Методическое пособие 749

В качестве связей проявляются нормальное давление и поверхностное натяжение.

Напряжение в жидкости, находящейся в равновесии. Рассмотрим рав-

новесие некоторого объема жидкости. На него действуют внешние силы и внутри него возникают напряжения. Последнее утверждение может быть проиллюстрировано рис. 1.7.

Рис. 1.7. Действие внешних сил на объем жидкости

Cделаем произвольный разрез. Для сохранения положения равновесия к нему (плоскости разреза) должна быть приложена некоторая сила, которая в общем случае дает и , т.е. нормальные и касательные напряжения. Последние будут равны нулю, т.к. жидкость находится в равновесии.

Рассмотрим элементарный объем призматической формы (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Элементарный объем призматической формы

xdydz ndSdy cos 0 ,

z dxdy ndSdy sin dxdydz 0 ,

2

20

cos dSdz ; sin dSdx .

x n 0 ,z n dz2 0 .

Стягивая элементарный объем к точке имеем

x z n .

Изменив направление координат и снова записав уравнения равновесия, получим

x y z n .

Врезультате можно сделать вывод, что в жидкости, находящейся в равновесии, не зависит от направления и является величиной скалярной.

1.2.4.Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Вывод дифференциальных уравнений равновесия начнем с частного случая, когда на жидкость действует только сила тяжести и система координат выбрана таким образом, что плоскость xy расположена на поверхности жидкости,

а ось h (ось глубин) направлена вертикально вниз (рис. 1.9).

Рассмотрим условие равновесия жидкости в параллелепипеде с ребрами dx,dy,dh параллельными координатным осям. Единственной объемной силой,

действующей на жидкость внутри параллелепипеда, является сила тяжести g , действие которой выражается весом жидкости – произведением gdxdydh . Си-

ла тяжести направлена вертикально вниз, и проекции объемной силы в направлении осей x и y равны нулю. В силу того, что жидкость неподвижна, силы

давления на боковые грани взаимно уравновешиваются.

Рис. 1.9. Схема действия сил на элементарный объём жидкости

21

Рассмотрим проекции сил, действующих на параллелепипед в направлении оси h . Пусть давления на верхней и нижней площадках равны p и p dp .

На верхнюю грань действует сила давления pdxdy , на нижнюю грань – противоположно направленная сила давления p dp dxdy . Просуммировав алгебра-

ически силы давления на верхнюю и нижнюю грань и вес жидкости в объеме параллелепипеда, получим условие равновесия

pdxdy p dp dxdy gdxdydh 0 ,

При произвольной ориентации координатных осей, а также при действии кроме силы тяжести и других объемных сил, приходится учитывать все их проекции X ,Y , Z на координатные оси. В этом случае нужно рассматривать изменение давления в направлении всех координатных осей, которое описывается

p p p

частными производными x , y , z . Пользуясь выводом, аналогичным выше-

изложенному, легко получить для этого случая систему дифференциальных уравнений равновесия жидкости Л. Эйлера (1755)

Полный дифференциал гидростатического давления может быть определен из этой системы в результате умножения первого уравнения на dx , второго

22

1.2.5. Интегрирование дифференциальных уравнений гидростатики для несжимаемой жидкости

Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости под действием силы тяжести. В дифференциальном уравнении гидростатики (1.12) произведение g

есть удельный вес жидкости . Интегрируя уравнение dp dh , имеем

p h C .

Постоянная интегрирования C может быть определена с учетом условия на поверхности жидкости: при h 0, p p0 , следовательно, C p0 . В результа-

те давление p на любой глубине h может быть определено по основному урав-

В частном случае, когда жидкость имеет свободную поверхность, давление p0 равно атмосферному давлению pa . Таким образом, давление на глубине

h (абсолютное давление) складывается из давления на поверхности и давления столба жидкости высотой h – избыточного давления.

