Таблица 1
Результаты измерения длины линии мерной лентой
Номер измерений |
Результаты измерений li,м |
Номер измерений |
Результаты измерений li,м |
Номер измерений |
Результаты измерений li,м |
1 |
181,22 |
6 |
181,28 |
11 |
181,20 |
2 |
181,23 |
7 |
181,21 |
12 |
181,27 |
3 |
181,28 |
8 |
181,25 |
13 |
181,23 |
4 |
181,26 |
9 |
181,28 |
14 |
181,21 |
5 |
181,27 |
10 |
181,25 |
15 |
181,24 |
Порядок решения:
1. Результаты измерений сводят в табл. 2.
2.
Для оценки систематической погрешности
находят отклонения
.
3.
Оценку систематической погрешности
получают как
.
4.
Находят истинные погрешности
.
Таблица 2
Вычисления, выполняемые при решении задачи
Номер измерений |
Результаты измерений li,м |
i, см |
∆i, см |
∆i2 |
i2 |
1 |
181,22 |
+0,4 |
‒2,5 |
6,4 |
0,2 |
2 |
181,23 |
+1,4 |
‒1,5 |
2,4 |
2,0 |
3 |
181,28 |
+6,4 |
+3,5 |
12,0 |
41,0 |
4 |
181,26 |
+4,4 |
+1,5 |
2,2 |
19,4 |
5 |
181,27 |
+5,4 |
+2,5 |
6,1 |
29,2 |
6 |
181,28 |
+6,4 |
+3,5 |
12,0 |
41,0 |
7 |
181,21 |
‒0,6 |
‒3,5 |
12,5 |
0,4 |
8 |
181,25 |
+3,4 |
+0,5 |
0,2 |
11,6 |
9 |
181,28 |
+6,4 |
+3,5 |
12,0 |
41,0 |
10 |
181,25 |
+3,4 |
+0,5 |
0,2 |
11,6 |
11 |
181,20 |
‒1,6 |
‒4,5 |
20,6 |
2,6 |
12 |
181,27 |
+5,4 |
+2,5 |
6,1 |
29,2 |
13 |
181,23 |
+1,4 |
‒1,5 |
2,4 |
2,0 |
14 |
181,21 |
‒0,6 |
‒3,5 |
12,5 |
0,4 |
15 |
181,24 |
+2,4 |
‒0,5 |
0,3 |
5,8 |
|
lср = 181,25 |
[] = 44,0 |
[∆] = 0,0 |
[∆2] = 107,8 |
[2] = 236,8 |
5. Среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения находят как
,
т.е. с учетом совместного влияния ошибок случайного и систематического характера
.
6. Оценивают точность (надежность) полученной средней квадратической погрешности:
.
Из последнего следует, что величине т следует оставлять только две значащих цифры, т.е. средняя квадратическая погрешность одного измерения длины линии мерной лентой равна т ≈ 2,7 см.
7. Предельную среднюю квадратическую погрешность рассчитывают, приняв = 3 для топографо-геодезических работ
mпред = m = 3m =8,1 см.
8. Относительная средняя квадратическая погрешность будет
.
9. Для решения вопроса о значимости величины систематической погрешности используют критерий
,
где t выбирается из таблицы распределения коэффициентов Стьюдента (прил. VI) при п = 15, и по вероятности = Ф(t). Находят для = 0,95 t = 2,1. Тогда
.
Как видно, = 2,9см > 1,5см, следовательно, систематические погрешности в данных измерениях значимы.
Пример 2
В табл. 3 приведены невязки суммы углов в треугольниках триангуляции 2-го разряда. Требуется вычислить: среднюю квадратическую погрешность суммы углов в одном треугольнике и оценить точность ее получения, среднюю и вероятную погрешности той же суммы и среднюю квадратическую погрешность одного угла.
Таблица 3