Из уравнения гидростатики следует, что давление может измеряться высотой столба жидкости h . На этом основано широкое применение для измерения давления сообщающихся сосудов – пьезометров, жидкостных барометров, манометров, микроманометров. Так, в пьезометре, давление внутри сосуда измеряется по высоте подъема h жидкости в открытой трубке, давление на по-

верхности жидкости в ней равно атмосферному. Очевидно, что h pман , где

манометрическое давление pман p pа – есть превышение давления над атмосферным. Давление в сосуде определяется по формуле p pа h . Микрома-

нометр представляет собой пьезометр, в котором измерительная трубка наклонена под небольшим углом к горизонтальной плоскости. Незначительные изменения давления приводят к заметным изменениям длины столбика жидкости в измерительной трубке микроманометра, чем повышается точность измерений.

Если в пьезометре уровень жидкости расположен ниже уровня в сосуде, слагаемое h в основном уравнении гидростатики имеет знак минус и называется вакуумом или недостатком давления до атмосферного. Величина, или глубина вакуума в сосуде, измеряется в долях атмосферы или высотах столба жидкости. При вакууме давление не может быть меньше давления паров жидкости, насыщающих пространство при данной температуре. Пьезометр, измеряющий глубину вакуума, называется вакуумметром.

Помимо жидкостных приборов для измерения давления в технике широко используются также механические манометры и вакуумметры – пружинные и

23

мембранные. Давление в них измеряется по величине упругих деформаций чувствительного элемента.

Из уравнения гидростатики непосредственно следует закон Паскаля, со-

гласно которому давление, оказываемое на поверхность покоящейся жидкости, передается всем ее частицам без изменения величины. Действительно, давле-

ние на поверхности p0 входит слагаемым в основное уравнение гидростатики,

и с его изменением на такую же величину меняется давление внутри жидкости p . На применении закона Паскаля основано устройство гидростатических ма-

шин – гидравлических прессов, аккумуляторов и мультипликаторов.

При ускоренном движении сосуда в течение достаточно длительного времени находящаяся в нем жидкость оказывается в покое относительно сосуда, но перемещается вместе с ним (относительный покой жидкости). В этом случае, наряду с силой тяжести, на жидкость действуют также объемные силы инерции. В дифференциальном уравнении гидростатики (1.15) приходится учитывать горизонтальные компоненты объемных сил X и Y . В частности, при равноускоренном движении сосуда объемная сила в направлении действия ускорения равна этому ускорению. При вращении сосуда около вертикальной оси с угловой скоростью на частицу жидкости, расположенную, на расстоянии r от оси

вращения, кроме силы тяжести действует центробежная сила инерции 2 r .

Действие этой силы приводит к возрастанию давления с удалением от оси вращения. Эффект увеличения давления у стенок вращающегося сосуда находит применение в технике, например, в центробежном литье.

1.2.6. Интегрирование дифференциальных уравнений гидростатики для сжимаемой жидкости

Равновесие неоднородной жидкости может быть устойчиво только в том случае, если на равных уровнях находятся жидкости равных удельных весов.

В противоположном случае надо интегрировать следующее уравнение

dpdz .

Для газов p RT .

Данное уравнение легко интегрируется при любом законе изменения температуры T . Для атмосферы на высоте до 11000 м принимается линейная зависимость

T T0 cz 288 0,0065z .

24

На высоте более 11000 м условия изотермические, т.е. уравнение состояния будет

pRT ; p k .

Тогда получаем

dp dz; p k; dpdz kp .

После интегрирования будем иметь

1.2.7. Давление жидкости на плоские стенки

Из определения гидростатического давления (1.11) следует, что сила давления жидкости на стенку может быть найдена суммированием произведений гидростатического давления на величину элементарной площадки или, в пределе, интегрированием сил давления по площади стенки F .

Величина избыточного давления на элементарную площадку dF

dp pизбdF hdF.

25

Сила давления на всю площадку определяется интегрированием элементарного давления по площади F

p hdF hdF.

F F

Но hdF есть статический момент фигуры F относительно свободной

F

поверхности жидкости, равный, согласно выводам теоретической механики, произведению площади F на глубину hC погружения центра тяжести фигуры

C

hdF hC F.

F

Таким образом, имеем

где pизб.С – гидростатическое давление в центре тяжести фигуры, Па.

Например, сила избыточного давления на прямоугольный щит шириной b , длиной l , установленным под углом к поверхности жидкости, будет

p hC F bl 2l sin 12 bl2 sin .

Выясним, где находится точка приложения равнодействующей сил давле-

ния, называемая центром давления.

Определим момент сил давления на стенку относительно линии ее пересечения с поверхностью жидкости. Элементарный момент dM (рис. 1.10) равен силе давления на элементарную площадку hdF

dM hdFl l2dF sin .

Рис. 1.10. Схема к определению сил давления

26

Суммарный момент сил давления на фигуру определится в результате интегрирования этого выражения по площади F

M l2 sin dF sin l2dF.

F F

Выражение l2dF J x представляет собой момент инерции фигуры F

F

относительно линии пересечения поверхности жидкости со стенкой. Итак,

M Jx sin .

Но, с другой стороны, момент инерции M равен произведению равнодействующей сил давления P на искомое плечо (координату центра давления) lD .

Представляется целесообразным заменить в полученной формуле момент инерции фигуры относительно линии пересечения поверхности жидкости со стенкой J x через ее момент инерции относительно оси, проходящей через

центр тяжести C параллельно поверхности жидкости, по известной формуле механики

(так как для прямоугольника JC bl3 ). Таким образом, точка приложения рав-

12

нодействующей сил давления на прямоугольную стенку лежит ниже ее центра тяжести на 16 l .

Равнодействующая сил давления на криволинейную стенку может быть определена суммированием сил давления на элементарные площадки, которые можно считать плоскими. Обычно задача определения равнодействующей дав-

27

ления на криволинейную стенку сводится к нахождению ее составляющих по координатным осям.

1.2.8. Давление жидкости на криволинейные стенки

В практике приходится определять силу гидростатического давления не только на плоские поверхности, но и на криволинейные поверхности любого вида. Ниже рассмотрим только простейший частный случай криволинейной поверхности – цилиндрическую поверхность, которая встречается наиболее часто. Будем рассматривать только избыточное давление, не интересуясь поверхностным давлением.

Первый случай цилиндрической поверхности. Представим на рис. 1.11

цилиндрическую поверхность ABC . Эта поверхность расположена перпендикулярно к плоскости чертежа, и потому она проектируется в одну линию ABC (кривая ABC есть направляющая рассматриваемой цилиндрической поверхности). Обозначим длину образующей цилиндрической поверхности, перпендикулярной к плоскости чертежа, через b b const . Наметим вертикальную плос-

кость CC и оси координат x и z. Обозначим через Px и Pz горизонтальную и

вертикальную составляющие силы P гидростатического давления, действующего со стороны жидкости на цилиндрическую поверхность.

Рис. 1.11. Схема давления жидкости на цилиндрическую поверхность 1

Определим вначале составляющие Px и Pz искомой силы P . С этой целью

проведем вертикальную плоскость DE . Плоскость DE выделит объем покоящейся жидкости ABCED . На этот объем действуют следующие силы:

– сила Ph , действующая на вертикальную грань DE со стороны жидко-

сти, расположенной слева от этой грани;

– сила Rд – со стороны дна EC (реакция дна)

28

–реакция R – со стороны цилиндрической поверхности. Горизонтальную

ивертикальную составляющие этой реакции обозначим Rx и Rz соответствен-

но. Значения и направления этих сил (в отличие от других) нам неизвестны;

Проектируя все силы, действующие на покоящийся объем ABCED , соответственно на оси x и z , получаем следующие уравнения равновесия (не зная

Рассмотрев (1.24) и (1.26), можно заключить следующее:

– горизонтальная составляющая Px искомой силы равна силе давления

жидкости на плоскую вертикальную прямоугольную фигуру DE , представляющую собой проекцию рассматриваемой цилиндрической поверхности на вертикальную плоскость. В связи с этим сила может быть выражена, как и в случае плоских фигур, треугольником гидростатического давления DEF ;

– вертикальная составляющая Pz искомой силы равна взятому со знаком

минус весу воображаемого жидкого тела площадью сечения ABCC . Это воображаемое жидкое тело называется телом давления (площадь, покрытая на рис. 1.11 штриховкой).

29